Файл: Ю. П. Шевелев.pdf

1.3.
ДИАГРАММЫ ВЕННА.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
Венн Джон (1834–1923) — английский логик, профессор, член Королевского общества [25, с. Чтобы повысить наглядность представления множеств и отношений между ними, используют диаграммы Венна (иногда их называют диаграммами

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Эйлера [16], кругами Эйлера [18], диаграммами Эйлера–Венна [43]) в виде замкнутых кривых, ограничивающих области, которым ставятся в соответствие элементы тех или иных множеств. На рис. 1 показаны два множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}; K = {1, 2, Непосредственно из диаграммы видно, что K
Ì Если требуется показать, что множества не имеют общих элементов, то их изображают непересекающимися кругами. На диаграмме Венна (рис. множества B = {a, b} и C = {e, f} не пересекаются, так как не имеют общих элементов.
Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества (полного множества, согласно [25, си универсума пос. Обозначается оно обычно символом I (либо U). Множество I — это множество всех тех элементов, которые участвуют в данном рассуждении. Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества. Например, если рассматриваются различные множества целых положительных чисел, за исключением нуля, то универсальным можно считать множество всех натуральных чисел.
На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников, внутри которых размещаются круги, обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств. На рис. 3 показан пример универсального множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и двух его подмножеств P = {2} и Q = {2, 3, 5, 7}, где P — множество четных простых чисел, а Q — множество всех простых чисел, меньших В общем случае универсальным может быть любое непустое множество.
Упражнения
1. (РУ.ШК). На рис. 3 укажите элементы универсального множества, не входящие в множество Q.
2. ОМ. Найдите |I| на рис. 3.
3. (ХЛИ). По рис. 3 найдите |B(I)|.
4. (ХХ). Перечислите все элементы, которые останутся в множестве рис. 3), если из него удалить все элементы, не входящие в множество Q.
5. На рис. 4 универсальное множество образуют гласные буквы русского алфавита. Все они записаны внутри прямоугольника. (ПК.56). Укажите буквы, не входящие нив множество M, нив множество N.
6. (ЖУ). Перечислите буквы (в алфавитном порядке, которые останутся в множестве M (рис. 4), если все элементы множества N удалить.
Рис. Рис. 2

1. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. (ОЙО). По рис. 4 найдите |B(I)|.
8. (ЭЮЮ). По рис. 4 найдите |B(N)|.
9. Даны множества {2, 20, 120, 16, 52, 502};
E
= {120, 502};
B
= {10, 2, 5};
F
= {12, 16, 25};
C
= {2, 20, 16};
K
= {20, 120, 502, 52, 16};
D
= {20, 16, 52};
M
= {502}.
1) (ОТС). Перечислите множества, являющиеся подмножествами множества A.
2) (ОН. Укажите сначала все истинные утверждения из нижеследующих,
а затем — все ложные:
а) B
Ì в) D
Ì д) F
Ì ж) {512}
Ì б) C
Ì г) E
Ì е) M
Ì з) {121, 512}
Ì M.
3) (Т. Какие элементы множества C останутся в нем, если из него удалить все элементы множества K?
4) (А. Элементы множества C объединили с элементами множества В результате получилось новое множество S. Перечислите элементы множества S (в порядке возрастания. Множество I состоит из двузначных чисел, кратных 9 и не содержащих цифры 0.
1) (ХО Найдите кардинальное число множества I. Найдите наименьшее число, входящее в множество I.
2) (88). Найдите |B(C)|, где C — множество, состоящее из чисел множества I, кратных 18.
3) (ДО. Перечислите элементы множества D
Ì I, представляющие собой числа, делящиеся на 4 без остатка. (ВЛЕ). Известно, что A
Ì B и a Î A. Какие из следующих записей верны:
а) a
Ì в) a
Î д) A
Î б) {a}
Ì г) a
Ï е) {a}
Ì ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Объединением или суммой n множеств A
1
, A
2
, ..., A
n
называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы водно из этих n множеств A
1
U A
2
U ... U где знак
U обозначает операцию объединения множеств.
Рис. Рис. 4

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Формально операция объединения множеств определяется следующим образом {x | x
Î A
1
Ú x Î A
2
Ú ... Ú x Î где
Ú — логический знак, обозначающий союз ИЛИ. Читается эта запись так множество А — это все те значениях, которые принадлежат множеству А, или множеству Аи так далее до множества А
п
Например, пусть даны множества {a, b, c}; A
2
= {4}; A
3
= {b, Применив к ним операцию объединения, получаем A
1
U A
2
U A
3
= {a, b, c, 4, На диаграммах Венна объединение множеств обозначают сплошной штриховкой областей, соответствующих этим множествам. На рис. 5 заштрихована область множества P
U Q. На рис. 6 показана штриховкой область множества (P
U Q) U R. На рис. 7 изображены три множества P, Q и R. Штриховкой отмечено множество Q
U Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:
а) объединение коммутативно B = B U A;
A
U B U C = A U C U B = B U A U C и т. д.;
б) объединение ассоциативно) U C = (A U C) U B = (B U C) U A = A U B U Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, соединенных знаком объединения, скобки можно не использовать;
Рис. Рис. Рис. Рис. 8

1. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
21
в) если B
Í A или B Ì A, то A U B = A. На рис. 8 приведена диаграмма Вен
на для случая, когда B
Ì A. Штриховкой отмечена область множества A, которая одновременно относится и к множеству A
U Из свойства в следует, что A = A;
(2)
A
U Æ = A;
(3)
A
U I = Упражнения. (РВ). Найдите элементы множества A
U B, если A = {a, b, c}; B = {b, c, d}.
2. (ПЫ). Найдите элементы множеств сначала A, затем — A
1
, после этого — A
2
(числа упорядочить по возрастанию, если {x | x
Î I Ù (x Î A
1
Ú x Î A
2
)};
A
1
Ì I множество чисел, кратных трем A
2
Ì I — множество чисел, кратных четырем I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
3. (ГУМ). Дано три множества A, B, C. Известно, что a
Î A. Укажите все верные утверждения:
а) a
Ì е) {a}
Î б) a
Î A U ж) {a}
Í A U в) a
Ì B U зги д) {a}
Í A;
4. (ОР)! На рис. 9 приведена диаграмма Венна для трех множеств. Найдите элементы множеств A
U B, затем — A U C.
5. НЕ. Перечислите элементы множества M (рис. 9):
M
= {x | x
Ï A Ù x Î I}.
6. (ШБ). Перечислите элементы множества N (рис. 9):
N
= {x | x
Î A U B, x > 4}.
7. (ПВ). Перечислите элементы множества K, если {x | x
Î A U B U C, x — четное число (рис. 9).
8. (63). Перечислите элементы множества T (рис. 9):
T
= {x | x
Ï A U C, x Î Рис. Рис. 10

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. С. Найдите кардинальное число множества A
U B, если {a, b, c}; B = {6, 7, 8, 9}.
10. (ЯРР). Найдите кардинальные числа множеств A
U B, A U C, B U C по диаграмме Венна (см. рис. 10).
11. НТО. Найдите кардинальное число множества A
U B, если {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4, 5}.
12. (МУФ). Найдите кардинальное число множества A
U B, если {
Æ}; B = {a, b, c}.
13. ОМУ. Найдите кардинальное число множества B(P)
U B(Q), где {a, b, c}; Q = {b, c, d}.
14. (ЯВЕ). Найдите кардинальное число множества B(K)
U B(M), где {x | x четное натуральное число, x
„ 8};
M
= {x | x нечетное натуральное число, x < 6}.
15. ТЕК. Сколько собственных подмножеств имеет множество P = A
1
U
U A
2
U ... U A
n
, если A
1
, A
2
, ..., A
n
— синглетоны, попарно неравные между собой?
1.5.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Пересечением или произведением n множеств A
1
, A
2
, ..., A
n
называется множество A, каждый элемент которого принадлежит каждому из множеств A
1
, A
2
, ..., A
n
:
A
= A
1
I A
2
I A
3
I ... I где знак
I обозначает операцию пересечения множеств.
Формально операция пересечения определяется следующим образом {x | x
Î A
1
Ù x Î A
2
Ù ... Ù x Î где
Ù — логический знак, обозначающий союз И.
Читается эта запись так множество А — это все те значениях, которые входят ив множество Аи в множество Аи так далее до множества А
п
Например, пусть даны множества {a, b, c, d}; B = {b, c, d, e}; C = {c, d, e, Применив к ним операцию пересечения, получим новое множество K:
K
= {a, b, c, d}
I {b, c, d, e} I {c, d, e, f} = {c, Как ив случае объединения множеств, их пересечение на диаграммах
Венна обозначается штриховкой. На рис. 11 заштрихована область, относящаяся одновременно к обоим множествами, где {1, 3, 5, 7}; Q = {5, 6, 7, 8}.

1. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
23
Из диаграммы видно, что P
I Q = {5, Операции пересечения множеств присущи те же свойства, что и операции объединения:
а) пересечение коммутативно B = B I A;
A
I B I C = B I A I C = C I A I B и т. д.;
б) пересечение ассоциативно B) I C = A I (B I C) = (A I C) I B = A I B I Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, объединенных знаком пересечения, скобки можно не ставить;
в) если A
Í B или A Ì B, то A I B = A. На рис. 12 приведена диаграмма
Венна для случая, когда A
Ì B. Заштрихована область, относящаяся к обоим множествами. Так как A
Ì B, то все элементы множества A одновременно являются элементами множества B. Из этого свойства следует, что A = A;
(5)
A
I I = A;
(6)
A
I Æ = Необходимо отметить еще два свойства дистрибутивность пересечения
относительно объединения (B U C) = (A I B) U (A I и дистрибутивность объединения относительно пересечения (B I C) = (A U B) I (A U Свойство (9) можно получить из свойства (8), если все знаки объединения заменить знаками пересечения, а все знаки пересечения заменить знаками объединения. Аналогично можно получить формулу (8) из формулы (В литературе по дискретной математике принято если водном и том же выражении встречаются операции объединения и пересечения, то первой выполняется операция пересечения, а затем — объединения. Благодаря этому многие формулы можно записывать без скобок.
Для примера рассмотрим формулу B) U (B I C) = A I B U B I Если учесть принятое соглашение, то обе части этого выражения будут восприниматься однозначно.
Рис. Рис. Рис. 13

