Файл: Математические основы теории систем.pdf

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
КАФЕДРА КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ В УПРАВЛЕНИИ
И ПРОЕКТИРОВАНИИ
А.Г. Карпов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
СИСТЕМ
Учебное пособие
Томск – 2013

2
УДК 681.5:19
ББК 32.817:22.1
Карпов А.Г. Математические основы теории систем. Учебное посо- бие. − Томск: ТМЛ-Пресс, 2013. − 318 с.
ISBN 978-5-91302-152-6
В учебном пособии даны общие понятия, термины и определения тео- рии систем и системного анализа. Рассмотрено математическое описание и мето- ды исследования различных классов систем: дискретных, непрерывных и дис- кретно-непрерывных. Приведено описание систем, как в виде уравнений высоко- го порядка, так и в форме уравнений состояния. Изложены также основы получе- ния уравнений в частных производных, описывающие оптимальные системы.
Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов, бакалавров и маги- стров «Управление в технических системах» и «Информатика и вычислительная техника», а также может быть использовано студентами других направлений и специальностей, аспирантами и инженерами.
УДК 681.5:19
ББК 32.817:22.1
Р е ц е н з е н т ы : профессор каф. оптимизации систем управления Томск. поли- техн. ун-та, профессор, д-р техн. наук В.А. Силич,
доцент каф. прикладной математики Томск. гос. ун-та, канд. техн. наук Г.Н. Решетникова.
© А.Г.Карпов, 2013
© Том. гос. ун-т си- стем упр. и радиоэлектроники,
2013
К26
ISBN 978-5-91302-152-6

3
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................................................................................................................... 6
Введение ......................................................................................................................................... 7 1. Общие понятия о системах и их моделях ............................................................................. 8 1.1 Предварительные замечания ....................................................................................... 8 1.1.1. Системность человеческой практики ................................................................ 8 1.1.2. Системность познавательных процессов и природы ..................................... 10 1.1.3. Общие свойства систем .................................................................................... 10 1.2 Модели и моделирование .......................................................................................... 12 1.2.1. Понятие модели и его развитие ....................................................................... 12 1.2.2. Типы моделей .................................................................................................... 13 1.2.3. Свойства моделей ............................................................................................. 17 1.3 Системы, их общее описание и классификация ....................................................... 20 1.3.1. Первое определение системы. Модель «чёрный ящик» ................................ 20 1.3.2. Модель состава системы .................................................................................. 22 1.3.3. Модель структуры системы. Второе определение системы .......................... 23 1.3.4. Динамические модели системы ....................................................................... 24 1.3.5. Общая математическая модель динамической системы ................................ 26 1.3.6. Классификация систем ..................................................................................... 31
Контрольные вопросы ......................................................................................................... 35 2. Автоматное описание систем. Теория конечных автоматов ............................................. 37 2.1. Основные понятия. Способы задания автоматов ..................................................... 37 2.1.1. Определение абстрактного автомата ............................................................... 37 2.1.2. Задание автоматов ............................................................................................ 41 2.2 Виды автоматов и их свойства .................................................................................. 43 2.2.1. Автономные автоматы ...................................................................................... 44 2.2.2. Автоматы синхронные и асинхронные ........................................................... 46 2.2.3. Автоматы Мили и автоматы Мура .................................................................. 47 2.2.4. Автоматы первого и второго рода ................................................................... 51 2.2.5. Гомоморфизм, изоморфизм и эквивалентность автоматов ........................... 55 2.2.6. Минимизация автоматов .................................................................................. 56 2.2.7. Частичные автоматы и их свойства ................................................................. 59 2.3 Распознавание множеств автоматами ....................................................................... 65 2.3.1. Понятие события и постановка задачи представления событий автоматами65 2.3.2. Регулярные события и алгебра Клини............................................................. 67 2.3.3. Синтез автоматов (абстрактный уровень) ....................................................... 73 2.3.4. Анализ автоматов (абстрактный уровень) ...................................................... 77 2.4 Алгебра абстрактных автоматов ............................................................................... 82 2.4.1. Теоретико-множественные операции .............................................................. 83 2.4.2. Алгебраические операции ................................................................................ 82 2.4.3. Операции над вероятностными автоматами ................................................. 101 2.5 Структурное исследование автоматов .................................................................... 109 2.5.1. Комбинационные логические автоматы ....................................................... 110 2.5.2. Постановка задач синтеза и анализа на структурном уровне ...................... 111 2.5.3. Элементный базис........................................................................................... 112 2.5.4. Автоматные сети ............................................................................................. 114 2.5.5. Анализ комбинационных автоматов ............................................................. 121 2.5.6. Синтез комбинационных автоматов .............................................................. 122 2.5.7. Кодирование состояний ................................................................................. 128

