Файл: Никитенко В.Д. Подготовка программ для станков с числовым программным управлением.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.06.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
ствляется далее при помощи специального электронного устройства — интерполятора.
Объем работ по программированию зависит от системы интерполяции, заложенной в интерполирующем устрой стве. Система интерполяции может быть линейная, кру говая, с помощью полиномов второй и высших степеней.
Для представления информации о траектории переме
щения |
инструмента |
в виде, воспринимаемом |
интерполято |
||||||||
|
|
|
|
|
ром, |
геометрические |
эле- |
||||
|
|
Учашки |
аппрокси- |
|
м е н т ы |
|
Э К В 1 , д и с т а |
н т ы |
под |
||
|
|
мации |
|
вергаются аппроксимации. |
|||||||
|
|
|
Промежуточ |
||||||||
|
|
|
ные точки |
|
Аппроксимация — процесс |
||||||
|
|
|
Стрелка |
|
замены |
одной |
|
функцио |
|||
|
|
|
прогиба |
|
нальной зависимости |
дру |
|||||
|
|
|
|
|
гой |
с |
определенной |
сте |
|||
|
|
|
|
|
пенью |
точности. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В |
процессе |
аппрокси |
||||
|
|
|
|
|
мации геометрический эле |
||||||
|
|
|
|
|
мент, |
ограниченный |
узло |
||||
|
|
|
|
|
выми точками, разбивается |
||||||
|
|
|
|
|
на элементарные |
|
участки, |
||||
Шаг |
аппроксимации |
|
|
называемые участками ап |
|||||||
Рис. 7. |
Линейная аппроксимация |
|
проксимации. Точки, |
раз |
|||||||
|
граничивающие |
|
участки |
||||||||
|
дуги окружности |
|
|
||||||||
|
|
аппроксимации,называют |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ся промежуточными, |
вспо |
|||||
могательными |
или |
узлами |
аппроксимации |
|
(рис. |
7). |
|||||
Точность |
аппроксимации |
|
тем |
выше, |
чем |
меньше |
|||||
длина элементов ломаной линии, называемых шагом аппроксимации или участками аппроксимации. Величина шага аппроксимации рассчитывается, исходя из заданной величины точности аппроксимации. Точность аппрокси мации определяется стрелкой прогиба — максимальным отклонением аппроксимирующей линии от аппроксими руемой, в частности, дуги от хорды.
Дуги окружности для ввода информации в линейный интерполятор аппроксимируются ломаными линиями. Шаг аппроксимации дуг окружностей удобно выражать вели чиной центрального угла Дер, опирающегося на концы участков аппроксимации. В зависимости от того, чем являются участки ломаной для дуги — хордами, секу щими, касательными — существует три способа аппрокси мации дуг окружностей (рис. 8). Величину шага опреде ляют из соотношений:
22
при аппроксимации хордами |
|
||
Аф = |
2arccos ( l — , |
(5) |
|
где R — радиус |
дуги |
окружности; |
|
б — стрелка |
прогиба; |
|
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
|
Рис. |
8. |
Аппроксимация дуги хордами |
(а), секущими (б), каса |
||||||||
|
|
|
|
|
|
тельными (в) |
|
|
|
||
при |
аппроксимации |
секущими |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Аф = г |
|
/г — в |
(6) |
||||
|
|
|
|
2 arccos ( * + |
6 |
) ; |
|||||
при |
аппроксимации |
касательными |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Аф = |
2arccos п ^ |
, |
|
(7) |
|||
|
|
|
|
т |
|
|
R + о |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из приведенных соотношений видно, что величина |
