Файл: Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска.pdf

53-

a,i>a2>

••• > a n > 0 ;

a i > a 2 + ••• + сс„

(1.3.14)

Тогда при о-»-0 имеем

1

при 1 = 1 , .

т

'

2

'

(1.3.15)

О при i = ~ ^ + U

• • •.

т -

Цепь Маркова является

неэргодической

^имеются т

ятностей

1

1

1

1

1

1

т

т

т

т

т

т

1

1

1

1

1

1

(1.3.16)

m

т

m

m

т

0-

•0

1

0-

•0

0

0 • •0

0

0-

•0

1

m

~2~

JV-Я степень

этой матрицы

будет

иметь

вид i4w (S)

1

1

2N- 1 2 W - 1

2N- -1

2 № - ' m

2 * - ' т 2N- m 2N-im

2N- m

m

T

1

1

2N-

1

2N-l

2N- -1

2N-

2N-lm

2N-

0

•

•

0

1

0

...

о

m

T

0

•

•

0

0

0

...

l

По матрице (1.3.17) находим вектор

вероятностей pw

=

—

( p i w

, • • •, PmiN))

пребывания

автомата

в

состоянии

i

на

N - м

шаге:

_ L _ ( P l ( 0 ) + . . . + p m / 2 ( 0 ) )

п

р и

1 = 1 , . . . / ^ ;

Р ,(N) —

2N—\

+ / W 0 )

) + Р г (

при 1 =

—

—

(Pl(0)+

-

0 )

т

= у + l , . . . , m ,

(1.3.18)

где Р<°).= ( p i { 0 } , . . . , р т

( 0 ) )

—• вектор начальных вероят­

ностей. При

предельном

переходе N-+oo

получаем век­

тор предельных вероятностей:

О

при

i = l , . . . ,

т

— ;

Pi

2

при

ш

P i ( 0 ) + —

(Pim

+ - + P m / 2

{ 0 ) )

i = — + l , . . . , m .

(1.3.19)

Средний

штраф

pCp = 0

и средний

вектор

смещения

в

пространстве X

(т / 4 + т / 2

М[&Х]--

т

\

i = l + m / 2

i = m / 4 + l + m / 2

J

(т / 8 + т / 2

Г ( 0 ) _

+ т / 2

г=т/4+1+га/2

т / 4 + т / 8

^

Рг(0> I , - . . ,

- ( p l + m / 2 ( 0 ) - р 2 + т / 2 ( 0 > +

г ' = 3 / 8 т + 1 + т / 2

г ' = т / 8 + 1 + т

г = т / 2 + 1

• + p 3 W 2

( 0 ) - P 4 + m / 2 ( 0 ) +

- - Р т т )

(1.3.20)

Среднее изменение показателя

качества

т/2

M[AQ]=-ai

/ 7 г ( 0 )

- P l + m / 2 ( 0

) ( « 1 +

« 2

+

г=1

••• +ап)

— Р2+т/2( 0 ) ( a i +

••• + a n - i — а п )

—

— Рз+т/2( 0 )

( а

1 +

+ а п - 2 —ап _1 + а г а ) —

— Р4+т/2( 0 ) ( a i +

••• + а „ - 2 — a n - i —а«) — •••

-••

—/7m_i<°> (cci — ••• — а п - 1 +

OCn) —

- Р т ( 0 ) ( с ч

а п ) .

(1.3.21>

Рассмотрим

д в у м е р н ы й

с л у ч а й

при наличии по­

мехи

(я = 2;

/п = 4). Векторы ДХ<*> пронумеруем в

следу­

ющем порядке:

дх<1> = (1,1);

дх<2) =

( - 1 , 1 ) ;

(1.3.22).

Д Х ( 3 ) = ( - 1 , - 1 ) ;

ДХ<«>=(1,-1).

Матрица A (S)

имеет вид

6]

a]

ai

ai

A(S)

=

й2

b2

а2

а2

(1.3.23).

а3

аъ

Ъг

а 3

Й4

G4

#4

&4

где

4-3s<

а»

(1.3.24))

4

4

Si'

И +

0С2

2 1 "

" \

2о

/J*

- - 5 [ ' - » ( - а

й 2 1

) ] =

(1.3.25>

( а ь

а 2

—

направляющие косинусы

вектора

градиента;

a i 2 + a 2

2 = l ) .

(1.3.23)

следует, что

цепь Маркова при

Из

матрицы

постоянных Sj однородная и при офО

эргодическая.

M[AQ}--

+

2 - Ф 2

_ ф 2

( - ± - ) ^ ( ^ )

(1.3.31)

2

предельном

переходе

2а

(если,

При

<Х1-»-У2/2, аг->У2/2

+

выполнено условие о=й=0) находим:

Ф (Л)

M [ A Q] =

\

2о

/

(1.3.32)

Рассмотрим

случай,

когда

ai = l ; а2 = 0. Тогда

из фор­

мулы

(1.3.25)

следует

(1.3.33)

Матрица A(S)

имеет вид

bi

й\

Ci

d\

A(S)

=

а2

Ь2

а2

а2

(1.3.34)

а2

а2

Ь2

а2

ах

й\

а.\

Ь\

Pi= (bl+ai)pi + 2a2p2;

(1.3.35)

p 2 = 2 a 1 p I + (b2 + a2)p2 .