Файл: Математические основы теории систем.pdf

295
Это свойство следует непосредственно из свойств матричной экспо- ненты, поскольку
( )
t
t
e
=
A
Φ
Свойство 5 (для стационарных систем):
( )
( )
1
t
t
−
=
−
Φ
Φ
. (6.5.19)
Это свойство является непосредственным следствием свойства 3 в применении к стационарным системам или вытекает из формулы (6.5.18), если в последнюю подставить
t
τ = − .
6.5.2. Сопряженная система
Важную роль при решении нестационарных уравнений, а также в за- дачах оптимального управления играет обратная переходная матрица
( )
1
,
t
−
τ
Φ
. Ее значимость связана с соотношением (6.5.17) , из которого следует
( )
( )
1
,
,
t
t
−
τ =
τ
Φ
Φ
Поведение системы относительно переменной
t определяется динами- ческими свойствами исходной системы
( )
t
•
=
x A x . Поведение системы относительно переменной τ зависит от динамических свойств такой си- стемы, для которой
( )
1
,
t
−
τ
Φ
является переходной матрицей. Такая си- стема называется
сопряженной системой. Если исходная система задана уравнением
( )
t
•
=
x A x , то
сопряженная система определяется как
( )
,
t
•
= −
α
αA
(6.5.20) где α
– вектор

296
Легко показать, что
( )
1
,
t
−
τ
Φ
действительно является переходной матрицей для уравнения (6.5.20). Для этого вспомним уравнение (5.1.11), согласно которому
( )
( ) ( )
( )
1 1
1
,
,
,
, .
d
t
t
t
t
dt
−
•
−
−
τ
= −
τ ⋅
τ ⋅
τ
Φ
Φ
Φ
Φ
Учитывая, что
( )
( ) ( )
,
,
t
t
t
•
τ =
τ
Φ
A
Φ
, из последнего выражения получим
( )
( ) ( )
1 1
,
,
,
d
t
t
t
dt
−
−
τ
= −
τ ⋅
Φ
Φ
A
(6.5.22) т.е.
( )
1
,
t
−
τ
Φ
удовлетворяет однородному уравнению (6.5.20) и, следова- тельно, является переходной матрицей состояния для системы (6.5.20).
Транспонирование уравнения (6.5.22) дает
( )
( )
( )
( )
1 1
1
,
,
,
T
T
T
T
d
t
d
t
t
t
dt
dt
−
−
−


τ




=
τ
= −
⋅
τ








Φ
Φ
A
Φ
Таким образом,
( )
1
,
T
t
−


τ


Φ
является переходной матрицей для си- стемы, описываемой уравнением (6.5.21).
Уравнение сопряженной системы можно получить и воспользовав- шись дифференциальным уравнением
n-го порядка. Однородное диффе- ренциальное уравнение
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
1 2
1 2
0
n
n
n
n
y
a t y
a t y
a t y
−
−
+
+
+ +
= (6.5.23) можно записать как
( )
0
n
D p y = , где
( )
n
D p – линейный оператор, опре- деляемый формулой
( )
( )
(
)
1
,
,
k
n
n k
n
k
n
k
k
k
d
D p
p
a t p
p
dt
−
=
=
+
=
∑

297 а
( )
k
a t – действительные функции.
Тогда сопряженный линейный оператор определяется как
( ) ( )
( )
( )
1 1
1
,
n
n
n k
n
n k
n
k
k
D p
p
p a t
−
∗
−
=
= −
+
−
∑
(6.5.24) где запись
( )
n k
k
p a t
−
говорит о том, что
n k
p
−
действует на произведение
( )
k
a t и зависимой переменной.
Сопряженное линейное дифференциальное уравнение
( )
0
n
D p
∗
α = будет записываться в виде
( )
( )
( )
(
)
( )
1 1
1 1
1 0
n
n
n
n
n
p
p
a t
a t
−
−
−
α + −
α + +
α = .
Если дифференциальное уравнение (6.5.23) представить в стандарт- ной матричной форме
( )
t
•
=
x A
x , то матрица
( )
t
A
является матрицей
Фробениуса
( )
( )
( )
( )
1 1
0 1
0 ...
0 0
0 1 ...
0
n
n
t
a t
a
t
a t
−






=




−
−
−


A
Для сопряженной системы матричное уравнение согласно (6.5.21) равно
( )
T
t
•
= −
α
A
α и матрица
( )
T
t
−A
имеет вид
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 0
0 0
1 0
0 0
1 ...
0 0
0 1
n
n
T
n
a t
a
t
t
a
t
a t
−
−




−




−
=
−






−


A

298
Выполняя последовательное дифференцирование компонент вектора
α
αα
α, можно показать, что операторная и матричная формы уравнений со- пряженной системы эквивалентны.
Можно найти сопряженный оператор и на основе его определения
( )
( )
,
,
T
D p
D p
∗


