Файл: Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2й курс).pdf

38
Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением
,
),
(
b
x
a
x
y




то получаем:





b
a
AB
dx
x
x
x
f
ds
y
x
f
)
(
1
))
(
,
(
)
,
(
2


Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P (x, y, z) по кривой АВ в направлении от точки А к точке В.






n
i
i
AB
x
P
dx
z
y
x
P
1 0
)
,
,
(
lim
)
,
,
(




Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.



AB
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
В случае, если АВ – плоская кривая, заданная параметрически, то














dt
t
z
R
t
y
Q
t
x
P
Rdz
Qdy
Pdx
AB
)
(
)
(
)
(
В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f (x), то








B
A
x
x
AB
dx
x
f
x
f
x
Q
x
f
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
(
))
(
,
(
)
(
,
(
)
,
(
)
,
(

39 парабола с вершиной в точке (0,2), симметричная относительно оси Оy.
Вторая линия – прямая. Решая совместно уравнения линий
,
1 2
,
2 2




x
y
x
y
найдѐм координаты точек пересечения: А (–3; –7), В(1; 1).

























1 3
2 1
2 2
2 1
2 2
1 3
2 2
3 3
2 2
)
3 2
(
dx
y
xy
dx
y
y
x
dxdy
xy
x
x
x
x
D


















1 3
1 3
4 2
2 2
3 6
)
4 4
(
)
1 2
(
3
)
2
(
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x


















dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
1 3
3 5
1 3
5 3
3 2
4 3
6 4
4































1 3
2 4
6 1
3 2
4 6
3 6
3 2
2 4
4 6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 1
21
)
3
(
3
)
3
(
)
3
(
6
)
3
(
1 3
1 1
6 1
2 4
6 2
4 6































Задача 9. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле



x
x
dy
y
x
f
dx
2 1
0
)
,
(
. Сделать чертѐж области интегрирования.
Решение.
Чтобы изменить порядок интегрирования, составим геометрическое описание области интегрирования.
x
y
x
,
x





2 1
0
Построим чертеж согласно геометрическому описанию.
Проецируя данную область на ось Oy, видим, что при этом ее верхняя

40 граница состоит из двух линий. Поэтому разделим область на две части, геометрическое описание которых имеет следующий вид:
1)
y
x
,
y




0 1
0
,
2)
y
x
,
y





2 0
2 1
Теперь записываем данный интеграл с измененным порядком интегрирования










y
y
x
x
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
2 0
2 1
0 1
0 2
1 0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
Задача 10. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями
0 4
2



y
,
x
,
x
y
Сделать чертѐж области интегрирования.
Решение. Необходимо воспользоваться формулами:
S
S
x
y
c

,
S
S
y
x
c

Вычисляем величины
y
x
S
,
S
,
S
3 4
3 3
4 0
3 4
0 2
0 4
0 2







x
dx
x
dy
dx
S
x
10 4
10 2
2 5
4 0
5 4
0 4
4 0
0 2
0 4
0 2
2















x
dx
x
dx
y
ydy
dx
S
x
x
x
3 4
4 0
4 4
0 3
0 4
0 4
4 4
4 2








x
dx
x
dy
xdx
S
x
y
Подставляя найденные значения в формулы, получаем
3 3
4 4
3 3



:
S
S
x
y
c
;
8 4
10 3
4 3
4 10 4
2 3
5
,
:
S
S
y
x
c






41
Задача 11. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
0 1
2 2




z
,
x
y
,
y
z
Сделать чертѐж области интегрирования.
Решение. Составим геометрическое описание области интегрирования:
y
z
,
y
x
,
x








1 0
1 1
1 2
Построим чертеж согласно геометрическому описанию.



















1 2
1 1
1 1
1 1
1 0
1 1
1 2
2 2
)
1
(
)
1
(
1
x
x
y
x
y
d
y
dx
dy
y
dx
dz
dy
dx
V
)
1
(
3 2
)
1
(
3 2
)
1
(
3 2
1 1
2 3
2 1
1 1
2 3
1 1
1 2
3 2
2


























dx
x
dx
y
dx
y
x
x
Сделаем подстановку
t
sin
x

. Пересчитаем пределы интегрирования
2
,
1
,
2
arcsin
,
1









t
x
x
t
x
Тогда интеграл с учетом четности подынтегральной функции можно вычислить следующим образом:













2 0
4 2
0 3
2 0
3 2
0 2
3 2
cos
3 4
cos cos
3 4
sin cos
3 4
sin
)
sin
1
(
3 4




tdt
dt
t
t
t
d
t
t
d
t















 





2 0
2 2
0 2
2 0
2 2
4 2
cos
2
cos
2 1
3 4
2 2
cos
1 3
4
)
(cos
3 4



dt
t
t
dt
t
dt
t

42












 