|||||||||||
шага аппроксимации |
зависит от точности аппроксимации |
||||||||||
(стрелки прогиба б) и ради |
|
|
|
|
|||||||
уса дуги |
окружности R . |
|
|
|
|
||||||
В табл. 3, 4, 5 приведено |
|
|
|
|
|||||||
изменение шага |
аппроксима |
|
|
|
|
||||||
ции Дф (рад) с |
изменением |
|
|
|
|
||||||
радиуса R (мм) дуги |
окруж |
|
|
|
|
||||||
ности |
при |
фиксированном |
|
|
|
|
|||||
значении |
стрелки |
прогиба |
О |
|
U00 |
300 Ч,мн |
|||||
(б = 0,02; 0,01; 0,005). |
Гра |
|
|||||||||
Рис. |
9. |
Зависимость шага ап |
|||||||||
фик на рис. 9 |
иллюстрирует |
||||||||||
характер |
этой |
зависимости |
проксимации окружности от ее |
||||||||
радиуса и стрелки прогиба |
|||||||||||
при аппроксимации хордами. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
При использовании кругового интерполятора необ |
|||||||||||
ходимость в |
аппроксимации |
дуг |
окружности |
отпадает. |
|||||||
Более сложным является алгоритм линейной аппрокси |
|||||||||||
мации дуг эллипса. Исследовались два способа |
аппрокси |
||||||||||
мации |
дуг эллипса: |
|
|
|
|
|
|
||||
1) с применением формулы определения шага аппро ксимации для окружности, но вместо радиуса окружности
23
|
|
|
Таблица |
3 |
Значение |
Д<р при аппроксимации хордами |
|
|
|
|
Дф при |
= 0,01, рад |
Дф при |
|
6 = 0.005, рад |
в = 0,02, рад |
|
||
50,0 |
0,028284745 |
0,040001005 |
0,056570379 |
|
100 0 |
0,020000252 |
0,028284745 |
0,040001005 |
|
150,0 |
0,016330115 |
0,023094336 |
0,032660503 |
|
200,0 |
0,014141228 |
0,020000252 |
0,028284745 |
|
250,0 |
0,012648295 |
0,017889091 |
0,025297896 |
|
300,0 |
0,011547116 |
0,016330115 |
0,023094336 |
|
350,0 |
0,010689352 |
0,015119024 |
0,021381580 |
|
400,0 |
0,010000836 |
0,014141228 |
0,020000252 |
|
450,0 |
0,009427126 |
0,013334220 |
0,018855882 |
|
500,0 |
0,008943685 |
0,012648295 |
0,017889091 |
|
550,0 |
0,008527477 |
0,012059672 |
0,017056728 |
|
600,0 |
0,008163218 |
0,011547116 |
0,016330115 |
|
650,0 |
0,007842963 |
0,011094319 |
0,015689757 |
|
700,0 |
0,007560482 |
0,010689352 |
0,015119024 |
|
750,0 |
0,007303845 |
0,010329209 |
0,014605684 |
|
800,0 |
0,007071652 |
0,010000836 |
0,014141228 |
|
850,0 |
0,006862042 |
0,009701350 |
0,013719770 |
|
900,0 |
0,006668207 |
0,009427126 |
0,013334220 |
|
950,0 |
0,006486988 |
0,009177226 |
0,012978567 |
|
1000,0 |
0,006324148 |
0,008943685 |
0,012648295 |
|
|
|
|
Таблица |
4 |
Значение Дф при аппроксимации секущими |
|
|||
R, мм |
Дф при |
Дф при |
Дф при |
|
6 = 0,005, ра д |
6 = 0,01, рад |
б = 0,02, ра д |
|
|
50,0 |
0,039998770 |
0,056565637 |
0,079989242 |
|
100,0 |
0,028283691 |
0,039998770 |
0,056565637 |
|
150,0 |
0,023091755 |
0,032659591 |
0,046186213 |
|
200,0 |
0,019998762 |
0,028283691 |
0,039998770 |
|
250,0 |
0,017887425 |
0,025297896 |
0,035776867 |
|
300,0 |
0,016331940 |
0,023091755 |
0,032659591 |
|
350,0 |
0,015120995 |
0,021378792 |
0,030237280 |
|
400,0 |
0,014143336 |
0,019998762 |
0,028283691 |
|
450,0 |
0,013334220 |
0,018854302 |
0,026666343 |
|
500,0 |
0,012650651 |
0,017887425 |
0,025297896 |
|
550,0 |
0,012057200 |
0,017058475 |
0,024118224 |
|
600,0 |
0,011544535 |
0,016331940 |
0,023091755 |
|
650,0 |
0,011091632 |
0,015691657 |
