Файл: Математические основы теории систем.pdf

285 числом
N членов ряда, если относительный вклад (N+1)-го слагаемого в уже вычисленную сумму для каждого элемента матрицы
)
t
Φ( становит- ся меньше наперед заданного числа.
Метод преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа к уравнению (6.4.1), полагая
0 0
t = :
( ) ( )
( )
0
s
s
s
−
=
X
x
AX
Полученное уравнение разрешим относительно
( )
s
X
:
( )
[
] ( )
1 0
s
s
−
=
−
X
E A
x
. (6.4.4)
Применяя к обеим частям уравнения (6.4.4) обратное преобразование
Лапласа, получим
( )
[
]
{
}
( )
1 1
0
x t
L
s
−
−
=
−
E A
x
. (6.4.5)
Из уравнений (6.4.5) и (6.4.2) делаем вывод, что переходная матрица может быть представлена формулой
( )
[
]
{
}
1 1
t
L
s
−
−
=
−
Φ
E A
. (6.4.6)
Таким образом, в этом методе для вычисления переходной матрицы необходимо найти обратную матрицу
[
]
1
s
−
−
E A
и применить к ней об- ратное преобразование Лапласа.
Пример 6.1.
Найти переходную матрицу для матрицы
A
из примера 5.9 1
2 0
1
,
1,
2 2
3


=
λ = − λ = −


−
−


A
Матрица, обратная к
[
]
1 2
3
s
s
s
−


−
= 

+


E A
,

286 имеет вид
[
]
2 2
1 2
2 2
3 1
3 1 1
3 2
3 2
2 2
3 2
3 2
3 2
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
−
+




+


+
+
+
+
−
=
= 



−
−
+
+ 
 



+
+
+
+


E A
Обратное преобразование от каждого элемента матрицы найдем по тео- реме разложения
1 1
2 11 2
1 1
2 12 2
1 2
21 2
1 1
2 22 2
3 2
1 2
,
3 2
1 2
1 1
1
,
3 2
1 2
2 2
2
,
3 2
1 2
2 3
2 1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
s
L
L
e
e
s
s
s
s
L
L
e
e
s
s
s
s
L
e
e
s
s
s
L
L
e
e
s
s
s
s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+




φ =
=
−
=
−




+
+
+
+








φ =
=
−
=
−




+
+
+
+




−


φ =
= −
+


+
+


−




φ =
=
+
= −
+




+
+
+
+




Полученная переходная матрица
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
t
e
e
e
e
e
−
−
−
−
−
−
−
−


−
−
=
= 

−
+
−
+


A
Φ
совпадает с найденной в примерах 5.9 и 5.10.
Очень просто находить переходную матрицу для уравнений состоя- ния, представленных в канонической форме (6.3.2). В этом случае пере- ходная матрица равна
( )
1 2
diag
i
n
t
t
t
t
t
e
e
t
e
e
e
λ
λ
λ
λ








=
=
=

 






287
Для произвольной матрицы
A
на основании преобразования подобия
1
−
=
Λ M AM
можно записать
1
−
=
A MΛM . (6.4.8)
Переходную матрицу на основе (6.4.8) можно представить, восполь- зовавшись формулой (5.6.16):
( )
diag
i
t
t
t
t
e
e
e
λ
−
−


=
=
=


A
Λ
1
1
Φ
M
M
M
M (6.4.9)
Выражение (6.4.9) представляет собой еще один метод вычисления переходной матрицы (с использованием модальной матрицы).
Пример 6.2.
Найти переходную матрицу с помощью модальной мат- рицы для матрицы
A
из примера 6.1 1
2 0
1
,
1,
2 2
3


=
λ = − λ = −


−
−


A
Присоединенная матрица
[
]
Adj λ −
E A равна
[
]
1 3 1
Adj
Adj
2 3
2
λ
−
λ +

 

λ −
=
=

 

λ +
−
λ

 

E A
Подставив в неё последовательно
1 2
1 и
2
λ = −
λ = − , получим две мат- рицы, каждая из которых даст свой собственный вектор как ненулевой столбец. Составим из этих векторов модальную матрицу
M и найдем обратную к ней
1
−
M
1 1
1 2
1
,
1 2
1 1
−