2 0
2 0
2 2
4
cos
1 4
1 2
cos
2 1
4 1
3 4
4 2
cos
2
cos
2 1
3 4


dt
t
t
dt
t
t






















2 0
2 0
4
cos
8 1
2
cos
2 1
8 3
3 4
4
cos
8 1
8 1
2
cos
2 1
4 1
3 4


dt
t
t
dt
t
t
4 2
4
sin
32 1
2 2
sin
4 1
2 8
3 3
4 0
4
sin
32 1
2
sin
4 1
8 3
3 4
2

















 






 












t
t
t
Задача 12. Вычислить криволинейный интеграл



ОА
dy
x
dx
x
xy
2
)
(
2
вдоль дуги параболы
x
y
2

от начала координат до точки А (1;2).
Решение. Подставляем вместо переменной y еѐ выражение через переменную х.
1 5
2 2
5
)
2 5
(
)
2 1
2
(
)
1 2
2
(
2
)
(
1 0
2 5
1 0
2 3
1 0
2 3
2 3
1 0
2 2


















x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dy
x
dx
x
xy
ОА

43
Контрольная работа № 4
Ряды
Числовые ряды
Сумма членов бесконечной числовой последовательности
,...
,...,
,
2 1
n
u
u
u
называется числовым рядом








1 2
1
n
n
n
u
u
u
u
Числа
,...
u
,
u
2 1
называют членами ряда, а u
n
– общим членом ряда.
Суммы







n
k
k
n
n
u
u
u
u
S
1 2
1
, n = 1, 2, … называются частными
(частичными) суммамиряда.
Ряд








1 2
1
n
n
n
u
u
u
u
называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм
,
lim
1





n
n
n
u
S
S
S
Если последовательность частных сумм ряда расходится, т. е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
Если u
n

v
n
при любом n, то из сходимости ряда

n
v
следует сходимость ряда

n
u
, а из расходимости ряда

n
u
следует расходимость ряда

n
v
Признак Даламбера:Если существует предел





n
n
n
u
u
1
lim
, то при

< 1 ряд сходится, а при

> 1 – расходится. Если

= 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Признак Коши (радикальный признак):Если для ряда

n
u
с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех

44 достаточно больших n выполняется неравенство
q
u
n
n

, то ряд

n
u
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
,
1

n
n
u
то ряд

n
u
расходится.
Интегральный признак Коши:Если

(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;

), то ряд

(1) +

(2) + …+

(n) + … =



1
)
(
n
n

и несобственный интеграл


1
)
(
dx
x

сходятся или расходятся одновременно.
Признак
Лейбница:
Если у знакочередующегося ряда
)
1
(
1 4
3 2
1








n
n
u
u
u
u
u
абсолютные величины u i
убывают
3 2
1



u
u
u
и общий член стремится к нулю
0

n
u
, то ряд сходится.
Ряд

n
u
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

n
u
Ряд

n
u
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд

n
u
расходится.
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида









0 2
2 1
0
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
Теорема Абеля. Если степенной ряд



0
n
n
n
x
a
сходится при x = x
1
, то он сходится и притом абсолютно для всех
1
x
x

Для каждого степенного ряда существует такое положительное число
R, что при всех х таких, что
R
x

ряд абсолютно сходится, а при всех
R
x

ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости.
Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости.
Радиус сходимости можно найти по формуле
n
n
n
a
a
R
1
lim





45
Разложение функции в степенной ряд можно осуществить с помощью формул Тейлора и Маклорена.
Ряд Тейлора:
 
 

  
 
  
 
  














0 2
''
'
!
!
!
2
n
n
n
n
n
a
x
n
a
f
a
x
n
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
f(x)
Ряд Маклорена:
 
 
 
 
 
 
 









0
''
2
''
'
!
!
0
!
2 0
0 0
n
n
n
n
x
n
a
f
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
.
.
.
n!
x
.
.
.
3!
x
2!
x
x
1
e
n
3
2
x













x
   
.
.
.
!
1
n
2
x
1
.
.
.
5!
x
3!
x
x
sinx
1
n
2
n
5
3

















x
   
.
.
.
!
n
2
x
1
.
.
.
4!
x
2!
x
1
cosx
n
2
n
4
2















x


 
.
.
.
n
x
1
.
.
.
3
x
2
x
x
x
1
ln
n
n
3
2











1
x
1



 
.
.
.
1
n
2
x
1
.
.
.
5
x
3
x
x
x
arctg
1
n
2
n
5
3












1
x
1













.
.
.
x
n!
1
n
a
.
.
.
1
a
a
.
.
.
x
2!
1
a
a
x
1
a
1
x
1
n
2
a













1
x
1



.
.
.
x
.
.
.
x
x
1
x
1
1
n
2









1
x
1



Приближенные вычисления с помощью рядов
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования,