Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕВДМЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Г. Романов

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Спецкурс для студентов НГУ

Ответственный редактор чл.-корр.АН СССР М.М.Лаврентьев

Новосибирск • 1973

519.946

Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Спецкурс для студентов НПУ. Романов В.Г., Ш 1 , 1973, 1-252.

Излагается теория обратных задач для дифференциальных уравнений, рассматриваются практически важные задачи, ко­

торые приводят к необходимости изучения обратных задач.

Спецкурс рассчитан на студентов, специализирующихся в дифференциввняис уравнениях,. матвдатической физике и гео-

© Новосибирский государственный университет, 1973 г.

3

ВВЕДЕНИЕ

§ I . Понятие обратной задачи для семейства дифференциальных уравнений. Примеры обратных задач, встречающихся в приложениях

Предметом настоящего спецкурса является введение в теорию об­ ратных задач для дифференциальных уравнений. Термин "обратные за­ дачи" требует своего пояснения, с этого мы и начнем изложение.Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что наи­ более распространенной задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений является задача Коши, заключающаяся в отыскания решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым начальным условиям (данным Коши). Например, для уравнения первого

ное. Для уравнений более высокого порядка имеет смысл рассматри­ вать краевые задачи, заключающиеся в отыскании решения дифферен­ циального уравнения на некотором отрезке, удовлетворяющего на концах отрезка заданным граничным условиям. Уравнения математи­ ческой физики приводят к еще более разнообразным постановкам за­ дач, но общей характерной чертой этих постановок является то,что отыскивается решение заданного дифференциального уравнения, удов-

5

летворяпцее определенным дополнительным условиям (начальным и граничным), которые, как правило, выделяют из всего многообразия решений дифференциального уравнения единственное решение этого уравнения. В дальнейшем подобные задачи мы будем именовать прямы­ ми задачами для дифференциальных уравнений. В значительной степе­ ни постановка и исследование прямых задач стимулировались потреб­ ностями приложений. В последнее время все чаще в приложениях воз­ никают задачи, которые естественно назвать обратными задачами для дифференциальных уравнений. Заключаются они в следующем. Имеется

ального уравнения известна определенная информация от решения од­ ной или серии прямых задач для этого уравнения; требуется по име­ вшейся информации найти дифференциальное уравнение из заданного класса (го есть найти неизвестные функции, входящие в уравнение). Если искомое дифференциальное уравнение является линейным, то об­ ратная задача, таким образом, сводится к отысканию неизвестных коэффициентов этого уравнения. Информация об решениях прямых за­ дач (в дальнейшем мы будем именовать ее функционалами от решении прямых задач) может быть самой различной природы. Это может быть либо само решение, заданное на некотором многообразия независимых переменных, либо интегральные характеристики решения в целом (соб­ ственные числа дифференциального уравнения, моменты от решения и

Т . Д . ) .

Пример обратной задачи.

Рассмотрим класс дифференциальных уравнений, определяемый ли­

6

Рис Л

Исследование поставленной задачи проводится довольно просто. Покажем, что при некоторых предположениях относительно функции j(oL) эта задача имеет решение и притом только одно. Действи­ тельно, уравнение (3) является уравнением, которое легко интегри­

руется. Его решение при условии 14) имеет вид 4

и, кроме того, должна быть непрерывно дифференцируемой. Последнее следует из непрерывности коэффициента аЩ . В то же время эти условия достаточны для существования единственного решения (6) в классе непрерывных функций. Решение его дается формулой

7

ности решений выделяют единственное и устойчивое к малым измене­ ниям входных данных решение носят название корректных задач.Сле­ довательно, рассмотренная вше задача является корректной, когда

Теория обратных задач является совсем молодой математической дисциплиной, поэтому устоявшейся теории обратных задач еще не су­ ществует. Исключение составляет так называемая обратная задача Штурма-ЛЕувилля для обыкновенного дифференциального уравнения вто­ рого порядка, которая подробно исследована, в основном, в работах советских математиков. Имеется обширная журнальная и монографичес­ кая литература по этому вопросу. В нашем курсе речь будет идти об обратных задачах для дифференциальных уравнений в частных произ­ водных, где сделаны фактически только первые шаги. В то же время наметились некоторые общие методы исследования обратных задач.ко­ торыми можно успешно исследовать возникающие в приложениях обрат­ ные задачи. Основная задача этого курса: познакомить с имеющимися результатами в области обратных задач и дать представление о мето­ дах их исаиедования и решения.

Сейчас я хочу рассказать о важнейших обратных задачах, кото­ рые возникли из практических приложений. К числу таких задач от­ косится прежде всего обратная кинематическая задача сейсмики.впер­ вые аоставленная еще в начале нашего века. Физическая ее постанов­ ка заключается в следующем: в области <£> , пространства эс = '(х^а^хД ограниченной некоторой поверхностью 5 , рассматривается

8