=
=




−
−
−
−




M
M
На основе (6.4.9) получаем

288
( )
1 2
2 2
2 2
1 1
2 1
0
diag
1 2
1 1
0 2
2 2
2
i
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
t
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
−
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−








=
=
=
=








−
−
−
−








−
−
= 

−
+
−
+


A
Φ
M
M
6.4.2. Общее решение неоднородных уравнений
Уравнения состояния линейной стационарной системы задаются со- гласно (6.2.6) в виде
,
r
•
=
+
=
+
x Ax B
y Cx Dr
Матрица
A
в этих уравнениях – основная матрица системы, так как ее структура определяет переходную матрицу состояния. От этой матри- цы зависит как вынужденная (установившаяся), так и переходная состав- ляющие решения. Матрица
B – матрица связи: структура этой матрицы определяет характер связи входных воздействий с переменными состоя- ния. Матрица
C – также матрица связи, а именно, связи переменных со- стояния с выходными переменными системы. Наконец, матрица
D
– опять матрица связи; на этот раз связи входных переменных непосред- ственно с выходными переменными. Часто для реальных систем
D явля- ется нулевой матрицей, так что связь входа непосредственно с выходом отсутствует.
Как и в скалярном случае, общее решение уравнений (6.2.6) для ( )
t
x
и ( )
t
y
можно получить разными методами. Например, как это сделать с помощью метода вариации параметров, рассмотрено ниже.
Соответствующее однородное дифференциальное уравнение (6.4.1) имеет решение о
0 0
0
( )
(
) ( ) при
t
t t
t
t t
=
−
≥
x
Φ
x
. Частное решение ищем в виде
( )
н
0 0
( )
(
)
( )
t
t t
t
t
=
−
x
Φ
U
x
. Тогда общее решение неоднородного уравнения (6.2.6) равно
( )
( )
о н
0 0
0 0
( )
( )
(
) ( )
(
)
( )
t
t
t
t t
t
t t
t
t
=
+
=
−
+
−
x
x
x
Φ
x
Φ
U
x
Удобнее это уравнение записать в форме

289
( )
( )
(
)
( )
0 0
(
)
( )
t
t t
t
t
t
=
−
+
x
Φ
E U
x
z
, (6.4.10) где подлежит определению неизвестный вектор
( )
( )
(
)
0
( )
t
t
t
=
+
z
E U
x
Подставляя выражение (6.4.10) в уравнение (6.2.6), получим
(
)
(
) ( )
(
) ( )
( )
0 0
0
t t
t t
t
t t
t
t
•
•


−
−
−
+
−
=




Φ
AΦ
z
Φ
z
Br
Так как переходная матрица удовлетворяет однородному уравнению
(6.4.1), первое слагаемое в последнем выражении равно нулю и получаем
( )
(
) ( )
1 0
t
t t
t
•
−
=
−
z
Φ
Br
(6.4.11)
Интегрируя уравнение (6.4.11) в пределах от
0
t до t, имеем
( )
( )
(
) ( )
0 1
0 0
t
t
t
t
t t
t dt
−
−
=
−
∫
z
z
Φ
Br
(6.4.12)
Учитывая, что
0 0
( )
( )
t
t
=
z
x
, из уравнений (6.4.10) и (6.4.12) находим
( )
t
x
( )
(
) ( )
(
)
(
) ( )
0 1
0 0
0 0
t
t
t
t t x t
t t
t
d
−
=
−
+
−
τ −
τ τ
∫
x
Φ
Φ
Φ
Br
Поскольку
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
0 0
0 0
,
t t
t
t
t t
t
e
e
e
t
−
−
τ−
−τ
−
⋅
τ −
=
⋅
=
=
− τ
A
A
A
-1
Φ
Φ
Φ
окончательно получаем
0 0
0
( )
(
) ( )
(
)
( ) .
t
t
t
t t
t
t
d
=
−
+
− τ
τ τ
∫
x
Φ
x
Φ
Βr
(6.4.13)

