Файл: Левкович А.И. Инженерно-геологические изыскания для строительства на вечномерзлых грунтах.pdf

Методы, ни точные решения, ни моделирование в целом не мо­ гут обеспечить решения задачи прогнозирования температурного режима вечномерзлых грунтов оснований для целей инженерной практики. Создавшееся положение заставило обратиться к чис­ ленным методам, применение которых позволяет получить при­ ближенные решения самых сложных краевых задач математи­ ческой физики, к числу которых относится и задача прогнозиро­

во времени на ряд интервалов, в течение которых тепловые по­ токи принимаются постоянными и пропорциональными разно­ стям температур на границах соответствующей области иссле­ дований. Степень приближения к истинному решению в этом случае зависит от того, насколько коротки будут эти интервалы времени.

Действительно, на границах области исследований гранич­ ные условия все время меняются, значит меняется и теплопоток в самой области. Если выбранный расчетный интервал времени Ат будет настолько краток, что за это время изменение гранич­ ных условий будет невелико, то невелика будет и ошибка рас­ чета. Фактически эта ошибка получается за счет осреднения граничных условий на каждой новой границе в области иссле­ дований. При стремлении Ат к нулю при прочих равных усло­ виях будет уменьшаться и погрешность расчета.

Решение по методу конечных разностей позволяет учитывать неоднородность состава и свойств грунтов области исследова­ ний, поскольку в уравнении нестационарной теплопроводности температура и свойства грунтов определены в любой точке об­ ласти во времени. Данный метод вообще предполагает дискрет­ ность области исследований,' поскольку это позволяет в каждый промежуток времени разбить суммарный тепловой поток на ряд составляющих в пределах этой области.

В самом деле, в один и тот же промежуток времени в раз­ личных зонах области исследований поток неодинаков. Для грунтового полупространства тепловой поток в общем случае, как известно, уменьшается с глубиной. Понятно, что чем меньше мощность, слоя, в котором этот поток рассматривается, тем точ­ нее будет вычислена его величина, т. е. значения температур на границах слоя, под воздействием которых происходит тепло­ обмен, будут ближе к их истинным значениям.

Таким образом, чем меньше расстояние между точками, на которые разбивается непрерывная область и в которых рассчи­ тывается температура грунтов, тем меньше будет погрешность расчета. Для трехмерной задачи соответствующие расстояния между точками Ах, Ау и Аг должны стремиться к нулю. Послед­ нее условие должно выполняться независимо от того, однороден грунт или нет, В общем случае погрешность метода конечных

120

разностей будет стремиться к нулю, если выполняются условия Дт —>0 и Ах —►0, Ау —►0, Дз —*■0.

Вывод уравнения нестационарной теплопроводности (34) производился на основе анализа теплового баланса'элементар­ ного слоя (призмы) для одномерного теплового процесса. Про­ межуточное уравнение (31) характеризовало тепловой поток в элементарном слое в конечных разностях. Здесь за интервал Времени Дтк этот тепловой поток определялся конечными разно­ стями соответствующих температур. Аналогичное уравнение можно составить для двухмерного и трехмерного тепловых про­ цессов в некотором объеме грунта и с его помощью рассматри­ вать в этом объеме и в области исследований в целом двухмер­ ный или трехмерный тепловой процесс.

Если интересующую нас область исследований разбить на элементарные блоки, а время непрерывного теплового процесса разделить на весьма малые промежутки времени Дт, то можно, пользуясь такими уравнениями, рассчитать теплообмен каждого блока со всеми остальными, его окружающими, определить из­ менение его теплосодержания и изменение температуры в нем за расчетный промежуток времени.

Можно для этой цели воспользоваться основными уравне­ ниями теплопередачи (24) —(26), что одно и то же, вводя до­ полнительно условие выделения или стока тепла за счет фазо­ вых переходов на границе или в зоне промерзания (оттаива­ ния). В этом случае теплообмен рассчитывается раздельно через каждую грань блока. Учет фазовых переходов при этом доста­ точно прост.

Например, в случае границы оттаивания при достижении блоком нулевой температуры приходящее тепло расходуется не на дальнейшее повышение температуры, а на плавление льда, т. е, оно должно компенсировать величину скрытых теплот в данном блоке, рассчитанную для него по формуле (27). После того, как весь лед в блоке растает, приходящее тепло расхо­ дуется на повышение температуры. Таков физический смысл применения метода конечных разностей для расчета темпера­ турных полей в грунтах.

Математическая реализация этого метода может быть очень сложной. В настоящее время разрабатывается ряд приближен­ ных способов расчета в конечных разностях задач нестационар­ ной теплопроводности для одно-, двух- и трехмерного теплового процессов [3, 4, 16, 25]. Все эти решения могут быть получены только с помощью применения электронных цифровых вычисли­ тельных машин (ЭЦВМ). Но они имеют достаточно сложную математическую основу, а их описание большей частью доступ­ но только людям с высокой математической квалификацией. Кроме того, в литературе, как правило, отсутствуют программы для соответствующих расчетов на ЭЦВМ. Эти обстоятельства делают их практически недоступными для широкого круга

121

проектно-изыскательских организаций. Оценка точности этих решений, по крайней мере в теоретическом плане, в настоящее время отсутствует. Практически же эти решения дают доста­ точно хорошие совпадения с натурными наблюдениями.

