Файл: Практикум Краснодар.pdf

12 точек от прямой, т.е. случайные погрешности Δ????
????
, будут равны разностям ординат данных точек и соответствующих точек на прямой (рис. 1.3).
Рис. 1.3. График зависимости величины ???? от ???? с указанием отклонений Δ????
????
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшей будет та прямая, для которой будет минимальной величина:
???? = ∑ Δ????
????
2
????
????=1
= ∑(????????
????
− ????
????
)
2
????
????=1
(1.6)
По условию минимума производная от величины ???? по параметру ???? должна быть равна нулю:
????????
????????
= ∑ 2(????????
????
− ????
????
)
????
????=1
????
????
= 0. (1.7)
Отсюда наилучшее значение:
???? = ∑ ????
????
????
????
/
????
????=1
∑ ????
????
2
????
????=1
(1.8)
Для оценки абсолютной случайной погрешности измерения вычисляют так называемое стандартное отклонение:

13
σ
????
= √
1
????
(∑ ????
????
2
/
????
????=1
∑ ????
????
2
− ????
2
????
????=1
). (1.9)
При количестве измерений ???? > 10 абсолютную случайную погрешность принимают равной Δ????
????
= 3σ
????
, при ???? = 5 величину – Δ????
????
= 5σ
????
Относительная случайная погрешность ε
????,????
= Δ????
????
/????, или в процентах ε
????,????
=
Δ????
????
????

100%.
Инструментальные и другие погрешности оценивают так же, как и при косвенных измерениях.

14 5.
Затем находят среднеквадратичные отклонения вычисленных величин (∆????
????
)
2 6.
Если одно (или несколько) измерений резко отличаются по своему значению от остальных значений, то следует проверить не является ли оно промахом. Если это промах, его следует отбросить.
7.
Определяется средняя квадратичная погрешность серии ???? измерений:
σ
????
= √
1
????(???? − 1)
∑ ∆????
????
2
????
????=1
. (1.12)
8.
Задается значение
???? надежности измерений.
Количественно надежность измерений определяется вероятностью того, что результат измерений ????̅ отличается от истинного значения ???? на величину, не большую ∆????.
Интервал значений [????̅ − ∆????, ????̅ + ∆????], в котором с заданной надежностью можно обнаружить значение измеряемой величины, называется доверительным интервалом.
Очевидно, что величина доверительного интервала и надежности взаимозависимы. Чем ближе ???? к единице, тем шире оказывается доверительный интервал.
Следовательно, при практическом вычислении абсолютной ошибки результата измерений необходимо заранее условиться о величине надежности, задать ее. Надежность задается, исходя из следующих соображений. При больших ???? из-за увеличения ∆???? теряется представление даже о порядке измеряемой величины.
Поэтому брать ???? очень близким к 1 нецелесообразно. При физических измерениях считается достаточной надежность
???? = 0,95.
9.
Находятся границы доверительного интервала
(погрешность результата измерений).
В математической статистике показывается, что при вычислениях доверительного интервала следует различать два случая (в зависимости от числа проведенных измерений):

15
???? > 30, ???? = ???? ∙ σ
????
,
???? < 30, ???? = ???? ∙ σ
????
Здесь ???? – коэффициент для нормального распределения,
???? – коэффициент Стьюдента, вычисляемый по законам теории вероятностей. Их значение для разных ???? и ???? приведены в табл. 1.1 и 1.2.
10. Определяется предельная погрешность используемого измерительного прибора . Приборную погрешность обычно приравнивают равной ± 0,5 цены его деления. Для современных приборов погрешность указывается в паспорте. Погрешности некоторых измерительных приборов приведены в табл. 1.3.
Приборная погрешность электроизмерительных приборов вычисляется по их классу точности :
 = ± 
????
????
100
. (1.13)
Здесь
????
????
– значение измеряемой величины, соответствующее перемещению стрелки на всю шкалу.
Доверительный интервал, соответствующий приборной ошибке, определяется при заданной надежности ???? по формуле:
∆????
′
=
????
3
, (1.14) где ???? – коэффициент из табл. 1.1.
11. Если величина погрешности результата измерений окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину:
∆= √∆????
2
+ (∆????
′
)
2
= √????
2

σ
????
2
+ (
????
3
)
2
. (1.15)
12. Окончательный результат записывается в виде:
???? = ????̅ ± ∆. (1.16)
13. Оценивается относительная погрешность результатов серии измерений:
???? =
∆
????

