Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf

мам нулевого, первого, второго и высшего порядков. Многие сис­ темы имеют так называемые обратные связи.

Рассмотрим простейшую физическую систему, постепенно на­ кладывая дополнительные связи между ее элементами, а зна­ чит, увеличивая порядок уравнения, описывающего процессы уппавления.

. 1.2.1. Система нулевого порядка

Предположим, что пружина 2, имеющая жесткость S, подве­ шена к потолку комнаты (рнс. 1.3). Наблюдатель, находящийся в комнате, может менять натяжение пружины, прикладывая к ней усилие Р. К пружине прикреплена стрелка 3, с помощью ко­

моменты времени будут различными в зависимости от величины силы, приложенной к пружине, т. е.

Из механики известно, что приложенная сила в любой момент времени должна быть равна и противоположно (направлена силе противодействия, возникающей в системе в результате ее движе­ ния. В нашем случае силе P противодействует сила Рп, возника­

Тогда искомая связь между Р и у будет иметь вид:

у= Р|1/5|.

Впоследнем выражении коэффициент 11/51 взят по абсо­ лютной величине, так как нас интересует принципиальный харак­

10

и только изменяет его по отноше­

нию к первоначальному в масштабе k. Таким образом, графики на рис. 1.4 показывают переходный процесс в системе, т. е. из­ менение выходного сигнала во времени при действии некоторого входного.

Связь между входным и выходным воздействиями определя­ ется уравнением прямой [выражение (1.3)], исходящей из начала координат, наклон которой (tgi|) = /j), а значит, и коэффициент усиления (ослабления) зависит от жесткости пружины. На рис. 1.5 показана эта зависимость, называемая характеристикой пру-

ми в системе нулевого порядка

жины. С помощью ее в любой момент времени, зная Pi можно однозначно определить yi.

Схематично рассматриваемая система нулевого порядка пред­ ставлена на рис. 1.6. К системам нулевого порядка можно отне­ сти такие системы, в которых переходные процессы быстротечны и можно пренебречь инерционными свойствами элементов систе­ мы (массой, трением и т. п.). Например, можно считать такой

11

системой редуктор, если не учитывать массы шестерен, зазоры между зубьями, трение в подшипниках; систему рычагов, приме­ няемых в топливо-регулнрующей аппаратуре ВРД, если прене­ бречь трением в опорах и массой их плеч.

В общем случае для любой системы нулевого порядка урав­ нение, связывающее выходное л'вых и входное л'вх воздействия, имеет вид:

где kB— коэффициент усиления системы пулевого порядка.

1.2.2.Система первого порядка

Всистеме, приведенной на рис. 1.2, будем считать, что между кулисой и стенками имеется вязкое трение, которое, так же как

ипружина, будет противодействовать приложенной силе Р. Тог­ да сила трения Р тр будет пропорциональна скорости перемеще­ ния кулисы относительно стенок, т. е. первой производной пере­

где 1] — коэффициент вязкого трения.

Уравнение (1.5) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решением такого уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравне­ ния (уравнение без правой части) и частного решения неодно­ родного уравнения (с заданием начальных условий).

Считаем, что входное воздействие рассматриваемой системы мгновенное, скачкообразное и единичное, т. е.

Ввиду наличия трения система уже не может мгновенно отре­ агировать на входное воздействие. Переходный процесс в систе­ ме будет описываться некоторой кривой, построить которую можно по решению исходного уравнения. Делим обе части урав­ нения (1.5) на S и обозначаем y\/S •через Т, a |1/S| через /г. Тогда имеем

* По аналогии с механикой, движение тел в которой описывается уравне­ ниями того же вида, что и уравнения переходных процессов в системах, тер­ мин «уравнение движения» получил распространение и в теории автоматиче­ ского регулирования.

12

Величина Т называется п о с т о я н н о й в р е м е н и системы; в дальнейшем будет показано, что она всегда положительна и имеет размерность времени.

Коэффициент k , как и ранее, назовем коэффициентом усиле­ ния (ослабления) системы.

Учитывая единичный характер изменения входного воздейст­ вия [см. условие (1.6)], имеем:

у + Т ^ - = k .

1 dt

Решим это уравнение:

а) общее решение однородного уравнения у-\-Т— = 0 будет: dt

Окончательно

( 1. 8 )

где с1 — постоянная интегрирования; е — основание натураль­ ного логарифма;

б) частное решение однородного уравнения получается при подстановке в выражение (1.7) начального условия: при ^=0,

Р = 1; ТОГДа £/част.неодп = ^!

в) общее решение неоднородного уравнения

проведенной к любой точке кривой переходного процесса, на ли­ нию нового установившегося значения выходного сигнала.

Докажем, что эта проекция (подкасателыная) ВС (см. рис. 1.8) равна постоянной времени Т. Действительно:

13