Наиболее простым и доступным в математическом плане является приближенное решение уравнения нестационарной теп­ лопроводности в целях прогнозирования температурного ре­

Это решение близко к методу элементарных тепловых балансов А. П. Ваничева [5] и основано на анализе тепловых балансов элементарных объемов грунта в области исследований.

На рис. 7 приведен алгоритм этого решения, который опи­ сывает теплообмен любого блока, выделенного в области иссле­ дований, со всеми окружающими его блоками (или через гра­ ницу области) за расчетные интервалы времени Дт, на которые разбивается все' время расчета. Алгоритм может быть исполь­ зован для расчета одно-, двух- и трехмерного теплообмена в грунтах. Он содержит 30 вариантов возможного пути расчета теплового баланса и температуры блока в зависимости от ком­ бинаций различных параметров. Алгоритм достаточно просто программируется для расчета температурных полей на ЭЦВМ. При составлении программы к нему присоединяются граничные условия для каждого пограничного блока, способы учета тер­ мических сопротивлений при переходе температур блока через 0°С, а также условия и форма вывода результатов расчета, изложенные в следующем параграфе (рис. 7 см. вклейку).

■Точность расчета оценивалась путем сравнения результатов,

двухмерного теплового процесса. В результате сопоставлений оказалось, что величины относительных ошибок возрастают бо­ лее значительно при увеличении Дт, чем при увеличении ДхАу. Наибольшая ошибка образуется в верхних горизонтах грунта (до 2—3 м) в начальные интервалы времени расчета. На глу­ бинах 3—6 м и более ошибка уже невелика. На всех глубинах характерно уменьшение' ошибок до некоторого постоянного уровня после прошествия определенного времени с начала рас­ чета. Увеличение размеров блоков в нижних горизонтах грунта практически не оказывает влияния на величину ошибки.

Исходя из этих результатов, можно сделать некоторые пред­ варительные практические выводы. При решении двухмерной за­ дачи прогнозирования разбивка области исследований на блоки размером 0,5—1—2 м до глубин 10—15 м и при величине шага по времени Дт порядка 40—50 ч приводит к появлению первона­ чальной погрешности расчета на первом метре разреза не более

123

0,7—1,0° С или не более 10 см для границы промерзания или оттаивания. На 3—4 м ошибки уменьшаются до 0,3—0,2° С. Без­ условно, трудно говорить об этих ошибках как о максимально возможных, поскольку указанные результаты не являются окон­ чательными. Однако достаточно длительный опыт применения алгоритма показывает, что результаты расчетов обладают высо­ кой степенью совпадения с натурными результатами [36].

Решение задач прогнозирования с использованием приведен-

.иого алгоритма. целесообразно выполнять на ЭЦВМ с быстро­ действием не менее 10 000 операций в 1 сек и объемом опера­ тивной памяти не менее 4000 единиц. При составлении про­ граммы следует использовать только оперативную память, т. к. это экономит время счета.

Расчет производится обычно на 4—5 лет, на которые темпе­ ратурный режим грунтов оснований, как правило, стабилизует­ ся. Время счета на машинах с указанными характеристиками для двухмерной задачи не превышает 4—5 часов. При этом ко­ личество блоков не должно быть больше 600—800, а расчетные интервалы времени 40—50 ч. На более быстродействующих ма­ шинах время счета резко сокращается.

§ 6. ПОДГОТОВКА ЗАДАЧИ О ПРОГНОЗИРОВАНИИ К РАСЧЕТУ

Подготовка задачи к расчету заключается в определении пространственной характеристики задачи, выборе области ис­ следований и определении ее размеров, назначении граничных условий на каждой границе области, разбивке области исследо­ ваний на блоки, назначении начальных условий, назначении и расчете характеристик грунта по каждому блоку.

Пространственная характеристика задачи складывается из пространственной характеристики области исследований и теп­ лового процесса. Пространственная характеристика области оп­ ределяется условиями залегания грунтов и распределением их свойств в области исследований. При наличии горизонтального напластования грунтов и при условии, что свойства грунтов в пределах слоев более или менее постоянны, область можно считать' одномерной. Если при этом на поверхности грунта име­ ется одно граничное условие, то задача в целом будет одномер­ ной. Указанное совпадение встречается обычно при прогно­ зировании температурного режима грунтов в естественной обстановке для районированных участков, характеризующихся в своих пределах относительным постоянством условий тепло­ обмена на поверхности и .литолого-генетическим единством грунтов.

Очень часто отмечаются случаи, когда состав и свойства грунтов изменяются преимущественно в двух направлениях. Почти всегда можно выбрать такую вертикальную плоскость,

123