ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.04.2024
Просмотров: 7
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
n-1
(x)' = 1
Здесь:
(-7∙x3)' = -7∙3∙x3-1(x)' = -21∙x2
(x)' = 1
(sin(x))' = cos(x)
Ответ:
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:
(xa)' = axa-1
(a)' = 0
b)
Решение:
Здесь:
(3∙x)' = 3
Ответ:
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:
(xa)' = axa-1
(a)' = 0
(uv)' = u'v + uv'
(f(g(x)))' = f(x)'∙g(x)'
Задание 3. (Максимальное количество баллов - 4 балла)
Вам предложена функция
. Проведите исследование, согласно схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями.
3. Исследовать функцию на четность/нечетность.
4. Найти асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.
8. Построить график.
1) Область определения функции. Точки разрыва функции.
D(y)=R, но х≠±2
2) Четность или нечетность функции.
y(-x) = -y(x), нечетная функция
3) Периодичность функции.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
x=0, y=0
Пересечение с осью 0X
y=0
x1=0
5) Исследование на экстремум.
y = x^3/(x^2-4)
Найдем точки разрыва функции.
x1 = 2
x2 = -2
Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
или
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x2∙(x2-12) = 0
Откуда:
x1 = 0
6) Асимптоты кривой.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x1 = -2
x2 = 2
Находим переделы в точке x=-2
x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке x=2
x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
(x)' = 1
Здесь:
(-7∙x3)' = -7∙3∙x3-1(x)' = -21∙x2
(x)' = 1
(sin(x))' = cos(x)
Ответ:
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:
(xa)' = axa-1
(a)' = 0
b)
Решение:
Здесь:
(3∙x)' = 3
Ответ:
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:
(xa)' = axa-1
(a)' = 0
(uv)' = u'v + uv'
(f(g(x)))' = f(x)'∙g(x)'
Задание 3. (Максимальное количество баллов - 4 балла)
Вам предложена функция
. Проведите исследование, согласно схеме:1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями.
3. Исследовать функцию на четность/нечетность.
4. Найти асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.
8. Построить график.
1) Область определения функции. Точки разрыва функции.
D(y)=R, но х≠±2
2) Четность или нечетность функции.
y(-x) = -y(x), нечетная функция
3) Периодичность функции.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
x=0, y=0
Пересечение с осью 0X
y=0
x1=0
5) Исследование на экстремум.
y = x^3/(x^2-4)
Найдем точки разрыва функции.
x1 = 2
x2 = -2
Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
или
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x2∙(x2-12) = 0
Откуда:
x1 = 0
 |  | (-2; 0) | (0; 2) |  |  |
| f '(x) > 0 | f '(x) < 0 | f '(x) < 0 | f '(x) < 0 | f '(x) < 0 | f '(x) > 0 |
| функция возрастает | функция убывает | функция убывает | функция убывает | функция убывает | функция возрастает |
-
В окрестности точки x = -2∙sqrt(3) производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2∙sqrt(3) - точка максимума. В окрестности точки x = 2∙sqrt(3) производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2∙sqrt(3) - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
или
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
| (-∞ ;-2) | (-2; 0) | (0; 2) | (2; +∞) |
| f ''(x) < 0 | f ''(x) > 0 | f ''(x) < 0 | f ''(x) > 0 |
| функция выпукла | функция вогнута | функция выпукла | функция вогнута |
6) Асимптоты кривой.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x1 = -2
x2 = 2
Находим переделы в точке x=-2
x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке x=2
x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