4 2.5.8. Программная реализация комбинационных автоматов ............................... 132 2.6 Общие методы синтеза автоматов .......................................................................... 135 2.6.1. Декомпозиция абстрактных автоматов ......................................................... 135 2.6.2. Канонический метод синтеза ......................................................................... 137 2.6.3. Декомпозиционный метод синтеза ................................................................ 139
Контрольные вопросы ....................................................................................................... 140 3. Системы с непрерывными во времени переменными...................................................... 141 3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем ................................................. 141 3.1.1. Описание систем дифференциальными уравнениями ................................. 141 3.1.2. Линеаризация .................................................................................................. 142 3.1.3. Общие свойства линейных дифференциальных уравнений ........................ 145 3.2 Классические методы решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ................................................................................................................ 146 3.2.1. Однородные уравнения .................................................................................. 146 3.2.2. Неоднородные уравнения .............................................................................. 149 3.2.3. Вычисление постоянных интегрирования .................................................... 157 3.3 Методы преобразований .......................................................................................... 158 3.3.1. Ряды Фурье и интегральное преобразование Фурье .................................... 158 3.3.2. Интегральные преобразования Лапласа, Карсона, Хевисайда .................... 164 3.3.3. Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения ......................... 176 3.3.4. Разложение произвольных функций по элементарным функциям ............. 179 3.3.5. Преобразование Меллина .............................................................................. 181 3.3.6. Преобразования Бесселя................................................................................. 182 3.3.7. Преобразование Гильберта ............................................................................ 182 3.3.8. Преобразование Лагерра ................................................................................ 184
Контрольные вопросы ....................................................................................................... 185 4. Операторное описание дискретных по времени систем .................................................. 186 4.1 Прямой и обратный разностные операторы ........................................................... 186 4.1.1. Оператор сдвига и разностный оператор ...................................................... 186 4.1.2. Обратный разностный оператор .................................................................... 189 4.2 Разностные линейные уравнения динамики .......................................................... 191 4.2.1. Общие свойства уравнений ............................................................................ 191 4.2.2. Решение однородных уравнений ................................................................... 193 4.2.3. Решение неоднородных уравнений ............................................................... 196 4.3 Методы преобразований .......................................................................................... 205 4.3.1. Дискретное преобразование Лапласа ............................................................ 205 4.3.2. z-преобразование ............................................................................................ 209 4.3.3. Разностные уравнения и z-преобразование .................................................. 221
Контрольные вопросы ....................................................................................................... 223 5. Матрицы и линейные пространства .................................................................................. 225 5.1 Основные типы матриц и операции над ними ....................................................... 225 5.1.1. Общие понятия................................................................................................ 225 5.1.2. Простейшие операции .................................................................................... 226 5.1.3. Определители, миноры и алгебраические дополнения ................................ 227 5.1.4. Присоединенная и обратная матрицы ........................................................... 229 5.2 Векторы и векторные пространства ........................................................................ 232 5.2.1. Векторы и их свойства ................................................................................... 232 5.2.2. Векторное пространство и подпространство ................................................ 235 5.2.3. Базис векторного пространства ..................................................................... 237 5.3 Собственные значения и собственные векторы ..................................................... 240

