Файл: Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2й курс).pdf

55 77 0
9
,
0 2
,
0 8
,
0 3
,
0 7
,
0 5
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 2
1 3
2 1
,
A
P
H
P
A
P
H
P
A
P
H
P
A
P
H
H
H











Задача 20. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из 360 семян взойдут не менее 280 и не более 300.
Решение. Используем интегральную формулу Лапласа




















npq
np
k
npq
np
k
)
k
k
k
(
P
n
1 2
2 1
По условию задачи
360

n
,
8 0,
p

,
2 0
1
,
p
q



,
280 1

k
,
300 2

k
По приведенной формуле имеем
  

79145 0
34850 0
44295 0
05 1
58 1
)
300 280
(
360
,
,
,
,
-
Φ
,
Φ
k
P








Задача 21. Задан закон распределения дискретной случайной величины X
X 15 11 13 12 p 0,2 0,5 0,2 0,1
(в первой строке указаны возможные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М
(Х); 2) дисперсию D (Х); 3) среднее квадратическое отклонение

.
Решение. 1)
;
3 12 1
,
0 12 2
,
0 13 5
,
0 11 2
,
0 15
)
(
,
X
M









2)
;
41 2
3 12 7
153 3
12 1
,
0 12 2
,
0 13 5
,
0 11 2
,
0 15
)
(
)
(
)
(
2 2
2 2
2 2
2
,
,
,
,
X
M
X
M
X
D














3)
55
,
1
)
(


X
D


Задача 22. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения












.
x
при
,
x
при
x
,
x
при
)
x
(
F
2 1
2 0
4 0
0 2
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f (x);
2) математическое ожидание М (Х);
3) дисперсию D (X);
4)
)
x
,
(
P
1 5
0


,
)
,
x
(
P
5 1

Решение. 1. Дифференциальной функцией распределения f (x) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F (x), т. е. f (x)= F' (x).
Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:









.
x
при
x
,
x
,
x
при
)
x
(
f
2 0
2 2
0 0

56 2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X вычислим по формуле
6 1
6 2
1 2
1 0
3 2
0 2
2 0






x
dx
x
dx
x
x
)
X
(
M
3. Дисперсию непрерывной случайной величины X вычислим по формуле
.
)
(
)
x
x
x
(
dx
)
x
x
(
dx
x
)
x
(
)
X
(
D
36 61 18 1
3 2
4 2
1 36 6
4 2
1 36 1
3 1
2 1
2 6
1 2
0 2
4 2
0 3
2 0
2















4.
16 3
16 1
4 1
5 0
1 1
5 0







)
,
(
F
)
(
F
)
x
,
(
P
,
5625 0
5 1
5 1
,
)
,
(
F
)
,
x
(
P



Контрольные вопросы и задания
1.
Что такое понятие дифференциального уравнения первого порядка, общее решение дифференциального уравнения первого порядка, задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?
2.
Какие есть дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?
3.
Какие есть однородные дифференциальные уравнения первого порядка?
4.
Какие есть линейные дифференциальные уравнения первого порядка?
5.
Запишите уравнение Бернулли и его решение.
6.
Назовите дифференциальные уравнения
2-го порядка, допускающие понижение порядка.
7.
Назовите линейные однородные дифференциальные уравнения и свойства их решений.
8.
Укажите линейную независимость функций, определитель
Вронского, условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.
9.
Изложите теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
10.
Запишите линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение.

57 11.
Дайте определение фундаментальной системы решений в зависимости от типа корней характеристического уравнения.
12.
Опишите метод вариации произвольных постоянных.
13.
Охарактеризуйте линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, метод подбора частного решения.
14.
Укажите системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решений.
15.
Дайте определение двойного интеграла, его свойств и методов вычисления.
16.
Охарактеризуйте двойной интеграл в полярной системе координат, Якобиан преобразования.
17.
Дайте определение криволинейного интеграла 1-го рода, свойств и методов вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.
18.
Дайте определение криволинейного интеграла 2-го рода, свойств и методы вычисления.
19.
Выведите формулу Грина, независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
20.
Дайте определение числового ряда, частичной суммы ряда.
21.
Дайте определение сходящегося числового ряда. Критерий Коши.
22.
Охарактеризуйте необходимый признак сходимости ряда, гармонический ряд.
23.
Что называется признаком сравнения, предельной формой признака сравнения?
24.
Дайте определение признака Даламбера, радикального признака
Коши, интегрального признака Коши.
25.
Что такое понятие знакопеременных и знакочередующихся рядов?
26.
Выведите теорему Лейбница, абсолютную и условную сходимость знакочередующихся рядов.
27.
Опишите степенной ряд, укажите область сходимости степенного ряда, объясните правило нахождения радиуса сходимости.
28.
Разложите элементарные функции в степенной ряд.
29.
Сделайте приближенное вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов.
30.
Решите дифференциальные уравнения с помощью степенных рядов.
31.
Выведите формулы коэффициентов ряда Фурье.
32.
Дайте характеристику ряда Фурье для четных и нечетных функций.
33.
Дайте классическое определение вероятности.
34.
Охарактеризуйте условные вероятности, зависимые и независимые события.
35.
Запишите произведение и сумму событий, теоремы умножения и сложения.
36.
Выведите формулы полной вероятности и Байеса.

58 37.
Что называется независимыми повторными испытаниями?
Выведите формулу Бернулли и наивероятнейшее число появления события.
38.
Дайте определение локальной и интегральной теоремы Муавра–
Лапласа, выведите формулу Пуассона.
39.
Что называется случайной величиной? Охарактеризуйте одномерные дискретные случайные величины, назовите функцию распределения одномерной случайной величины и опишите ее свойства.
40.
Дайте характеристику одномерным непрерывным случайным величинам, плотности распределения.
41.
Что такое математическое ожидание случайной величины, мода, медиана, квантиль порядка p, асимметрия, эксцесс?
42.
Дайте определение дисперсии случайной величины, моментов случайной величины.
43.
Опишите равномерное и показательное распределения, их числовые характеристики.
44.
Опишите нормальное распределение, числовые характеристики нормального распределения, правило трех сигм.
Рекомендуемая литература
1.
Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике:
Полный курс. – М. : Айрис-Пресс, 2009.
2.
Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П. Е. Данко и др. . – Ч. 2. – М. : Высш. шк., 2008.
3.
Рябушко
А.П.
Индивидуальные задания по высшей математике : учеб. пособие. – Минск : Вышэйш. Шк. – Ч. 2. – Б. м. : Б. и.,
2009.
4.
Рябушко
А.П.
Индивидуальные задания по высшей математике : учеб. пособие. – Минск : Вышэйш. шк. – Ч. 3. – Б. м. : Б. и.,
2005.
5.
Рябушко
А.П.
Индивидуальные задания по высшей математике : учеб. пособие. – Минск : Вышэйш. шк. – Ч. 4. – Б. м. : Б. и.,
2006.
6.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов. – М. : Изд-во физ.-мат. лит., 2010.

59 7. Справочник для студентов технических вузов: высшая математика, физика, теоретическая механика, сопротивление материалов / А.Д. Полянин
[и др.]. – М. : Астрель : АСТ, 2008.
8.
Линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ: конспект лекций за 1-ый семестр для технических специальностей /
Ирк. гос. техн. ун-т ; сост. В.А. Труппова, Б.В. Агалаков. – Иркутск : Изд–во
ИрГТУ, 2010.

60
Учебное издание
Математика
Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2-й курс)
Составители:
Лукьянова Елена Александровна
Огнѐв Игорь Анатольевич
Редактор Н.Ю. Прокопьева