〈
〉 = 〈
〉


α
x
α x .
Это определение часто используется при формулировке критериев су- ществования и единственности решения дифференциальных уравнений.
6.5.3. Общее решение нестационарных уравнений
Используя понятие сопряженной системы, можно получить общее решение уравнений состояния нестационарных систем. В общем виде уравнения состояния линейной системы задаются в виде (6.2.5)
( )
( )
( )
( )
,
,
t
t r
t
t
•
=
+
=
+
x A
x B
y C
x D
r
Уравнение для переходной матрицы сопряженной системы имеет вид
(6.5.22)
( )
( ) ( )
1 1
,
,
,
d
t
t
t
dt
−
−
τ
= −
τ ⋅
Φ
Φ
A
Умножим первое из уравнений (6.2.5) на
( )
1
,
t
−
τ
Φ
слева, а уравнение
(6.5.22) – на х справа:
( )
( ) ( )
( ) ( )
,
,
,
t
t
t
t
t r
•
•
•
•
Φ
τ
= Φ
τ
+ Φ
τ
x
A
x
B
,
( )
( ) ( )
1 1
,
,
,
d
t
t
t
dt
−
−
τ
= −
τ ⋅
Φ
x
Φ
A
x
( )
( ) ( )
1 1
,
,
t
t
t
•
−
−
τ
= −
τ ⋅
Φ
x
Φ
A
x
Сложение последних двух выражений приводит к уравнению

299
( )
( ) ( )
1 1
,
,
d
t
t
t
dt
−
−


τ
=
τ ⋅


Φ
x
Φ
B
r. (6.5.25)
Проинтегрируем уравнение (6.5.25) в пределах от τ
до t. В результате получим
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1
,
,
,
t
t
t
d
−
−
−
τ
τ
−
τ τ
τ =
λ τ
λ
λ λ
∫
Φ
x
Φ
x
Φ
B
r
Из последнего выражения найдем ( )
t
x
, учитывая, что
( )
1
,
−
τ τ =
Φ
E ,
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
,
,
,
t
t
t
t
d
−
τ
=
τ
τ +
τ
λ τ
λ
λ λ
∫
x
Φ
x
Φ
Φ
B
r
Воспользовавшись тем, что
( )
( )
( ) ( )
( )
1
,
,
,
,
,
t
t
t
−
τ
λ τ =
τ
τ λ =
λ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
, окончательно получим
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,
,
t
t
t
t
d
τ
=
τ ⋅ τ +
λ
λ
λ λ
∫
x
Φ
x
Φ
B
r
. (6.5.26)
Решение для
( )
t
y
получается подстановкой уравнения (6.5.26) во вто- рое из уравнений (6.2.5)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
,
t
t
t
t
t
t
d
t
t
τ
=
τ
τ +
λ
λ
λ λ +
∫
y
C
Φ
x
C
Φ
B
r
D
r
. (6.5.27)
Выражения (6.5.26) и (6.5.27) являются общим решением неоднород- ных линейных нестационарных дифференциальных уравнений (6.2.5). По своему виду и структуре они подобны соответственно решениям (6.4.13) и (6.4.14).

300
6.6 Уравнения в частных производных
6.6.1. Уравнения Лагранжа
Проще всего подойти к уравнению Лагранжа, рассматривая пример механической системы [14] (рис. 6.2).
Рис. 6.2. К выводу уравнения Лагранжа
Кинетическая энергия движущегося тела с массой
M равна
2 1
2
T
M x
•
=
(6.6.1)
Потенциальная энергия пружины
0 2
1 2
x
x
V
Kxdx
Kx
=
=
∫
(6.6.2)
По второму закону Ньютона уравнение движения тела будет (силой трения пренебрегаем):
0.
M x Kx
••
+
= (6.6.3)
Дифференцируя соотношение (6.6.1) сначала по
x
•
, а затем по
t, имеем
d
T
M x
dt
x
••
•


∂
=




∂


(6.6.4)

301
Дифференцируя соотношение (6.6.2) по
х, получаем
V
Kx
x
∂
=
∂
(6.6.5)
Складывая соотношения (6.6.4) и (6.6.5) и учитывая уравнение (6.6.3), получаем уравнение
0
d
T
V
dt
x
x
•


∂
∂
+
=



 ∂
∂


, (6.6.6) являющееся частным случаем
уравнения движения Лагранжа для систе- мы без потерь:
0
i
i
i
d
T
T
V
dt
x
x
x
•


∂
∂
∂

 +
+
=

 ∂
∂
∂


. (6.6.7)
В уравнении (6.6.7) переменные
(
1, 2,..., )
i
x i
n
=
называются
обобщен-
ными координатами.Термин «обобщенные координаты» пришел из классической механики, хотя по сути это те же переменные состояния системы.
Введем обозначение
( )
,
,
L
T
V
•
•




=
−








x x
x x
x , (6.6.8) где х – вектор переменных состояния системы.
Функция (6.6.8) называется
лагранжианомсистемы. С учетом обозна- чения(6.6.8) уравнение (6.6.7) для консервативной (без потерь энергии) системы в случае отсутствия внешних воздействий можно записать в виде
(
)
grad grad
d
L
L
dt
•
=
x
x
(6.6.9)
Уравнение (6.6.9) известно как
уравнение Эйлера – Лагранжа.

