Файл: 5 amaliy mashgulot val gildirak birikmasi misolida qoZGalmas birikmalarni tanlash va hisoblash.doc

При доверительной вероятности   по таблице Лапласа  . Доверительные границы относительной погрешности

Тогда абсолютная погрешность

и доверительные границы результата измерения

Обнаружение грубых погрешностей

Пример №27.

Результаты измерения влажности образцов плит в %: 8,1; 7,8; 8,3; 7,3; 8,2; 7,9; 8,0; 8,4; 8,0; 8,2; 7,9; 8,1; 7,8. Определите грубые результаты наблюдений по критерию   с вероятностью 0,9.

Решение. Число измерений  . Среднее арифметическое значение

Среднее квадратическое отклонение

Предельное значение критерия (при вероятности  ) по табл.

Проверим числа, наиболее удаленные от среднего значения. Это влажность

Следовательно, этот результат является не случайным «выбросом» и его следует исключить. Остальные результаты менее удалены от среднего значения, поэтому проверке не подлежат.

Пример №28.

При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива на 100 км составили 22, 24, 26, 28 и 34 л. Определить наличие грубых погрешностей в экспериментальных данных.

Решение:

Число измерений  . Среднее арифметическое значение

Среднее квадратическое отклонение равно

Предельное значение критерия (при вероятности  ) по табл.

Проверим число, наиболее удаленное от среднего значения. Это расход топлива 34 л.

Критерий свидетельствует, что последний результат может быть признан достоверным, т.е. «выброс» случаен и его следует сохранить.

Обработка результатов прямых многократных измерений

Пример №29.

Толщиномером, предельная погрешность измерений которого составляет  , получены результаты измерений толщины лакового покрытия  , мкм: 470, 354, 402, 434, 387, 413, 465, 448, 540, 393, 425, 456, 442. Измерения выполнялись при температуре 30°С. Коэффициент линейного расширения лака, по справочным данным, находится в пределах  . Определить результат измерений.

Решение:

Определим среднее арифметическое значение:

Проверим наличие грубых погрешностей:

При   допускаемое значение критерия  . Действительное значение

Следовательно, результат 540 мкм нужно отбросить.

Определяем значения характеристик по оставшимся 12 наблюдениям:

Доверительные границы для случайной составляющей при   (по распределению Стьюдента  )

---

Температурная погрешность

Так как коэффициент линейного расширения задан диапазоном, то будем считать распределение вероятностей его в этом диапазоне равномерным со средним значением

Систематическая составляющая температурной погрешности

Следовательно, к среднему значению можно внести поправку, равную систематической погрешности с обратным знаком

Неисключённая систематическая составляющая температурной погрешности   определяется границами равномерного распределения:

Другой неисключённой систематической составляющей погрешности   будет предельная погрешность измерения толщиномера. Так как первая погрешность значительно меньше второй, то её можно не учитывать. Следовательно,  .

Соотношение   поэтому доверительная граница погрешности измерения определяется по выражению (28):

Результат измерения

Проверка нормальности распределения

Пример №30.

Проверить соответствие нормальному закону распределения результаты измерения параметра шероховатости  , мкм: 0,49; 0,47; 0,48; 0,48; 0,46; 0,45; 0,46; 0,46; 0,56; 0,50; 0,47; 0,47; 0,46; 0,44; 0,39; 0,45; 0,43; 0,47; 0,44; 0,46.

Решение:

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Проверим наличие грубых промахов по критерию  . Наиболее удалённое от среднего значения показание № 9 

При   допускаемое отклонение критерия

Следовательно, показание № 9   нужно исключить из результатов.

Критерий 1. Параметры исправленных результатов  ; смещённая оценка

По табл. 7 определим: при   и  . подставим эти значения в неравенство (30): 0,6902 <0,744 <0,9055.

При   и  . 0,7277 <0,744 <0,8814.

Следовательно, при уровнях значимости  равным 1 и 5 % критерий выполняется.

Критерий 2. При   из табл. 8 определим   и  . Несмещенная оценка

Наибольшая разность

Следовательно, при уровне значимости   критерий 2 тоже выполняется. Таким образом, при уровнях значимости   и   полученные результаты соответствуют нормальному распределению.

Обработка результатов нескольких серий измерений

Пример №31.

На вертикальном оптиметре выполнены три серии измерений отклонений от номинального размера   мкм, результаты которых сведены в таблицу.

Решение:

Определим дисперсии для каждой серии:

По распределению Стьюдента проверим значимость различий средних арифметических в сериях. Для этого по формуле (34) вычислим разности:

---

Для принятой доверительной вероятности   с числом степеней свободы   по табл. П2 находим значение  . При сравнении полученных расчетом значений   с предельным   установим, что гипотеза о равенстве математических ожиданий всех серий принимается.

Проверим гипотезу о равнорассеянности результатов измерений по критерию Р. А. Фишера:

Задаваясь уровнем значимости 5 %  , из таблиц распределения Фишера (табл. П4) найдем  . Следовательно, при 5 % уровне значимости серии наблюдений I и II, а также II и III можно считать равноточными, а различие дисперсий в сериях I и III являются значимыми (серии неравнорассеянные).

Для определения наилучшей оценки объединённых результатов измерений неравнорассеянных серий необходимо вычислить весовые коэффициенты:

При равенстве математических ожиданий среднее взвешенное определим по формуле (38):

Среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного можно рассчитать по формуле (39):

Для определения доверительных границ результата измерения нужно определить число степеней свободы, которое при малом числе измерений вычисляется по уравнению (40):

Обработка результатов совместных измерении

Пример №32.

Построить поле корреляции, определить и построить линейные уравнения регрессии, определить интервальную оценку коэффициента корреляции по результатам измерений двух случайных величин   и  :

Решение:

Определим числовые характеристики случайных величин:

Эмпирические уравнения регрессии следующие:

Эмпирический коэффициент корреляции

Среднее квадратическое отклонение

Критерий Фишера  . Доверительный интервал для нормального закона распределения  , где   определяют в зависимости от принятой доверительной вероятности по таблице Лапласа.

Задаваясь вероятностью  , определим  , тогда  . Таким образом, с вероятностью   величина   может принимать значения  ,т.е.  .По крайним значениям   в табл. П6 находим левую и правую границы доверительного интервала коэффициента корреляции  .

Из полученной интервальной оценки   видно, что при малой выборке точность определения коэффициента корреляции невысока.

---