5 5.3.1. Характеристическое уравнение ..................................................................... 240 5.3.2. Модальная матрица ........................................................................................ 244 5.3.3. Симметрическая матрица ............................................................................... 248 5.4 Линейные преобразования ...................................................................................... 249 5.4.1. Элементарные действия над матрицами ....................................................... 249 5.4.2. Эквивалентные преобразования .................................................................... 250 5.4.3. Диагонализация матриц ................................................................................. 253 5.5 Квадратичные формы .............................................................................................. 260 5.5.1. Преобразование переменных ......................................................................... 261 5.5.2. Определенные, полуопределенные и неопределенныеформы ................... 263 5.5.3. Дифференцирование квадратичных форм .................................................... 264 5.6 Матричные функции ................................................................................................ 266 5.6.1. Матричные ряды ............................................................................................. 266 5.6.2. Функции от матриц ......................................................................................... 268 5.6.3. Теорема Кэли – Гамильтона ........................................................................... 271 5.6.4. Теорема Сильвестра........................................................................................ 275
Контрольные вопросы ....................................................................................................... 277 6. Векторно-матричные дифференциальные уравнения ...................................................... 279 6.1 Уравнения состояния ............................................................................................... 279 6.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения ..................................................... 279 6.3 Каноническая форма ................................................................................................ 282 6.4 Обыкновенные уравнения стационарных систем .................................................. 283 6.4.1. Переходная матрица и методы ее вычисления ............................................. 283 6.4.2. Общее решение неоднородных уравнений ................................................... 288 6.5 Обыкновенные уравнения нестационарных систем .............................................. 290 6.5.1. Переходная нестационарная матрица............................................................ 290 6.5.2. Сопряженная система ..................................................................................... 295 6.5.3. Общее решение нестационарных уравнений ................................................ 298 6.6 Уравнения в частных производных ........................................................................ 300 6.6.1. Уравнения Лагранжа ...................................................................................... 300 6.6.2. Уравнения Гамильтона ................................................................................... 303 6.6.3. Уравнение Гамильтона – Якоби .................................................................... 308
Контрольные вопросы ....................................................................................................... 310
Литература ................................................................................................................................. 312

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие составлено на основе существенно перерабо- танных, дополненных и исправленных учебных пособий [1] и [2]. Также при написании пособия был учтен многолетний опыт автора по препода- ванию одноименного курса в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники.
Курс "Математические основы теории систем" предваряет изучение таких дисциплин как "Теория управления", "Цифровые системы автома- тического управления", "Технические средства автоматизации и управле- ния", "Моделирование систем управления " и некоторых других. В этом курсе продолжается углубленное изучение тех разделов математики, ко- торые непосредственно связаны с описанием и исследованием динамиче- ских систем.
Ввиду ограниченности объема учебного пособия неизбежно и созна- тельно были выброшены некоторые чрезвычайно важные темы, такие как стохастика (этот недостаток частично ликвидирован в книге [3] при изу- чении теории автоматического управления) и описание цифровых систем дискретными уравнениями состояния (соответствующие разделы можно изучить по [4]).

7
ВВЕДЕНИЕ
Говорить о математических основах теории систем можно только по- сле того, как будут определены сами понятия системы, модели, анализа систем и проч. Именно поэтому в первом разделе даются общие опреде- ления, термины и понятия теории систем и системного анализа. Подроб- ное исследование этой темы проведено в [5]. Именно из [5] были заим- ствованы некоторые идеи, методы и приёмы системного анализа. Также в разделе 1 приведена классификация моделей и систем и дается общая математическая модель динамической системы. Важным моментом этой модели является описание входных, выходных и внутренних переменных системы. Если упомянутые переменные берутся из
конечных множеств возможных значений, описание соответствующих систем осуществляется в рамках
теории конечных автоматов. Описание систем в рамках этой теории приведено в разделе 2.
Если переменные в системе зависят от моментов времени, принадле- жащих континуальному (непрерывному) множеству, система может быть описана дифференциальными уравнениями. Общие свойства, виды и ме- тоды решения обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в разделе 3. Здесь изложены как классические методы, так и методы инте- гральных преобразований.
Если переменные в системе зависят от дискретных моментов времени, то получаем описание систем в виде
разностных уравнений (импульсные или дискретные системы). В разделе 4 приведены общие свойства и ме- тоды решения таких уравнений (как классические, так и методы преобра- зования).
Альтернативной формой представления информации о системах явля- ется матричная форма. При такой форме представления информации ис- следование свойств систем сводится к выяснению свойств матриц. Ос- новные виды, свойства и методы преобразования векторов и матриц при- ведены в разделе 5.
Описание систем в пространстве состояний векторно-матричными дифференциальными уравнениями изложено в разделе 6. Здесь приведены методы и формы решения как стационарных, так и нестационарных обык- новенных дифференциальных векторно-матричных уравнений состояния.
Даны также общие понятия и конкретные виды уравнений в частных про- изводных, к которым приводит описание
оптимальных систем.

8