100%. (1.17)

16
Таблица 1.1
Значения коэффициентов надежности измерений нормального распределения
????
0,5 0,63 0,75 0,8 0,9 0,95 0,99
????
0,7 1,00 1,15 1,3 1,7 2,00 2,60
Таблица 1.2
Значения коэффициентов Стьюдента
Число измерений
Надежность
0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999 2
1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 62,7 53,7 3
1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 9,9 31,6 4
0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 5,8 12,9 5
0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 4,6 8,6 6
0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 4,0 6,9 7
0,91 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 3,7 6,0 8
0,9 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 3,5 5,4 9
0,89 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 3,4 5,0 10 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8 3,3 4,8 11 0,88 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,2 4,6 12 0,88 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,5 13 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,3 14 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,0 4,2 15 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 3,0 4,1 16 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 3,0 4,1 17 0,87 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 4,0 18 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 4,0 19 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 3,9 20 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,9
∞
0,84 1,0 1,3 1,6 2,0 2,3 2,6 3,3

17
Таблица 1.3
Значения погрешностей некоторых приборов
Название прибора
Цена деления
Погрешность
Штангенциркуль
0,10 мм
0,050 мм
0,05 мм
0,025 мм
Микрометр
0,01 мм
0,005 мм
Деревянная линейка
1,00 мм
0,500 мм
Пластмассовая линейка
1,00 мм
0,500 мм
Технические разновесы
100 г
10 г
1 г
10–500 мг
1 мг
2,0 мг
2,0 мг
1,0 мг
0,5 мг
0,1 мг
Электроизмерительные приборы
Класс точности, ???? пред. знач. шкалы деленное на 100
Лабораторные термометры
1° С
0,5° С
Задание 2. Вычислить значения плотности различных тел и
оценить погрешность косвенных измерений.
Пусть искомая величина ???? определяется из прямых измерений величин ????, ????, ????, причем в этом случае погрешность результата определяется следующим образом.
1.
Для каждой серии измерений величин ????, ????, ????…, входящих в определение искомой величины, проводится обработка. При этом для всех измеренных величин задают одно и то же значение надежности ????.
2.
Находятся выражения для абсолютной и относительной погрешностей искомой величины
???? в соответствии с конкретным видом ее функциональной зависимости от ????, ????, ????…, так как абсолютные погрешности много меньше измеряемых величин, их можно считать приблизительно равными дифференциалам: 

????????, 

????????, 

????????, ????

????????.
Относительная погрешность косвенно измеряемой величины???? может быть представлена через дифференциал логарифма:

18
????
????
=
∆????
????
≈
????????
????
= ????????????????. (1.18)
Поэтому, если зависимость ???? = ????(????, ????, ???? … ) включает произведение, то для нахождения ????
????
надо прологарифмировать выражение, а затем взять производную обеих частей и найти искомую относительную ошибку.
Если зависимость ???? = ????(????, ????, ???? … ) включает сумму, удобнее без предварительного логарифмирования искать путем дифференцирования абсолютную погрешность ????.
В табл. 1.4 приведены формулы для расчета погрешностей различных встречающихся в лабораторной практике параметров.
3.
Оцениваются границы доверительного интервала для результата косвенных измерений. При этом используется либо формула:
???? = √(
????????
????????
)
2
????
2
+ (
????????
????????
)
2
????
2
+ (
????????
????????
)
2
????
2
+ ⋯ , (1.19)
где
????????
????????
,
????????
????????
,
????????
????????
… вычисляются при ???? = ????̅, ???? = ????̅, ???? = ????̅ …, либо одна из формул табл. 1.4.
4.
Определяется относительная погрешность результата серии косвенных измерений:
????
????
=
∆????
????

100%. (1.20)
С
ОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
При защите лабораторной работы необходимо знать определения, связанные с обработкой результатов. Письменный отсчет по лабораторной работе должен содержать рисунки, которые выполняются карандашом с использованием линейки, формулы, разъясняющие принцип действия нониуса, порядок
(по пунктам) оценки погрешностей при прямых измерениях, результаты всех измерений, занесенные в соответствующие таблицы, основные формулы для расчетов. Все измеренные
величины, вычисленные с использованием формул, погрешности
прямых и косвенных измерений для определения объема, массы и
плотности тел должны содержаться в письменном отчете!

19
Таблица 1.4
Формулы для вычислений приближенных погрешностей функций нескольких переменных
Вид функции:
???? = ????(????, ????, ???? … )
Абсолютная погрешность:
????
Относительная погрешность:
????
????
=
∆????
????
???????? + ????????
???? = ????????????????????, ???? = ????????????????????
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
???????? + ????????
???????? − ????????
???? = ????????????????????, ???? = ????????????????????
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
???????? − ????????
????????
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
√(
????
????
)
2
+ (
????
????
)
2
????
????
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
????
2
√(
????
????
)
2
+ (
????
????
)
2
????
???? + ????
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
(???? + ????)
2
√????
2
Δ????
2
+ ????
2
Δ????
2
????(???? + ????)
Таблица 1.5
Обобщенная таблица измеренных и вычисленных параметров некоторого тела
????, см ????, см ????, г
????, см
3
Δ????, см
3
ρ, г/см
3
Δρ, г/см
3 1
2 3
…
????