0,022186036 |
|
700,0 |
0,010686564 |
0,015120995 |
0,021378792 |
|
750,0 |
0,010326323 |
0,014607724 |
0,020654156 |
|
800,0 |
0,009997855 |
0,014143336 |
0,019998762 |
|
24
Продолжение табл. 4
R, мм |
Дф при |
Дф при |
Дф при |
6 = 0,005, рад |
6 = 0,01, ра д |
6 = 0,02, ра д |
|
850,0 |
0,009698267 |
0,013721942 |
0,019401192 |
900,0 |
0,009423964 |
0,013334220 |
0,018854302 |
950,0 |
0,009173978 |
0,012978567 |
0,018351258 |
1000,0 |
0,008940351 |
0,012650651 |
0,017887425 |
|
|
|
Таблица 5 |
Значение |
Л<р при аппроксимации касательными |
||
R, мм |
Дф при |
Дф при |
Дф при |
= 0.005, ра д |
6 = 0,01, р а д |
6 = 0,02, ра д |
|
50,0 |
0,028283691 |
0,039997279 |
0,056559313 |
100,0 |
0,020000252 |
0,028283691 |
0,039997279 |
150,0 |
0,016328290 |
0,023093045 |
0,032658678 |
200,0 |
0,014141228 |
0,020000252 |
0,028283691 |
250,0 |
0,012648295 |
0,017889091 |
0,025297896 |
300,0 |
0,011547116 |
0,016328290 |
0,023093045 |
350,0 |
0,010692140 |
0,015117053 |
0,021380187 |
400,0 |
0,010000836 |
0,014141228 |
0,020000252 |
450,0 |
0,009430287 |
0,013331984 |
0,018855882 |
500,0 |
0,008943685 |
0,012648295 |
0,017889091 |
550,0 |
0,008523981 |
0,012062143 |
0,017054980 |
600,0 |
0,008163218 |
0,011547116 |
0,016328290 |
650,0 |
0,007842963 |
0,011094319 |
0,015687858 |
700,0 |
0,007556539 |
0,010692140 |
0,015117053 |
750,0 |
0,007299764 |
0,010329209 |
0,014603643 |
800,0 |
0,007067437 |
0,010000836 |
0,014141228 |
850,0 |
0,006857697 |
0,009701340 |
0,013717597 |
900,0 |
0,006663736 |
0,009430287 |
0,013331984 |
950,0 |
0,006486988 |
0,009177226 |
0,012976271 |
1000,0 |
0,006324148 |
0,008943685 |
0,012648295 |
подставлялось значение радиуса кривизны эллипса в каж дой точке;
2) через площадь эллиптического сегмента.
Рассмотрим первый способ. Допустим, что эллипс состоит из множества сопрягающихся дуг окружностей, радиусом каждой из которых является радиус кривизны эллипса в промежуточной точке (рис. 10). Тогда для
25
вычисления шага аппроксимации можно воспользоваться формулой для окружности
Дф = 2 arccos •Я - 6 |
(8) |
R |
|
Здесь под радиусом R понимается текущее значение радиуса кривизны, определяемое в общем виде по формуле
ад
Вычислив первую и вторую производную для эллипса, заданного в виде
y = kVa2 — х\ (10)
и произведя некоторые преобразования, получим радиус кривизны R = = R (х) в виде
ад |
/ 2 |
с 2 „ 2 ')3/2 |
= (а |
kd- |
Рис. 10. Линейная аппроксимация дуги эллипса
Последовательно сум мируя приращения угла Дф,., определяемые по фор муле (8), можем в любой точке вычислить значения угла аппроксимации, ко
ординаты точек |
аппроксимации и |
их приращения: |
|
||||
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
ф/ = - f — |
SД Ф / ; |
|
|
||
xt |
= |
rl |
COS ф. |
V\ |
— e3 cos2 |
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||
|
|
|
|
|
b sin ер; |
||
yt |
= |
rt |
sin ф£- |
|
|
||
|
e2 |
sin2 9i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Дл-, = IX,-i+l |
|
|
|
|
byt = |
\ y M - y t \ ( i |
= |
0. 1.2 |
л). J |
|
||
Рассмотрим второй способ. При аппроксимации эл липса с использованием площади эллиптического сегмента шаг аппроксимации определялся методом подбора. На рис. 10 показан эллиптический сегмент 5с е г м ; площадь
26