Файл: Аристов О.В. Основы стандартизации и контроль качества в радиоэлектронике учеб. пособие.pdf

§ 22. Вероятность события

Перейдем теперь к понятиям «частость события» и «вероят­ ность события».

Если, например, провели испытание 100 устройств на работо­ способность и при этом установили, что при нз «их неисправны, то

3

частость неисправных устройств определяется как oTiioineiriie-jQQ=

= 0,03. В общем случае под частостью некоторого события W по­ нимают отношение числа его появления М к числу всех произведен­ ных испытаний, в каждом из которых это событие одинаково воз­ можно N, т. е.

= - Л -

с увеличением числа испытаний эти отклонения уменьшаютсяСле­ довательно, может считать, что для любого случайного события А всегда можно указать такое число Р и что при достаточно боль­ шом числе испытаний, происходящих при одинаковом комплек­ се условий, частость событий оказывается приблизительно равной этому постоянному числу.

Таким постоянным значением является количественная мера степени объективной возможности появления событий при одном

ляется отношением числа благоприятствующих событию А случаев к общему числу всех возможных случаев:

Пусть В — событие, состоящее в том, что два одновременно выбранных из­ делия бракованные. Определим для указанных условий вероятность появления

132

события В. Как известно из алгебры, общее число таких случаев определяется числом сочетаний из 5000 по 2, т. е.

тически определить вероятности простых событий. Для проведения таких расчетов необходимо знать основные теоремы теории вероят­ ностей: теорему сложения вероятностей и теорему умножения веро­ ятностей.

Согласно теореме сложения вероятностей вероятность суммы

которые благоприятствуют одновременно событиям А и В. Следо­ вательно, событию Л +Д благоприятствуют m + k случаев:

Р{А+ В ) = ^ = -ZL + ± = Р ( А ) + Р ( В ) .

133

Математически эту теорему можно выразить следующим образом:

Р( Ü А-) = 2 Р{А,). i=i i=i

Пример. Пусть в партии, состоящей из 100 транзисторов, 9 не соответствуют стандарту только по коэффициенту усиления, 8 — только по верхней граничной частоте, а 7 — только по величине теплового тока.

Определим вероятность того, что любой на выбор транзистор будет нестан­ дартным.

Обозначим событие А — взятый наугад транзистор нестандартный, события Л], .42 и 71з — взятый наугад транзистор нестандартный, соответственно, по ко­

Согласно формуле (2) имеем

РІА) = РІА, + Л2+ А3) = РІА,) + Я(Л2)+ Р(Л )

и окончательно

РІА) = 0,09+ 0,08 -Ь0,07 = 0,24.

Для того чтобы перейти к теореме умножения, необходимо дать определение зависимым событиям.

Событие А называется н е з а в и с и м ы м, если его вероятность

Первый случай. Пусть проверенный прибор возвращается в партию. В этом случае события 71 и В независимы и

Р ( А ) = Р ( В ) = 0,2.

Второй случай. Проверенный прибор не возвращается в партию. В этом слу­ чае вероятность события А зависит от исхода события В. Так, если первый про­ веренный прибор был исправен, то

Я(Л )-0 ,2 2 ,

аесли он был неисправен, то вероятность того, что второй испытываемый при­ бор будет дефектным приблизительно равна 0,Ы. Вероятность события А при

условии состоявшегося события В называется условно вероятностью события В п обозначается

Р( А / В ).

Вданном примере, для первого случая

Р ( Л ) = Р ( А / В ) = 0,2

и для второго случая

Я( Л )= 0,2, Р ( А І В ) ъ 0,11.

Таким образом, если А и В независимы, то

Р ( А ) = Р ( А / В ) .

Согласно теореме умножения вероятностей вероятность произ' ведения двух событий равна произведению вероятности первого со­

134

бытия на вероятность второго, вычисленную при условии состояв­ шегося первого события:

Р(АВ)=Р(А)-Р(В/А). (13)

Докажем это. Пусть событию А благоприятно а случаев из п возможных, а событию В — в случаев. Так как условие несов­ местности в теореме отсутствует, то возможны случаи, благоприят­ ствующие событиям А и В одновременно. Допустим, имеем с та­ ких случаев. Тогда:

Р{АВ)=±-, Р ( А)=± - .

Считая, что событие А произошло, из ранее возможных вари­ антов остаются только те а, которые благоприятствуют этому со­ бытию. Из них с случаев благоприятны событию В. Тогда услов­ ная вероятность события В, три условии, что событие А произошло

Р(АВ)=Р{А)-Р(В).

Вероятность произведения 'независимых событий в общем случае определяется выражением

Вернемся к последнему примеру. Определим вероятность того, что два после­ довательно испытанных прибора будут неисправны. Обозначим события: А — появление двух дефектных приборов при последовательных испытаниях; /1( — появление дефектного прибора при первом испытании; Л2 — появление дефект­

тий, одним из которых может быть событие А. В этом случае со­ бытия Н1, # 2, . • • , Нц называются гипотезами. Тогда вероят­

135

ность события А определяется суммой произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой же гипоте­ зе, т. е.

в е р о я т н о с т и . Приведем доказательство правомерности данной формулы. Согласно условию, вероятности Я,, Я2 . . . , Нп состав­

товления дефектных диодов составляет 0,01, на втором — 0,02 п на третьем —

Нередко требуется определить условную вероятность гипотезы, используя известные вероятности гипотез, условные вероятности

136