Файл: Контрольная работа 1 По дисциплине Высшая математика.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.04.2024
Просмотров: 19
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Вычислим координаты векторов 
и 
:
Косинус угла
между векторами и найдем по формуле:
g) Поскольку нам известны длины стороны
и высоты 
, то площадь треугольника 
вычислим по формуле:
Треугольник и все найденные прямые изображены на рисунке 1.
Ответ: a) параметрическое:
каноническое: 
; общее: 
; с угловым коэффициентом: 
; в отрезках: 
;
b)
; c) 
; d) 
; e) 
; f) 
; g) 
.
Задание 4. Дана кривая второго порядка.
a) Приведите кривую второго порядка к каноническому виду.
b) Найдите эксцентриситет кривой.
c) Найдите уравнения директрис.
d) Найдите координаты фокусов кривой.
e) Найдите уравнения асимптот (для гиперболы).
f) Постройте кривую второго порядка, фокусы и директрисы на одном чертеже.
Решение.
Приведем уравнение кривой к каноническому виду:
Таким образом, получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями 
и 
.
Вычислим
, тогда 
и 
– фокусы, 
– эксцентриситет.
Директрисы эллипса:
Построим эллипс, его фокусы и директрисы на рисунке 2.
Ответ:
; 
, 
– фокусы; 
– эксцентриситет; 
– директрисы.
Задание 5. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение.
Ответ: а)
; б) 
; в) 
; г) 
.
Задание 6. Задана функция
. Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте чертёж.
Решение.
Функция непрерывна на интервалах
, 
и 
. Исследуем непрерывность функции в точках 
и 
. Для этого вычислим односторонние пределы в этих точках. Начнём с точки :
Получили равенство:
значит, функция непрерывна в точке
.
Аналогично вычислим односторонние пределы в точке
:
Односторонние пределы в точке конечны, но не совпадают, значит, – точка разрыва первого рода.
На рисунке 3 представлен график функции .
Ответ: – точка разрыва первого рода.
и : Косинус угла
между векторами и найдем по формуле: g) Поскольку нам известны длины стороны
и высоты , то площадь треугольника вычислим по формуле: Треугольник
и все найденные прямые изображены на рисунке 1.  |
| Рисунок 1 – Треугольник |
Ответ: a) параметрическое:
каноническое: ; общее: ; с угловым коэффициентом: ; в отрезках: ; b)
; c) ; d) ; e) ; f) ; g) .Задание 4. Дана кривая второго порядка.
a) Приведите кривую второго порядка к каноническому виду.
b) Найдите эксцентриситет кривой.
c) Найдите уравнения директрис.
d) Найдите координаты фокусов кривой.
e) Найдите уравнения асимптот (для гиперболы).
f) Постройте кривую второго порядка, фокусы и директрисы на одном чертеже.
Решение.
Приведем уравнение кривой к каноническому виду:
Таким образом, получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями и .Вычислим
, тогда и – фокусы, – эксцентриситет.Директрисы эллипса:
Построим эллипс, его фокусы и директрисы на рисунке 2.
 |
| Рисунок 2 – Эллипс |
Ответ:
; , – фокусы; – эксцентриситет; – директрисы.Задание 5. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение.
Ответ: а)
; б) ; в) ; г) .Задание 6. Задана функция
. Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте чертёж. Решение.
Функция непрерывна на интервалах
, и . Исследуем непрерывность функции в точках и . Для этого вычислим односторонние пределы в этих точках. Начнём с точки : Получили равенство:
значит, функция непрерывна в точке
.Аналогично вычислим односторонние пределы в точке
: Односторонние пределы в точке
конечны, но не совпадают, значит, – точка разрыва первого рода.На рисунке 3 представлен график функции
.  |
| Рисунок 3 – График функции |
Ответ:
– точка разрыва первого рода.