20
По итогам проделанной лабораторной работы необходимо определить материал или возможные материалы, из которых изготовлены измеряемые тела. Значения прямых измерений, вычисленные значения косвенных измерений, их средние значения и погрешности данных величин необходимо занести в соответствующие таблицы. Значения плотностей различных материалов приведены в табл. 1.6 и 1.7.
Таблица 1.6
Значения плотностей некоторых материалов
Материал
ρ, кг/м
3
ρ, г/см
3
Алюминий
2600–2700 2,6–2,7
Бронза
8700–8900 8,7–8,9
Висмут
9800 0,8
Вольфрам
19300 19,3
Германий
5350 5,4
Дюралюминий
2700–2900 2,7–2,9
Железо
7874 7,9
Золото
19320 19,3
Молибден
10200 10,2
Натрий
986 0,99
Никель
8900 8,9
Нихром
8100–8400 8,1–8,4
Олово
7300 7,3
Осмий
22610 22,6
Константан
8900 8,9
Латунь
8300–8700 8,3–8,7
Литий
539 0,5
Магний
1740 1,7
Медь
8940 8,9
Платина
21460 21,5
Свинец
11340 11,3
Серебро
10500 10,5
Сталь
7000–7800 7,0–7,8
Уран
19040 19,0
Цинк
7133 7,1
Чугун
7000–7800 7,0–7,8
Хром
7190 7,2
Эбонит
1430 1,43

21
Таблица 1.7
Значения плотностей некоторых видов древесины, г/см
3
Порода дерева
Влажность, %
15 20 25 30 40 50 60 70
Свеж.
Акация белая
0,81 0,83 0,84 0,86 0,93 0,99 1,06 1,19 1,03
Береза
0,64 0,65 0,67 0,68 0,73 0,79 0,84 0,89 0,87
Бук
0,68 0,69 0,71 0,72 0,78 0,83 0,89 0,95 0,96
Вяз
0,66 0,68 0,69 0,71 0,77 0,82 0,88 0,93 0,94
Граб
0,81 0,83 0,84 0,86 0,93 0,99 1,06 1,13 1,06
Дуб
0,70 0,72 0,74 0,76 0,82 0,87 0,93 0,99 0,99
Ель обыкновенная
0,45 0,46 0,47 0,49 0,52 0,56 0,60 0,64 0,74
Клен
0,70 0,72 0,74 0,76 0,82 0,87 0,93 0,99 0,87
Липа
0,50 0,53 0,54 0,55 0,58 0,62 0,66 0,71 0,76
Лиственница
0,67 0,69 0,70 0,71 0,77 0,82 0,88 0,93 0,94
Ольха
0,53 0,54 0,56 0,57 0,62 0,66 0,70 0,75 0,81
Орех грецкий
0,60 0,61 0,63 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,91
Осина
0,50 0,51 0,53 0,54 0,58 0,62 0,66 0,71 0,76
Пихта кавказская
0,44 0,45 0,46 0,48 0,51 0,55 0,58 0,62 0,72
Пихта сибирская
0,38 0,39 0,40 0,41 0,44 0,47 0,51 0,54 0,68
Сосна кедровая
0,44 0,45 0,46 0,48 0,51 0,55 0,58 0,62 0,76
Сосна обыкновенная
0,51 0,52 0,54 0,55 0,59 0,64 0,68 0,72 0,82
Тополь
0,46 0,47 0,48 0,50 0,54 0,57 0,61 0,65 0,70
Ясень обыкновенный
0,69 0,71 0,73 0,74 0,80 0,86 0,92 0,93 0,96

22
Контрольные вопросы и задания
1.
Что такое измерение, точность измерения и погрешность измеряемой величины?
2.
Как производятся измерения штангенциркулем и микрометром?
3.
Поясните алгоритм измерения линейных размеров тела с помощью штангенциркуля и микрометра.
4.
Как определить цену деления на барабане микрометра?
5.
Что такое нониус? Как определяется его точность? Как проводится отсчет по нониусу?
6.
Что называется постоянной нониуса и как ее определить?
7.
Как вычисляется абсолютная ошибка косвенных измерений?
8.
В чем существенная разница между прямыми и косвенными измерениями, каковы их отличия?
9.
Какие существуют типы погрешностей (ошибок)?
10. Какую погрешность называют промахом?
11. Дайте определения абсолютной и относительной погрешности.
12. Что называется доверительным интервалом?
13. Какая связь существует между систематической и случайной ошибкой?
14. Как найти величину абсолютной ошибки измеренной величины, если известна относительная ошибка измерений?
15. Совпадают ли между собой в пределах ошибок результаты измерений одного и того же тела, проведенные на различных участках?
16. Как изменился бы результат измерений плотности, если бы вы каждую из измеряемых величин определяли бы
3 раза, 30 раз, 300 раз?
17. Дайте определение массы как физического параметра.
18. Какими способами можно определить объем тела сложной или неправильной формы?