290
Решение для ( )
t
y
следует из подстановки уравнения (6.4.13) в урав- нение выхода (6.2.6)
( )
(
) ( )
(
) ( )
( )
0 0
0
t
t
t
t t
t
t
d
t
=
−
+
− τ
τ τ +
∫
y
CΦ
x
CΦ
Br
Dr
(6.4.14)
Выражения (6.4.13) и (6.4.14) являются решениями уравнений состоя- ния (6.2.6). Первое слагаемое в уравнении (6.4.14) представляет собой переходную составляющую решения, обусловленную начальными усло- виями, тогда как второе слагаемое (по сути, это интеграл свертки) явля- ется вынужденной составляющей, зависящей от входного воздействия.
6.5 Обыкновенные уравнения нестационарных систем
6.5.1. Переходная нестационарная матрица
Если параметры системы изменяются во времени, то элементы матри- цы
A
не являются постоянными, а являются функциями времени. В этом случае однородное векторно-матричное дифференциальное уравнение имеет вид
( )
t
•
=
x A
x (6.5.1)
При решении этого уравнения естественно обратиться к скалярной аналогии, то есть к скалярному уравнению
( )
( ) ( )
x t
a t x t
•
=
⋅
(6.5.2)
Решение уравнения (6.5.2) равно
( )
( )
( )
0 0
exp
,
t
t
x t
a t dt
x t








=










∫
(6.5.3) где
0
t – некоторый начальный момент времени.

291
По аналогии с формулой (6.5.3) решение матричного уравнения (6.5.1) предполагается в виде
( )
( )
( )
0 0
exp
t
t
t
t dt
t


=
⋅






∫
x
A
x
(6.5.4)
Но при подстановке выражения (6.5.4) в уравнение (6.5.1) видно, что формула (6.5.4) действительно представляет собой решение в том и толь- ко в том случае, если
( )
( )
( )
,
t
t
d t
d
e
e
dt
dt
=
⋅
I
I
I
(6.5.5) где
( )
( )
0
t
t
t
t dt
=
∫
I
A
К сожалению, условие (6.5.5) выполняется не всегда; более того, оно чаще не выполняется, чем выполняется. В двух частных, но тривиальных случаях уравнение (6.5.5) выполняется всегда, а именно, когда матрица
A
– постоянная или когда
A
– диагональная матрица. Решение для пер- вого случая уже разбиралось, а во втором случае уравнения состояния оказываются не связанными друг с другом, так что для каждого
i
x го- дится решение (6.5.3).
Можно показать, что условие (6.5.5) трансформируется в условие коммутативности для матрицы
A
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 1
1 2
для всех и
t
t
t
t
t
t
=
A
A
A
A
. (6.5.6)
Таким образом, если выполняется условие (6.5.6), то выражение
(6.5.4) является решением уравнения (6.5.1) и переходная матрица состо- яния (зависящая уже от двух аргументов
t и
0
t ) равна
( )
( )
0 0
,
exp
t
t
t t
t dt
=
∫
Φ
A
(6.5.7)

292
Если условие коммутативности (6.5.6) не выполняется, переходная матрица уже не может выражаться уравнением (6.5.7). Тогда решение уравнения (6.5.1) можно получить методом, известным как
метод инте-
грирования Пеано – Бэкера. Этот метод заключается в следующем.
При заданных начальных условиях
0
( )
t
x
проинтегрируем уравнение
(6.5.1)
( )
( )
( ) ( )
0 0
t
t
t
t
d
=
+
τ
τ τ
∫
x
x
A
x
(6.5.8)
Это уравнение можно встретить под названием
векторного инте-
грального уравнения Вольтерра. Решается это уравнение путем последо- вательных подстановок правой части уравнения (6.5.8) в подынтеграль- ное выражение вместо ( )
t
x
. Например, первая итерация даст
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
t
t
t
t
t
t
d
d
τ


