Файл: Ребрик Б.М. Вибрационное бурение скважин.pdf

Скорость колебательного движения определяется по фор-

будет тем больше, чем больше величина Ло. В отличие от этой скорости скорость колебательного движения, в зависимости от фазы дебалансов в момент удара, может изменяться от минус ЛоэСО ДО ПЛЮС ЛооСО.

Формула (75) может быть использована для вычисления энергии какого-либо отдельно взятого единичного удара; фор­ мула (76)— для оценки затрат мощности вибромолотом, рабо­ тающим в устойчивом режиме.

Произведем оценку эффективности работы беспружннного вибромолота для случая, когда Л0 и ѵу являются величинами переменными; Для этого на основе привлечения аппарата функ­ ций случайных величин первоначально решим задачу оценок математического ожидания скорости колебательного движения вибромолота в момент удара.

Сначала качественно рассмотрим режим работы, при кото­ ром отмечается относительное постоянство фазы небалансов в момент удара. Незначительные отклонения фазы от оптималь­ ного значения в ту или другую сторону, характерные для работы вибромолотов, обусловлены совокупностью случайных воздей­ ствий как внешнего, так и внутреннего происхождения. Изве­ стно, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабозависимых) случайных величин, подчиненных каким угод­

* Максимальному значению скорости соответствует фаза дебалансов, равная 90° или 270°. В этот момент дебалансы находятся в положении, ког­ да вынуждающая сила от их вращения равна нулю.

но законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормально­ му закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количе­ ство случайных воздействий суммируется [30]. Таким образом, независимо от опыта можно исходить из того, что фаза деба­ лансов для устойчивого режима работы вибромолота может рассматриваться как нормально распределенная случайная ве­ личина (последующее моделирование полностью подтвердило это).

В результате возникает задача об определении числовых ха­ рактеристик функций при заданном законе распределения аргу­ мента. В рассматриваемом случае имеется случайная величина ср с нормальным законом распределения, другая случайная ве­ личина ѵ2 связана с ср функциональной зависимостью (73).

Математическое ожидание величины ѵ2 может быть опоеделено по формуле

—со

где /(ф) — плотность распределения величины ф.

,_ (Ф—Фо)г

—со

{при отсчете ф от горизонтальной оси).

Значение ф0 в принципе может быть любым. Для случая одноударных колебаний при /?= 0 ф близко к нулю. Величина а, по-видимому, не должна быть значительной,, поскольку в этом случае не удастся получить режим работы вибромолота, близ­ кий к установившемуся. Иными словами, при таком режиме вариации фазы, дебалансов в момент удара не выводят систему за пределы области притяжения рассматриваемого периодиче-

2* 35

ского движения или области существования и устойчивости этого движения [35]. Полное аналитическое решение выражении (81) и (82) представляет некоторые трудности. Для вычисления М[о2] и D[V2] при любых значениях ср0 могут быть использова­ ны методы математического моделирования [17].

Для функции распределения с cp0-^ 0, т. е. когда математи­ ческое ожидание фазы дебалансов соответствует углу, равному нулю пли 180°, выражение (81) может быть записано в виде

Для этого частного случая указанный интеграл решается ана­ литически.

знак ѵ2 не меняется, а закон распределения ср симметричен от­ носительно нуля

Интеграл выражения (85) может быть вычислен с помощью интеграла Пуассона[38], решение которого известно.

00 0,23

36

Для проверки равенства (89) вычислим М[о2] при а = 0. М [с>2] = ЛооСО.

Полученное значение М[ѵ^\ соответствует максимальному значе­ нию скорости колебательного движения при ср = 0 .

Выражение (89) показывает, что с увеличением ст значение М[ѵ2] уменьшается.

Более подробно рассмотрим случайный режим работы вибро­ молота. Как будет показано ниже, этот режим при бурении яв­ ляется основным рабочим режимом. Поскольку Л0 перед каж­ дым ударом может принимать различные значения, время, за­ трачиваемое ударной массой на свободное падение от верхней точки до наковальни, будет также различным и, следовательно, фаза дебалансов в момент удара может принимать любые зна­ чения от 0 до 2я.

В качестве модели примем, что фаза дебалансов вибромоло­ та с параметрами, аналогичными, например, вибромолоту ВБ7, на участке от 0 до 2л имеет равномерное распределение. Такое предположение для ряда случаев является справедливым. Для равномерного распределения интервал [0; 2л] является выбороч­ ным пространством, в котором вероятности интервалов тожде­ ственны их длинам [87]. Последнее является одним из наиболее важных свойств равномерного распределения.

Плотность равномерного распределения для указанного ин­

37

Выражение (96) свидетельствует о том, что скорость коле­ бательного движения, соответствующая моменту удара, не под­ чиняется закону равномерного распределения. Как известно, формула для среднеквадратичного отклонения равномерно рас­ пределенной случайной величины на отрезке [0 ; 2 л] имеет вид

я

(97)

При сопоставлении выражений (96) и (97) можно утверж­ дать, что случайная величина ѵ2 имеет большую дисперсию по сравнению с той, которую она имела, если бы сама подчиня­ лась закону равномерной плотности.

Для вычисления средней скорости движения ударной массы в момент удара необходимо также определить математическое ожидание М[щ]. При устойчивом режиме работы вибромолота и модели нормального распределения Л0 (для каждого значе­ ния і) М\ѵ\\ определится по формуле

При неустойчивом режиме для вычисления /И[щ] необходи­ мо знать закон плотности вероятности для случайной величи­ ны до­

определим М[ѵ{\ для случая равномерного распределения Л0 в интервале [а; Ь].

M[Vl] = V 2 ^ _ ± _ |'Л 0°-5гіЛ0.

о — а •'

Приняв в качестве границ участка реальные значения величин отскоков Ло при глубине скважины Н более 8 м и степени

М [п] = М [yj -f- М [о,] = 105 см/с.

38