Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf

Vmn

2

^кт-пУкт

(1.59)1

где

ио /с=х

Сктп =

—5

5"

" J

,

(1.60).

C û t _ T — СО

J f o i T

"кпТ '

^

Dkmn

\flV^dR,

(1.61).

о

К„

7 ^

=

4 г *\ P f l 2

( ^ ) 2 d ß .

(1.62).

Здесь

— собственные функции,

а со2„т — собственные зна­

чения оператора, образованного левой частью (1.52) и граничными

условиями (1.53), (1.54). При выводе (1.56), (1.60)

использовались

условия

ортогональности:

i V (

W

+ «

)

^

= o,

я.

(1.63).

$ р я 2 ( П Э Т ) с Ш = о

при

кфі.

о

UR =

0

- S *

ш

[ 2 2 2 *

( Й ) Y

™

]

D T

Ö

'

ѵ

C

MN(Û>)

—oo

n=0 m=—Ti Jc=l

0

—oo

n—l

m=—n k= l

+ ^ т п ( с о ) П 3

^ ( Л ) ^ ѳ ^ ) ] ^ ,

(1.64).

+ 0 0

oo

n

oo

.

a y

-oo

n = l

m=—n k=i

- < & » ( « )

П 8 < Д > -

дению значении интегралов типа

С

егм'г|>(ш) ,

п

,.

\

—2 _

2 осо.

При

вве-}

— о о

•

яр (— и) =

г|) (со). Отсюда

для t

tx нетрудно получить

v \ e m

J ^

d * =^Re[y(a)exV[i(at-^j)]

+ d(t).

(1.65)

— о о

Функция

d (t)

описывает

не

представляющее

для нас

интереса

ного

источника,

у которого F (t) — О вне интервала 0 ^ t ^ tv

d (t)

= О при t ^> tv

для других источников d (t) экспоненциально

затухает во

времени.

Применяя найденное соотношение к (1.64) и пренебрегая d (t),

получаем:

ОО

71

о о

UR = — г

Be 2

2

2

е х Р | 1

U>bnst — - у l-'ltmn

«Ѳ =

-4" Re

2 4r

2

2

{ e X P

Г* ( « W

%^]\ Dfmn X

(1.66)

" ф = " І - К е 2 4 " S 2 \ e x p \ i ^ n S t - ^ ) ] D s

k m n l ^ -

x

Ro

n=i

- , n = - n i c = i l

L \

^

' J

v/mshns

X Ж е

- 5jT - - e x P

L* r » n T t

— 2

- j

J I S

-

} •

кретными частотами cofc„s и (акпт-

Радиальная

компонента UR

обязана только

сфероидальным

колебаниям,

компоненты щ,

цѵ — как сфероидальным, так и крутильным колебаниям.

Асимптотика

смещений в бегущих волнах при больших углах Ѳ.

Д л я выделения

из смещений, описываемых формулами (1.66),

о о

п

о о

док

суммирования

(т. е. заменим сумму

2

S

S суммой

оо

п = о т——п fc=i

о о

о о

2

2

2 ) и з а м

е н и м суммирование по

п

интегрированием-

2

fnPZ

(cos Ѳ) = -

(J)

1

г г

dv.

n=0

L

COS Я I V

+~2~)

Представляя

(cos л

(v +

1/2))-'^

при

I m v > 0

рядом

2 2

( — I ) ' e x P

\j

(2^ +

1)

+

4~] 3TJ ,

а при

Im

v <

0

рядом

оо

2

2

( — 1 ) ' e x P [ — l' (2^ + 1 ) (v +

4~) я] ,

устремляя

контур

инте­

грирования к

действительной

оси

и

вводя

новую

переменную

ю =

о/се? (ѵ), получаем

2

fnP™ (cos Ѳ) =

2 2

( - l ) , + ,

m 1 $ / (и) i C

(cos (я - Ѳ))

X

11=0

1=0

0

Xsin[(2Z +

l ) ( v + 4 - ) n ] £ d c û -

î 1 - 6 7 )

Исключив

из рассмотрения

низкочастотную

часть

поля с со < й

для больших

значений п sin Ѳ Jg>

\т\ +

1, находим

Ent[v(o>)]

г

=

0

ш

X cos [(v +

4 - ) (я -

Ѳ) -

-

f +

- ^ ] sin [(Я + 1) (v + 4" )

я

Применяя

аналогичные

асимптотические

преобразования

к сум-

2

dP™ (cos9)

In

« I

(ыв и;

П 0 Л У ч а е м

/ п

—

'

Ent [ѵ(ш)]

E:it[v(u>)]

'=0

-

X cos [(v + -f) (л - Ѳ)—

+

sin [(2Z + 1)-(ѵ +-4*) -я] А*.*

Т а б л и ц а

2

Q

Е<2

Л

1

1

ѳ

2

- і ( - 1 ) *

ф

Г

3

ство vkQ (ta) sin Ѳ ^ > |m| +

1; \kQ

— корень

уравнения ыіо (ѵ) —

- о>2 = 0;

! > « , =

* — ( 1 . 7 2 )

vfcQ +

1_ '

2

(1.73)

Wk4Q = 2^Q_ 1 И

exp {іл»[ф + ( - l)g - î - ] } ,

(1.74)

Полный путь пробега

волны

Ѳ связан с

координатой

точки

Ѳ =

( - 1 ) * Ѳ +

2 я ( £ - / ) .

(1.75)

Связь между высокочастотными

смещениями в шаре и полу­

пространстве. Пусть

- > oo,

а

величина

-^щ^ (R0 — Щ =

= Y[JT) о с т а е т с я П Р И э т о м

ограниченной. Тогда нетрудно показать,,

сой0 Ѳ-^сог,

- ^ — > E k Q ,

F R - + - F „

FE->FR;

UKR

—> — U KZ,

UK9—*-U

kn

П Ѵ ^ - П 1 ^ ) ,

nhn)->-v^(z),

f i 3 > ( i ? ) - > F f ( 2 ) ;

m-1 n

S

—

n R

.,»"-1 n T

n L

VfeS L>kmv~>

IJkm,

VkT ^kmv

—> - ^Лт .

координат z = 0, г = 0, а в шаре — вблизи полюса

R =

R0,

Ѳ = 0. Поместим в точку с координатами z, г, ф (в шаре

R,

Ѳ, ф)

щений этой точки (q =

z, г, ф в полупространстве; q = R, Ѳ, ф —

в шаре). Величина г

(или Ѳ) имеет тогда смысл

эпицентрального

расстояния, ф — азимута с эпицентра

на станцию,

z (или R) —

глубины приемника,

отсчитываемой

от свободной поверхности

(центра шара), Ѳ (в шаре) — пути пробега волны, g

раз прошедшей

через эпицентр и антиэпицентр.