=
+
τ
+
λ
λ λ τ






∫
∫
x
x
A
x
A
x
(6.5.9)
Упростить запись подобных выражений можно введением оператора интегрирования
( )
0
(...)
t
t
Q
d
=
τ
∫
. Тогда уравнение (6.5.8) можно записать в виде
( )
( )
( )
0
t
t
Q
=
+
x
x
Ax , а уравнение (6.5.9) приобретает вид
. (6.5.10)
Продолжая процедуру, описываемую уравнением (6.5.10), получим
( )
t
x
в виде
ряда Неймана
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
0
t
Q
Q
Q
Q
Q
Q
t


=
+
+
+
+


x
E
A
A
A
A
A
A
x
. (6.5.11)
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
0 0
t
t
Q
t
Q
Q
=
+
+
x
x
A x
A
Ax

293
Первое слагаемое в скобках – это единичная матрица. Второе слагае- мое равно интегралу от ( )
t
A
в пределах от
0
t до t. Третье слагаемое по- лучается умножением ( )
Q A на
A
слева и последующим интегрировани- ем произведения в пределах от
0
t до t и т.д. Если элементы матрицы
A
ограничены на отрезке интегрирования, то бесконечный ряд сходится равномерно и абсолютно к некоторой квадратной матрице ( )
G A , назы- ваемой
матрицантом:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
G
Q
Q
Q
Q
Q
Q
= +
+
+
+
A
E
A
A
A
A
A
A
. (6.5.12)
Основное свойство матрицанта заключается в том, что
( )
( )
d
G
G
dt
=
A
A
A (6.5.13)
Это свойство нетрудно доказать, если взять производную по
t от обе- их частей выражения (6.5.12).
Выражение (6.5.11) совместно со свойством (6.5.13) дают основание утверждать, что ( )
G A представляет собой искомую переходную матрицу состояния нестационарной системы:
( )
0
,
( )
t t
G
=
Φ
A . (6.5.14)
Понятно, что при постоянной матрице
A
из выражения (6.5.12) сле- дует, что
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 2
3 0
0 2
3 0
0 0
,
2!
3!
t t
t t
t t
t t
t t
t t
e
−
−
−
=
−
= + −
+
+
+ =
A
Φ
Φ
E
A
A
A
Недостаток этого метода очевиден: при медленной сходимости ряда
(6.5.12) процесс вычисления достаточно трудоемок.
Во многих случаях переходная матрица легко получается при надле- жащем выборе переменных состояния. Может оказаться полезным опре- делить, существуют ли такие переменные состояния, чтобы было право- мерным применение соотношения (6.5.7).
Сведем воедино свойства переходных матриц, часть из которых уже отмечалась.

294
Свойство 1:
( )
,
t t =
Φ
E
. (6.5.15)
Это свойство следует из определения переходной матрицы.
Свойство 2:
(
)
(
)
(
)
1 2
2 3
1 3
,
,
,
t t
t t
t t
=
Φ
Φ
Φ
. (6.5.16)
Воспользуемся соотношениями
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
(
) ( )
2 2
3 3
1 1
2 2
1 3
3
,
,
,
,
t
t t
t
t
t t
t
t t
t
=
=
=
x
Φ
x
x
Φ
x
Φ
x
Подставив первое из них во второе, получим
( )
(
)
(
) ( )
(
) ( )
1 1
2 2
3 3
1 3
3
,
,
,
t
t t
t t
t
t t
t
=
=
x
Φ
Φ
x
Φ
x
, откуда с неизбежностью следует соотношение (6.5.16).
Свойство 3:
(
)
(
)
1 1
2 2
1
,
,
t t
t t
−
=
Φ
Φ
. (6.5.17)
Это свойство вытекает из свойства 2, если вместо
3
t в формулу
(6.5.16) подставить
1
t . Получим
(
) (
)
(
)
1 2
2 1
1 1
,
,
,
t t
t t
t t
=
=
Φ
Φ
Φ
E .
Умножая последнее соотношение справа на
(
)
1 2
1
,
t t
−
Φ
, получаем формулу (6.5.17).
Свойство 4(для стационарных систем):
(
)
( ) ( )
t
t
+ τ =
τ
Φ
Φ
Φ
. (6.5.18)