302
Уравнение движения (6.6.9) может быть выведено из вариационного принципа Даламбера. Этот принцип состоит в том, что любая динамиче- ская система под действием консервативных сил движется с минимумом средней по времени разности между кинетической и потенциальной энергиями. Это означает, что
(
)
2 1
0
t
t
T V dt
δ
−
=
∫
или
2 1
0
t
t
Ldt
δ
=
∫
, (6.6.10) где δ означает соответствующую вариацию.
Найдем вариацию лагранжиана
L
δ :
(
)
(
)
grad grad
L
L
L
•
•
δ =
δ +
δ
x
x
x
x (6.6.11) с нулевыми граничными условиями на концах интервала
1 2
( , )
t t , т.е.
1 2
( )
( ) 0
t
t
δ
= δ
=
x
x
.
Подставляя выражение (6.6.11) в формулу (6.6.10), получим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 1
grad grad grad grad grad grad grad
0.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Ldt
L
dt
L
dt
d
L
L
dt
L
dt
dt
d
L
L
dt
dt
•
•
•
•
•
δ
=
δ
+
δ
=
=
δ
−
δ
+
δ
=


=
−
δ
=




∫
∫
∫
∫
∫

∫
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(6.6.12)
Уравнение (6.6.12) может быть удовлетворено только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Это условие приводит к уравнению Эйлера – Лагранжа (6.6.9).
Можно показать [14], что для систем с потерями (при отсутствии внешних воздействий) уравнение Эйлера – Лагранжа принимает вид
(
)
grad grad grad
0,
d
L
L
F
dt
•
•
−
+
=
x
x
x
(6.6.13)

303 где
F называется диссипативной (рассеивающей) функцией Релея, пред- ставляющей по своему физическому смыслу мощность, теряемую (рассе- иваемую) системой.
При воздействии на систему внешних сил уравнение движения Ла- гранжа принимает вид
(
)
grad grad
,
d
T
T
dt
•
−
=
x
x
r (6.6.14) где r – обобщенные силы.
Если потери отсутствуют, то grad
V
−
x
r =
. При записи уравнения
(6.6.14) учтено, что потенциальная энергия ( )
V x не зависит от
•
x .
К уравнению Эйлера – Лагранжа
(
)
grad grad
0
d
F
F
dt
•
−
=
x
x
(6.6.15) приходят при синтезе оптимальных по заданному критерию систем вари- ационным методом. Интегрирование уравнения (6.6.15) возможно лишь в некоторых частных случаях: функция
F не зависит от
•
x , т.е.
( )
,
F F
t
=
x
; функция
F зависит только от х и
•
x , т.е.
,
F F
•


= 



x x ; функция
F не зависит от х, т.е. F F
•
 
=  
 
x
или
,
F F
t
•


=  


x
; функция
F линейна относительно
•
x .
В остальных случаях приходится довольствоваться численными мето- дами.
Следует заметить, что уравнения Эйлера – Лагранжа по своему виду не зависят от выбора системы координат в пространстве состояния.
6.6.2. Уравнения Гамильтона
Обозначим через
i
p компоненту обобщенного момента системы, со- ответствующую координате
i
x . Тогда

304
i
i
T
p
x
•
∂
=
∂
(6.6.16)
Кинетическую энергию системы можно представить как функцию обобщенных скоростей и координат
1 2
1 2
, ,..., , , ,...,
n
n
T T x x
x x x
x
•
•
•


= 



или
,
T
T
•
•
•


=




x
x
x x (6.6.17)
Функция (6.6.17) называется
функцией Лагранжа для кинетической энергии.
С другой стороны кинетическую энергию можно представить как функцию обобщенного момента и координат
( )
(
)
1 2
1 2
,
,
,...,
, , ,...,
n
n
T
T
T p p
p x x
x
=
=
p
p
p
p x
. (6.6.18)
Эта функция называется
функцией Гамильтона для кинетической энергии.
Конечно, эти две функции, представленные формулами (6.6.17) и
(6.6.18) равны:
T
T
•
=
p
x
(6.6.19)
Дифференцируя выражение (6.6.19) по
i
x , получим
1 2
1 2
n
i
i
i
i
n
i
T
T
T
T
T
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⋅
+
⋅
+ +
+ +
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
p
x
x
x
x
. (6.6.20)
С учетом равенства (6.6.16), уравнение (6.6.20) можно записать: