Файл: Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2й курс).pdf

1
Министерство образования и науки РФ
Иркутский национальный исследовательский технический университет
МАТЕМАТИКА
Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2-й курс)
Издательство
Иркутского национального исследовательского технического университета
2015

2
УДК 51
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ИРНИТУ
Математика : метод. указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2–й курс) / сост.:
Е.А. Лукьянова, И.А. Огнѐв. – Иркутск : Изд–во ИРНИТУ, 2015. – 60 с.
Методические указания соответствуют требованиям ФГОС ВО по направлениям: 140400 – Электроэнергетика и электротехника (ЭЭбз), 140100
– Теплоэнергетика и теплотехника (ТЭбз), 270800 – Строительство (СОбз),
240100 – Химическая технология (ХТбз), 151900 – Конструкторско–
технологическое обеспечение, 150700 – Машиностроение (МТбз), 190100 –
Наземные транспортно–технологические комплексы (НКбз), 162300 –
Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей (ЭЛбз),
190600 – Эксплуатация транспортно–технологических машин и комплексов
(ЭТбз), 190700 – Технология транспортных процессов (ТТБз), 131000 –
Нефтегазовое дело (НДбз), 260100 – Продукты питания из растительного сырья (ТПбз), 150400 – Металлургия (МЦбз), 220700 – Автоматизация технологических процессов и производств (АТбз), 230100 – Информатика и вычислительная техника (ИТбз).
Предлагаются задания и рекомендации по выполнению контрольных работ по математике.
Предназначены для студентов второго курса заочной формы обучения, изучающих дисциплину «Математика» по программе подготовки бакалавров.
Рецензент канд. пед. наук, доцент кафедры математики ИРНИТУ Н.Н. Зепнова
© ФГБОУ ВО «ИРНИТУ», 2015

3
Оглавление
Общие указания по самостоятельной работе ................................................... 4
Правила оформления и защиты контрольных работ ....................................... 4
Контрольная работа № 3 ..................................................................................... 6
Дифференциальные уравнения ....................................................................... 6
Кратные и криволинейные интегралы ........................................................... 8
Контрольная работа № 4 ................................................................................... 14
Ряды ................................................................................................................. 14
Теория вероятностей ...................................................................................... 16
Рекомендации по выполнению контрольных работ ...................................... 24
Контрольная работа № 3 ............................................................................... 24
Дифференциальные уравнения ................................................................... 24
Кратные и криволинейные интегралы ...................................................... 34
Контрольная работа № 4 ............................................................................... 43
Ряды .............................................................................................................. 43
Теория вероятностей................................................................................... 49
Контрольные вопросы и задания ..................................................................... 56
Рекомендуемая литература .............................................................................. 58

4
Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое»
М.В. Остроградский
Общие указания по самостоятельной работе
Основной формой обучения студента – заочника является самостоятельная работа. Изучение высшей математики основано на материалах, предоставляемых на лекциях и практических занятиях, проводимых во время сессий. Дополнительные сведения студент может почерпнуть в учебной и специальной литературе, на соответствующих WEB- страницах в сети Интернет и других информационных носителях.
Подробные рекомендации по организации самостоятельной работы студент может получить во время сессий на установочных и обзорных лекциях и практических занятиях, а также на индивидуальных консультациях, регулярно проводимых в учебном заведении в течение всего учебного года, дистанционно, по интернету, на сайтах заочно-вечернего факультета ИРНИТУ и/или по электронной переписке с преподавателем.
Итоговой формой отчета о самостоятельной работе является выполнение двух контрольных работ, представленных в данной методичке в соответствии с рабочим планом по математике для студентов второго курса, которые должны быть сданы на проверку преподавателю до начала или во время экзаменационной сессии.
При подготовке к экзаменационной сессии рекомендуется ознакомиться с образцами билетов по дисциплине «Математика», предлагаемых во время сдачи зачѐта студентам 2-го курса технических специальностей, приведѐнными в конце методических указаний.
Правила оформления и защиты контрольных работ

5
Перед началом сессии в соответствии с учебной программой студентам второго курса необходимо выполнить две контрольные работы по математике.Задания выбираются из данной методички по индивидуальному варианту, номер которого равен 10 − ???? , если фамилия студента начинается с буквы из первой части алфавита (от А до Л) или 20 − ???? , если фамилия начинается с буквы из второй части алфавита (от М до Я), где ???? − последняя цифра номера зачѐтной книжки студента.
На титульном листе работы указываются Ф. И. О., название дисциплины, номер контрольной работы, шифр специальности (группа), номер зачѐтной книжки, в конце ставится личная роспись студента. Работы должны оформляться в рукописном варианте, решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
Условия заданий необходимо переписывать полностью, решения описывать подробно и ясно, сопровождая его при необходимости таблицами и рисунками, оставляя поля и пробелы после каждой задачи для замечаний рецензента.
После успешной защиты самостоятельно решѐнных и правильно оформленных контрольных заданий студент допускается к сдаче текущего зачѐта или экзамена. Если студент не смог получить положительную оценку своих знаний, он должен заново представлять контрольные работы во время следующей пересдачи сессии. Пересдача другому преподавателю, не принимавшему зачѐт или экзамен в вашей группе во время сессии, производится только при наличии разрешения заведующего кафедрой ООД или администрации деканата, заверенного подписью ответственного лица на индивидуальном экзаменационном листке, полученном у специалиста по
УМР.

6
Контрольная работа № 3
Дифференциальные уравнения
Задача 1. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка.
1.


0 2
1 2
2




xy
y
x
 
1 2

y
11.
y
y
x
x



2
 
0 1

y
2. cos
1 3
x
ytgx
y



 
0 0

y
12.
,
1
x
y
y



 
0 1

y
3.


x
x
y
arctg
y
y
x



 
0 1

y
13.
,
cos x
y
y



 
2 1
0

y
4.
0
ln


xdy
ydx
y
 
1 1

y
14.
,
1 1
2 2
x
y
y




 
1 0

y
5. cos cos
x
x
y
y



 
1 0

y
15.
,
1
x
x
y
y
x




 
0 1

y
6.
3 2
xy
y
x
y



 
2 0

y
16.
,
3



y
tgx
y
3 2






 
y
7.
2



y
ctgx
y
 
1 0


y
17.


,
0 2
5 3
3 2




xy
y
x
 
1 2


y
8.
2
sin cos
x
x
y
x
y



 
0 0

y
18.
,
2 2
x
x
y
y




 
4 1
0

y
9.


0 2
3 2



xydx
dy
xy
y
 
1 0

y
19.
,
)
1
(
1 2
2





x
x
y
y
 
0 0

y
10. sin cos cos sin
xdx
y
xdy
y

 
4 0


y
20.
x
x
x
y
y
sin



,
1 2








y
Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка, допускающее понижение порядка.
1.
4
sin
x
x
y



11.
1 3
2




x
x
y
2.
2
cos
2
x
x
y



12.
1 4
5 3




x
x
y

7 3.
6 5
sin
1 2



x
y
13.
4 7
sin
3 1
3
x
x
y



4.
5 4
x
e
y
x



14.
6
cos
5 7 x
e
x
y



5.
3 2
cos
2 1
x
x
y



15.
7 2
8 2
4




x
x
y
6.
2 4
3
x
e
x
y



16.
2 5
3 7
x
e
y
x



7.
3 5
sin
2



x
y
17.
2 5
cos
7



x
y
8.
3 5
4 3




x
e
y
x
18.


2 2
4
sin
2 3
x
x
y




9.
4 2
7 3
x
e
x
y



19.


2 1
3
cos
4
x
x
y




10.
,
5 4
cos
1 2



x
y
20.
3 8
2 1
2 1
7





x
e
y
x
Задача 3. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
1.
,
2 4
4 2x
e
y
y
y





 
,
0 0

y
 
0 0


y
2.
,
sin
10 9
6
x
y
y
y





 
,
0 0

y
 
0 0


y
3.
,
4
x
e
y
y



 
,
4 0

y
 
3 0



y
4.
,
2 12 9
9 6
2







x
x
y
y
y
 
,
1 0

y
 
3 0


y
5.


,
cos sin
5
x
x
e
y
y
x







 
,
4 0


y
 
5 0


y
6.
,
36 9
3x
e
y
y



 
,
2 0

y
 
6 0


y
7.
,
2 2
3 2x
e
y
y
y





 
,
1 0

y
 
1 0



y
8.


,
7 12 6
5
x
e
x
y
y
y







 
,
0 0

y
 
0 0


y
9.
,
3 2
2






x
y
y
y
 
,
0 0

y
 
2 0



y
10.
,
cos
2
x
y
y



 
,
1 0

y
 
0 0


y
11.


,
1 2
x
y
y




 
,
2 0

y
 
2 0



y

8 12.
,
x
e
y
y





 
,
1 0

y
 
1 0



y
13.
,
4
x
e
y
y



 
,
4 0

y
 
3 0



y
14.
,
sin
4
x
y
y



 
,
1 0

y
 
1 0


y
15.
,
11 10 2x
xe
y
y
y





 
,
1 0

y
 
0 0


y
16.
,
1 3
5 4
2






x
y
y
y
 
,
2 0

y
 
0 0


y
17.
,
3
sin
9
x
y
y




 
,
0 0

y
 
0 0


y
18.
,
5 3
25 10






x
y
y
y
 
,
1 0

y
 
2 0


y
19.
,
2 3
2
x
e
x
y
y




 
,
1 0

y
 
0 0


y
20.
,
4
sin
2 15 2
x
y
y
y





 
,
0 0

y
 
0 0


y
Кратные и криволинейные интегралы
Задача 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
Сделать чертѐж области интегрирования.
1.
 






0 1
6 2
8 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
11.
 
 


0 1
8 4
4 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
2.
 
 


4 0
2 1
2 1
,
y
y
dx
y
x
f
dy
12.
 
 

1 0
6 2
8 2
,
y
y
dx
y
x
f
dy
3.
 
 

1 0
4 3
2
,
y
y
dx
y
x
f
dy
13.
 



4 0
25 0
2
,
x
dy
y
x
f
dx
4.
 
 

2 0
2 2
2
,
y
y
dx
y
x
f
dy
14.
 
 


2 0
4 2
4 2
2
,
y
y
dx
y
x
f
dy
5.
 
 


4 0
4 2
3 1
2 1
,
y
y
dx
y
x
f
dy
15.
 
 

2 0
2 2
2
,
x
x
dy
y
x
f
dx

9 6.
 




3 0
25 9
2 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
16.
 
 


0 1
8 4
4 2
0
,
y
y
dx
y
x
f
dy
7.
 
 


4 0
2 1
8 2
1 2
2 0
,
y
y
dx
y
x
f
dy
17.
 
 



6 6
2 1
4 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
8.
 
 
2 0
2 4
1 2
0
,
y
y
dx
y
x
f
dy
18.
 
 

2 0
3 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
9.
 
 

1 0
4 4
8 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
19.
 
 


1 0
4 1
2 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
10.
 
 


0 1
8 6
2
,
y
y
dx
y
x
f
dy
20.
 



4 0
25 2
3 2
,
x
x
dy
y
x
f
dx
Задача 5.
Вычислить двойной интеграл
 

D
dxdy
y
x
f
,
. Сделать чертѐж области интегрирования.
1.


D
y
dxdy
,
4 2
где область D ограничена линиями:
0
,
2
,



y
x
x
y
2.


D
y
x
dxdy
,
2
где область D ограничена линиями:
2
,
1
,
2
,
1






x
x
y
x
y
3.

D
dxdy
y
x
,
2 2
где область D ограничена линиями:
1
,
,
2



xy
x
y
x
4.




D
dxdy
y
x
,
cos где область D ограничена линиями:
,
,
0
x
y
y
x




5.

D
dxdy
y
x
,
2
где область D ограничена линиями:
1
,
9
,
x
y
x
y
x
y



6.

D
ydxdy, где область D ограничена линиями:

10 2
,
,





y
x
x
y
x
y
7.

D
dxdy,
где область D ограничена линиями:
6 2
,
4
,




y
x
x
y
x
y
8.


D
x
ydxdy
,
1 2
где область D ограничена линиями:
0
,
3
,



y
x
x
y
9.

D
dxdy
y
x
,
3
где область D ограничена линиями:
0
,
0
,
4
,
,
4 2
2





y
x
x
y
x
y
y
10.

D
xdxdy
y
,
ln где область D ограничена линиями:
2
,
1
,
0
,




x
x
y
x
y
11.


D
dxdy
y
x
,
)
(
2
где область D ограничена линиями:
0
,
3 4
,
2




y
x
y
x
y
12.

D
dxdy
xy
,
2
где область D ограничена линиями:
1
,
4 2


x
x
y
13.

D
xydxdy, где область D ограничена линиями:
2
,
4
,
0
,
cos
x
y
x
x
x
y





14.




D
dxdy
y
x
,
2
где область D ограничена линиями:
0
,
3 4
,




y
x
y
x
y
15.


D
y
x
dxdy
,
где область D ограничена линиями:
0
,
25 5
3
,
1
,
3






y
x
y
x
x
y
16.




D
dxdy
y
x
, где область D ограничена линиями:
3
,
,
3



x
x
y
x
y
17.


D
x
dxdy
,
1 2
где область D ограничена линиями:

11 0
,
2
,
2 1



x
y
x
y
18.

D
dxdy
xy
,
2
где область D ограничена линиями:
8
,
2 2
x
y
x


19.




D
dxdy
y
x
,
1
где область D ограничена линиями:
0
,
0
,
1
,
1 2





y
x
y
y
x
20.


D
x
dxdy
,
3
где область D ограничена линиями:
3
,
1 2
x
y
x
y



