Файл: Золотухин Н.М. Нагрев и охлаждение металла.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.06.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Это уравнение дает распределение температуры во всех точ­ ках тела, когда она не изменяется во времени. Такому темпера­ турному полю соответствует, например, распределение темпера­

туры в стенках нагревательной печи при достаточно

продолжи­

тельной ее работе, когда разогрев стенок от теплоты

продуктов

горения

компенсируется

теплоотдачей в

о к р у ж а ю щ е е

простран­

ство. Поскольку в этой книге описывается технологический

на­

грев и

охлаждение

при

обработке

давлением, т. е.

речь

идет

о температурных полях,

изменяющихся

во

времени, то

более

простые

вопросы

стационарного

теплового

поля

рассматри ­

ваться не будут.

 

 

 

 

 

 

 

 

Температурное поле, описываемое уравнениями (37) и (38),

является трехмерным или пространственным

(объемным)

полем,

в котором температура зависит от трех координат точек тела.

Часто трехмерные

температурные поля с

целью

упрощения

з а д а ч и теплопередачи

приводятся

 

к

двухмерному

(плоскому)

температурному полю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = f(x,

у,

т),

 

 

 

 

 

(39)

в котором температура зависит от

двух координат и

времени.

Это упрощение допустимо в двух

случаях: когда третий

размер

тела пренебрежимо мал по сравнению с д в у м я остальными

(на­

пример, тело в виде л и с т а ) ,

т. е. когда

допускают

2 = 0

и

когда

температурное поле по одной координате тела изменяется

так

•незначительно, что этим

изменением

можно

пренебречь,

т. е.

допускают, что — = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иногда

уравнения

(38)

и (39)

 

приводят

к уравнениям,

опи­

с ы в а ю щ и м

одномерное

(линейное)

температурное

поле

 

 

 

 

 

 

t

= f(x,

т),

 

 

 

 

 

(40)

в котором температура зависит только от одной координаты и

времени. Это допустимо

в случае, если

z = 0

и у = 0

(например,

если тело принять за тонкий длинный пруток)

или

если

изме­

нениями температуры в

направлении двух

других

координат

точки тела можно

пренебречь и принять,

что —

= 0

и -Ш— = 0.

 

 

 

 

dz

 

ду

 

Температурное

поле

характеризуется

т а к ж е

наличием

изо­

термических поверхностей. Они получаются

при

соединении

всех точек тела, имеющих одну и ту ж е температуру,

некоторой

поверхностью.

 

 

 

 

 

 

 

Изотермические

поверхности внутри

рассматриваемого

тела

непрерывны и не пересекаются между собой, т а к как любому, •бесконечно малому отрезку нормали к изотермической поверх­ ности соответствует бесконечно малое изменение температуры . При этом в направлении нормали к изотермической поверхности наблюдается наибольший перепад температуры. К а к известно, возрастание температуры в направлении нормали к изотермиче-

скоп поверхности характеризуется градиентом температуры, имеющим векторный характер:

 

 

grad* = i i — ,

(41)

где

 

Гі — единичный вектор, направленный по нормали в сто­

 

dt

рону возрастания температуры;

 

 

— производная температуры по направлению

нормали

 

 

 

 

к изотермической поверхности.

 

 

Закон теплопроводности Фурье. Наиболее общий закон теп­

лопроводности заключается в том, что необходимым

условием

появления теплового потока является наличие градиента темпе ­

ратуры.

Передача

теплоты теплопроводностью

происходит

по

нормали

к изотермическим поверхностям при наличии

градиен­

та

температуры .

Количество

теплоты, переданное в

единицу

времени

через единицу площади

изотермической

поверхности,

называется удельным тепловым

потоком:

 

 

 

 

 

 

 

 

q^-n^f-.-L,

 

 

 

 

(42)

me

q — в е к т о р

удельного теплового потока, к к а л / ( м 2 - ч ) ;

 

 

Q — т е п л о в о й

поток, ккал;

 

 

 

 

 

 

S

— площадь изотермической поверхности, м 2 .

 

 

 

З н а к

минус перед

единичным

вектором її указывает на

то,

что передача теплоты

идет по нормали к изотермической

поверх­

ности в направлении уменьшения температуры, т. е. вектор теп­

лового

потока противоположен вектору температурного

гра­

диента.

 

 

По

предложению Фурье удельный тепловой поток

выра ­

ж а е т с я зависимостью

 

 

q = - h i ^ - ,

 

 

 

(43)

 

an

 

 

 

 

т. е. прямо пропорционален величине

градиента

температуры .

Коэффициентом

пропорциональности

является

величина

X,

к к а л / ( м - ч - г р а д ) ,

которая получила название

коэффициента

теп­

лопроводности Фурье. Численно коэффициент

теплопроводности

равен количеству теплоты, перешедшему на единицу длины в единицу времени через изотермическую поверхность, при пере­ паде температуры на единице длины нормали, равной одному градусу.

Коэффициент теплопроводности является теплофизической характеристикой тела и указывает на его способность к переда­ че теплоты теплопроводностью. Чем больше коэффициент тепло­

проводности, тем

быстрее передается

теплота

от одной

части

тела к другой и наоборот. Численное

значение

коэффициента

теплопроводности

для одного и того

ж е тела не является

кон-

стантой,

а зависит от температуры тела, его структуры

и в л а ж ­

ности. В

этом заключается одна из трудностей расчетов темпе­

ратурных

полей, та к ка к повышение точности расчетов

требует

введения дополнительной функциональной зависимости коэффи­

циента

теплопроводности

от

перечисленных

факторов .

 

 

Формула (43) является математическим выражением закона

теплопроводности

Фурье.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

у р а в н е н и е

т е п л о п р о в о д ­

н о с т и

Ф у р ь е

в

наиболее

общем виде описывает распреде­

ление температуры

в пространстве и времени

и является

основой

для всех расчетов температурных полей.

 

 

 

 

 

 

Выделим элементарный объем

dxdydz

в однородном

и изо­

тропном теле. Через грань элементарного объема

dy dz

проходит

теплота в количестве qxdydz.

 

При

нестационарном

тепловом

потоке

элементарный

объем

будет

 

нагреваться

(или

о х л а ж ­

д а т ь с я ) . Поэтому

по закону

сохранения энергии

количество

теплоты, проходящее

через

грань

dy dz,

будет

меньше

(боль­

ше) на величину

теплоты, аккумулированной

в

 

элементарном

объеме. Составим

уравнение

теплового

баланса

по оси Ох:

 

qKdydz

— qK.--dK dydz

=

су ^-

dx dy dz,

 

 

 

(44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от

 

 

 

 

 

 

где с — у д е л ь н а я

теплоемкость тела,

к к а л / ( к г - ° С ) ;

 

 

 

у •—плотность

тела, кг/м 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р а с к л а д ы в а я

функцию qx+dx в ряд Тейлора и ограничиваясь

двумя

членами

ряда

(первой

степенью

бесконечно

малой

величины dx),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чх+dx = Чх +

^Г

d x

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

П о д с т а в л я я

этот ря д в уравнение

(44), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

-

E ^

. =

cyJL_

 

 

 

 

 

 

 

(45)

 

 

 

 

 

 

дх

 

Г

д-

 

 

 

 

 

 

V '

Перепишем закон теплопроводности [зависимость (43)] в •скалярном виде, опустив знак минус, продифференцируем по х и подставим вместо левой части равенства (45):

X — — > JUL

или

dt

дЧ

, . г .

= а

,

(46)

дх

дх*

v 1

X

где а= коэффициент температуропроводности, м2 /ч.

су

Выражение (46) является дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье дл я одномерного температурного П О Л Я .

Если рассмотреть

тепловые

потоки

в

направлении х

и

у,

то

формула (46)

примет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d<7v

 

dqv

\

 

dt

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JL =

a

(

*

L +

»

L

\

 

 

(47)

 

 

 

 

 

дт

 

\

дх*

 

dif-

J

 

 

V

!

 

Получили

дифференциальное

уравнение

теплопроводности

Фурье для двухмерного температурного поля.

 

 

 

 

 

Аналогично

для

тепловых

потоков

в

трех

направлениях

 

 

 

 

 

от

 

\

дх*

c)i/2

^

dz°~

J

 

У

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (48) является дифференциальным уравнением теп­

лопроводности

 

Фурье

для

трехмерного

температурного

поля.

 

Это уравнение часто записывается

 

в таком

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~от

 

=

av2t,

 

 

 

'

 

(49)

 

 

 

дЧ .

дЧ

,

дЧ

 

 

 

„

 

 

 

где

V " ' =

 

a.v-2

 

dif-

 

дг*

оператор Л а п л а с а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

1

 

 

 

 

 

При выводе

дифференциального

уравнения теплопроводно­

сти Фурье были приняты за

основу самые общие законы физи­

ки:

сохранения

энергии

и

теплопроводности

Фурье.

Поэтому

оно не связано никакими ограничивающими конкретными усло­

виями теплообмена

и является

основным

уравнением

матема ­

тической физики

для

расчетов

различных

условий теплопереда­

чи в

телах. Так, если внутри

нагреваемого

(охлаждаемого)

тела

имеется дополнительный самостоятельный

источник тепло ­

ты с

удельной

мощностью со,

к к а л / ( м 3 • ч), то

для

описания

процесса теплопередачи к дифференциальному уравнению при­

бавляется дополнительный

член

 

 

 

 

dt

/

дЧ ,

дЧ

. дЧ

\

. со

,

со

от

\

дхг

dif

дг2

J

су

 

су

Конкретные

условия

нагрева

и

охлаждения

тел

при расче ­

тах теплопередачи уточняются уравнениями начальных и гра­

ничных

условий

теплопередачи, т.

е. дополнительными уравне­

ниями,

о т р а ж а ю щ и м и конкретные

условия теплопередачи тела

и образующими

с дифференциальным уравнением теплопровод­

ности систему уравнений, п о д л е ж а щ у ю решению.

5. СУММАРНАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

Выше были рассмотрены три способа теплообмена: излуче­ ние, конвекция и теплопроводность. В реальных процессах на­ грева и охлаждения теплопередача происходит одновременна

всеми тремя способами. Поэтому принято рассматривать слож­ ную или суммарную теплопередачу. Например, при нагреве металла в печи суммарная теплопередача может быть представ­ лена как результат совместной теплопередачи излучением и кон­ векцией:

 

 

 

<7 = асУ м('с — ' м ) .

 

(50)

где

q— суммарный

удельный

тепловой поток,

к к а л / ( м 3 -

ч);

 

сссум — суммарный

коэффициент

теплоотдачи

излучением

и

 

 

конвекцией,

к к а л / ( м 2

• ч • °С);

 

 

 

 

гс

— т е м п е р а т у р а

среды (печные, газы,

воздух), °С;

 

 

г м

— температура

поверхности

металла,

°С.

 

 

 

При этом считают, что суммарный коэффициент теплопере­

дачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а с у м =

а л +

«к-

 

 

 

 

Введение понятия

суммарного

коэффициента

теплоотдачи

значительно облегчает расчеты нагрева и охлаждения тел и ши­

роко используется многими

исследователями

[15,

33, 53,

83].

Д л я

расчета

коэффициента

теплопередачи

излучением

мож­

но использовать

формулу

(10), заменив в ней

єп р фпрСГо на

при­

веденный коэффициент

излучения Сщ,:

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

(51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и р а в н и в а я

формулы

(51)

и

(50), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

Г—У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ті

 

 

 

 

 

 

 

а с у м

 

 

 

 

 

\ ю о /

 

 

(52)

 

 

 

 

 

 

h — t2

 

 

 

Д л я

высокотемпературных

 

нагревательных

печей

(например,

кузнечных) суммарный

коэффициент

теплопередачи

записывают

в виде формулы теплообмена

излучением:

 

 

 

 

 

 

 

т

 

-

(

т

 

 

<и>

ГДЄ Ссум

суммарный

приведенный

коэффициент

излучения,

 

к к а л / ( м 2 - ч - К 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с сум ^

с пр

~Ь

a i c

 

 

 

Суммарный

коэффициент

излучения с с у м , учитывающий

теп­

лоотдачу конвекцией, рассчитывают в этом случае из сопостав­

ления конвективной формулы

q = aK(tl—12)

и формулы (53):

_

<*к(к — h)

(54)

-гум

 

С 100

 

 

 

100

 

Смотрите также файлы