ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
В 1968 г. Б. Ф. Зобним классифицировал начальные условия нагрева заготовок и сформулировал для каждого класса печей граничные условия [25] . В другой работе он приводит•мето дику . расчета нагрева заготовок при условии постоянства тем пературы нагревающей среды и постоянства коэффициента теп лопередачи [26].
Оригинальную методику расчета температурного поля не
ограниченной пластины при переменном значении |
коэффициен |
||
та теплообмена и |
температуры |
внешней среды предложил |
|
В.- В. Саломатов и Э. И. Гончаров |
[71]. |
|
|
Методика расчета температурных полей в инструменте и по- |
|||
ковка.\ разработана |
В. П. Севердеико и другими |
[73—75]. |
|
Метод тепловых |
источников применительно к |
расчетам тем |
|
пературных полей в штампах и поковках применил Б. Ф. Трах-
тенберг |
[86], В. А. К а л а ш н и к о в и другие. |
|
|
|
|
|||||||||
Расчеты |
температуры |
осаживаемых |
металлических |
образцов |
||||||||||
•с помощью аналитических расчетов с применением Э В М |
произ |
|||||||||||||
водили |
Г. Я. Гун, А. М. Галкин и Р. Д . Щербель |
[18]. |
|
|
||||||||||
Расчеты с помощью метода сеток и конечных разностей ос |
||||||||||||||
нованы |
на .замене |
дифференциального |
уравнения теплопровод |
|||||||||||
ности |
Фурье |
определенными |
арифметическими |
соотношениями |
||||||||||
значений температуры |
в |
данной |
точке |
тела |
и в |
точке, |
распо |
|||||||
ложенной рядом с ней. Развитие метода конечных |
разностей |
|||||||||||||
дано |
з |
работе |
А. П. |
Ваничева |
(метод |
элементарных |
|
балан |
||||||
сов) |
[ 7 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод сеток, как наиболее общий |
метод |
расчета, |
основан |
|||||||||||
ный' на |
принципе |
конечных |
разностей, применительно |
к ра |
||||||||||
счетам |
нагрева |
слитков |
под |
ковку разработал |
В. |
Н . |
Соко |
|||||||
лов |
[79]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод сеток и конечных разностей находит все большее применение вследствие широкого внедрения электронно-вычис лительной техники. Например, Ю. А. Самойлович разработал методику расчета температуры прокатных слитков методом се ток на машинах «Минск 1» и БЭСМ - 2М при нагреве слитков в колодцах с учетом изменения температуры газов, асимметрии нагрева, изменения коэффициента излучения и теплофизических
характеристик металла [72]. Расчеты нагрева |
кузнечных слит |
|||||
ков методом сеток с применением |
Э Ц В М |
и гидравлических |
ин |
|||
теграторов |
опубликованы т а к ж е |
в работе |
3. Н . |
Головина |
||
и других |
[16] . |
|
|
|
|
|
Большинство рассмотренных |
методов |
расчета |
нагрева |
и |
||
о х л а ж д е н и я твердых тел |
отличаются сложностью и громоздко |
|||
стью. Некоторые из |
них |
требуют |
наличия ЭВМ . Поэтому они |
|
не нашли широкого |
применения |
при |
расчете температурных |
|
полей слитков и заготовок в процессе |
их нагрева и дефор |
|||
мации. |
|
|
|
|
ГЛАВА 111
Р Е Ш Е Н ИЯ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Д Л Я ТИПОВЫХ УЧАСТКОВ НАГРЕВА И О Х Л А Ж Д Е Н И Я
12. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВЫХ УЧАСТКОВ
Решение уравнения теплопроводности для типового участка 1.
Этот участок режима нагрева и охлаждения описывается сле дующими уравнениями:
теплопроводности:
|
~ - |
= |
а\7Ч; |
(77) |
|
5т |
|
|
|
граничного |
условия: |
|
|
|
|
? = - Ь - Т - |
= |
« с у м ( ' с - 9 ; |
(78) |
начального |
условия: |
|
|
|
|
і | т = 0 = |
|
= const. |
(79) |
Д л я дифференциального уравнения теплопроводности с дан ными краевыми условиями имеется классическое решение при менительно к одно-, двух- и трехмерному температурному полю. Так, в случае одномерного температурного поля для неограни ченной пластины, когда V 2 = — - , решение имеет вид (см., на-
пример, |
[ 5 3 ] ) : |
|
|
|
дх- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
в = 1 — V |
Ап |
cos ц„ — |
ехр ( — & Fo). |
(80) |
||||
|
Д л я температуры |
поверхности |
|
|
|
|
||||
|
|
6П =• 1 - |
J А „ cos ц„ ехр ( - |
£ Fo). |
(81) |
|||||
|
Д л я температуры |
в центре |
тела |
|
|
|
|
|||
|
|
9Ц |
= |
1 - |
J |
А„ ехр ( - |
$ |
Fo), |
(82) |
|
|
|
|
|
|
л = 1 |
|
|
|
|
|
где |
6 |
— безразмерная |
относительная |
температура; |
при расче |
|||||
|
|
тах нагрева |
6 = |
——— , |
при |
расчетах |
охлаждения |
|||
|
|
|
|
|
tc — 'о |
|
|
|
|
|
tn |
— начальная температура тела, °С; |
||
tc |
— температура |
среды, 0 |
С; |
Ап |
—переменный коэффициент, зависящий от интенсивно |
||
|
сти теплопередачи; |
|
|
|
А |
= |
2 s ' n ^ |
"ц., + sin j.t„ cos у..,
Значение ц определяется из характеристического уравнения
|
|
|
|
|
Ві |
|
|
|
|
г) |
|
|
|
/' |
і |
d2t |
, д-t \ |
|
|
Решения для двухмерного V |
— |
|
1 |
и трехмерного по- |
|||||
|
|
|
|
ч |
|
дх- |
dif- J |
|
|
„ f„„ |
дЧ |
, дЧ |
. дЧ |
\ |
|
|
|
|
|
леи і \7"= |
|
1 |
1 |
содержат |
произведения двух и |
трех |
|||
V |
дх- |
ду'2 |
dz |
J |
|
|
|
|
|
сумм бесконечного |
ряда, аналогичного |
ряду |
в решении |
(80), |
|||||
с координатами у, z и размерами плит в направлении этих ко
ординат |
[83]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При расчете заготовок как неограниченных цилиндров ти |
||||||||||
повой участок / нагрева и охлаждения характеризуется |
следую |
|||||||||
щими уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теплопроводности |
в |
цилиндрической |
системе координат |
|||||||
|
|
JL |
= |
a(^L |
+ |
±*L). |
|
(83) |
||
|
|
|
5т |
|
|
\ |
дг- |
г |
дг J |
|
'граничного |
условия: |
|
|
|
\ |
|
|
|
||
|
|
<7 = |
|
* - g - |
= a c y „ ( f c - Q ; |
(84) |
||||
начального |
условия: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
| т |
= р = |
i„ = |
const. |
(85) |
|
Д л я |
неограниченного |
цилиндра |
|
|
|
|||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 1 _ |
2 |
|
AnJ0 |
(u.„ |
) ехр ( - ці Fo), |
(86) |
|||
где Fo — критерий Фурье, равный |
|
. |
|
|||||||
Д л я |
температуры |
поверхности |
|
|
|
|||||
|
|
9П = |
1 - |
|
V |
Аи |
J0 (fi„) ехр ( - ці Fo). |
(87) |
||
|
|
|
|
п = 1 |
|
|
|
|
||
Д л я |
температуры |
центра |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
_ |
|
|
|
Є ц |
= |
1 - |
2 |
A , e x p ( - u ; , F o ) . |
(88) |
|||
|
В этих уравнениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
= |
|
2 Ш |
|
|
|
|
|
|
Jo fan) {if, - |
Ві») |
|
|
|
||
|
/? — радиус цилиндра; |
|
|
|
|
|
||
|
/о(р?і) — функция Бесселя |
первого |
рода, |
нулевого порядка от |
||||
|
аргумента |
и„, который может |
быть найден из ха |
|||||
|
рактеристического уравнения: |
|
|
|||||
|
|
Jо fan) _ |
J}n_ |
|
|
|
|
|
|
|
Jl |
fan) |
Ві |
|
|
|
|
где |
Л (.iin) — функция |
Бесселя |
первого |
рода, первого |
порядка |
|||
от |
аргумента ц„. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения |
теплопроводности |
для типовых |
участков |
||||
II |
и I I I . Эти типовые участки |
/ / |
и III |
характеризуют |
постоян |
|||
ной температурой среды и неравномерным начальным |
распреде |
|||||||
лением температуры по сечению |
заготовки. Д л я простоты реше |
|||||||
ния примем, что распределение температуры заготовки в началь ный момент происходит по закону параболы 2-го порядка. Такое допущение не вносит существенных погрешностей в расчеты. При проведении точных температурных расчетов следует учиты
вать, |
что показатель |
параболы в зависимости от значения |
кри |
терия |
Ві составляет |
2,0—1,6 дл я неограниченной пластины н |
|
2,0—1,3 д л я неограниченного цилиндра [39] . |
|
||
Типовые участки |
/ / и / / / характеризуются следующими |
урав |
|
нениями: |
|
|
|
теплопроводности |
для неограниченной пластины |
|
|
|
|
* = « 4 т : |
(8 9 > |
|
|
дт |
|
граничного условия
начального условия
где |
х |
— текущая |
толщина |
пластины; |
|
|
|
L |
— толщина |
пластины |
при ее нагреве |
(охлаждении) с од |
|
|
|
ной стороны и половина толщины |
пластины при ее на |
|||
|
|
греве (охлаждении) |
с двух сторон. |
|||
|
Р е ш а е м систему уравнений |
(89) — (91) *: |
|
|||
* Решение выполнено автором данной книги совместно с Г. А. Федченко.
|
|
|
1 — |
0' |
|
|
|
А„ cos |
ц„ —- exp (— ^ |
F o ) . |
(92) |
|||||||
|
|
|
|
|
Bi |
|
|
к, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
температуры |
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 - 0 ' |
|
— |
|
|
^ „ c o s ^ e x p ( — |
u^Fo); |
(93) |
||||||
|
|
|
л=1 |
|
|
|
Bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для температуры |
центра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6ц |
= |
|
1—1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
Л„ exp (— |
n„Fo), |
(94) |
||||
|
|
|
|
Bi |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
6' |
= |
2-Ї!ОЦ " |
— симплекс |
относительной |
начальной |
тем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
пературы |
заготовки |
и среды; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
* 0 |
и |
И /ом — температуры |
центра |
и поверхности" заго |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
товки в начальный момент времени. |
|
|||||||||||
|
Остальные |
|
обозначения |
аналогичны |
обозначениям |
в форму |
||||||||||||
ле |
(80). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
в |
формуле |
(92) |
|
принять |
/О ц=*оп, т. е. учесть |
начальное |
||||||||||
условие |
(79), |
то 8' = 0, а |
формула |
(92) |
перейдет |
в решение |
(80). |
|||||||||||
|
Н и ж е приведена |
система |
уравнений |
для |
неограниченного |
ци |
||||||||||||
линдра |
применительно |
к |
типовым |
участкам / / |
и / / / |
нагрева и |
||||||||||||
о х л а ж д е н и я : |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндри |
|||||||||||||||||
ческой системе |
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
J L e |
e |
/ * . + _ L . _ * . V |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
дх |
|
\ |
дг* |
|
г |
|
дг J |
|
|
|
|
||
|
граничное |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(95) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальное |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
' U o = |
' |
u - ( - |
^ ) 2 ( / u - y . |
|
|
|
(96) |
||||||
|
Решение этой системы |
уравнений |
имеет |
вид |
[ 2 7 ] : |
|
|
|||||||||||
|
8 = |
|
|
1—0' |
Bi |
|
|
ЛЛ У0 |
( V n - ^ ) e x p ( - u . * F o ) . |
(97) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я температуры |
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 - в ' |
|
—• |
ц 2 |
|
^ ^ a O e x p ( - H - n F o ) . |
(98) |
|||||||
|
|
|
я = 1 |
L |
|
ВІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||