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Если же сначала должна выполняться операция объединения, а затем пересечения, то необходимо использовать скобки. Например (A
U B U C) I В этом выражении первой выполняется операция объединения и лишь затем — пересечения.
Упражнения
1. Найдите элементы множества A
I B, если) (БК). A = {b, c, d}, B = {c, d, e};
2) (МБМ). A = {1, 3, 4, 5}, B = {4, 7, 8};
3) (ЦК. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3};
4) (БАР. A = март, апрель, май, B = май, июнь Найдите элементы множества P
I Q, если) (ДОТ. P = {x | x < 12, x натуральное число {x | x > 10, x натуральное число) (ТЛ).
P
= {x | x
„ 12, x натуральное число {x | x
10, x — натуральное число) (ТИС. P = {x | x натуральное простое число {x | x четное натуральное число Найдите элементы множества A
U B I C, если) (ЫН). A = {0, 1, 2, 3}, B = {x | x < 10, x натуральное число, C =
=
{x | x > 8, x натуральное число) (АМ). A = {b, c}, B = {a, b, c}, C = {a, b, c, d};
3) (РВ). A = B = C = {b, c, d}.
4. (ДЫВ). Найдите кардинальное число множества A
I B U C, если {x | x < 100, x натуральное число, оканчивающееся нулем {x | x > 50, x натуральное число {x | x < 20, x простое число. ОТ Найдите элементы множеств X
I Y, X I Z, Y I Z, если =
{3, 4, 5, 7}; Y = {5, 7, 8}; Z = {7, 8, 9}.
6. (АНУ). Укажите верные выражения:
а) (A
U B) I (A U C) = A U (B I г) (A
U B) I (A U C) = A I (B U б) (B
U C) I A = A I B U A I две A U B I C.
7. (ЛЛЛ). Найдите |B(Q)|, где Q = A
I B U A I C, если {2, 3, 4, 5, 6, 7}; B = {1, 2, 3, 4, 5}; С = {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
8. ФОК. Найдите |B(Q)|, где Q = A
I B U A I C U B I C, если {a, b, c, d, e}; B = {b, c, d, e, f}; C = {c, d, e, f, k}.
9. (КЕН)! По диаграмме Венна (см. рис. 13) найдите элементы множеств B и B I C.
10. (АИМ). По диаграмме Венна (см. рис. 13) найдите элементы множества A
U B I C.
11. (25 К. Найдите |B(Q)|, где Q = A
I B U A U C (см. рис. 13).

1. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. (ЛИО). Укажите номера верных выражений) A
I A I (A U B) = A U A I B U A I B I C;
4) (A
I I) U B = A U B;
2) (A
U B) I Æ = Æ;
5) A
I Æ U B = B;
3)
Æ U A I B = Æ I (A U B) U Æ I C;
6) A
I Æ I B = A I B.
13. (АОИ). Укажите пустые множества, если A
¹ Æ, B ¹ Æ, I ¹ а) A
U в) (A
U B) I I I д) I
U Æ I б) A
I B I г U Æ I е) I
I Æ U Æ.
14. ЛИС. Найдите кардинальное число множества P = A
1
I A
2
I A
3
I если множества A
1
, A
2
, A
3
, A
4
— синглетоны, попарно неравные между собой.
1.6.
ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА
Если I — универсальное множество, то дополнением множества A называется множество всех элементов множества I, не входящих в множество Пусть I — множество домов. Выделим в нем множество A деревянных одноэтажных домов. Тогда в дополнение войдут все недеревянные и все неодно
этажные дома, как деревянные, таки не деревянные.
Обозначается дополнение A . Читается не А. (В литературе встречаются и другие обозначения –A, A
¢, A, NA, ØA и др.).
Формально операцию дополнения можно определить следующим образом 2
|
A
x x
A
x
I
3 4 5 Читается эта запись так множество A — это все те значениях, которые не входят в множество А, но являются элементами универсального множества I. Например, если I — множество десятичных цифр и A = {1, 3, 4 }, то {0, 2, 5, 6, 7, 8, На рис. 14 приведена диаграмма Венна для дополнения. Из диаграммы видно, что 1
(10)
;
A
A
1 2 1
(11)
A
A
1
(инволюция),
(12)
если A =
Æ, тот. е.
;
I
1 если A = I, тот. е.
I
1 Дополнение множества A возможно не только до универсального, но и до любого множества Q, если A
Í Q:
1 2
|
,
,
,
Q
A
x x
A x
Q A
Q
3 4
5 где знак Q при символе A те говорит о том, что операция дополнения осуществляется до множества Q [5]. Например, если =
{1, 2, 3} и Q = {1, 2, 3, 4, 5}, то Рис. 14

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   77