Файл: Аристов О.В. Основы стандартизации и контроль качества в радиоэлектронике учеб. пособие.pdf

событий при данных гипотезах, а также вероятности событий. В этих случаях используют формулу Байеса пли так называемую тео­ рему гипотез. В общем виде она выражается формулой

где 1, 2, 3, . . . п .

Необходимо отметить, что данная формула справедлива, если Н и . .. , Н п составляют полную группу несовместных гипотез.

Пример. Соревнуются два стрелка. Стрелок, попавший первым в мишень, признается победителем. Первый стрелок попадает в мишень девять раз из де­ сяти, а воторой — семь раз из 10. В то же время второй стрелок стреляет быст­ рее — за то время, за которое первый стрелок сделает 80 выстрелов, второй— 120 выстрелов. Требуется определить, победа какого стрелка более вероятна.

Согласно условию, из каждых 200 выстрелов первый делает 80, а второй— 120. Очевидно, вероятность того, что любой взятый наугад выстрел сделан первым стрелком (верояность гипотезы) равна

80

а вторым

Я(Яа) = 200120 = 0,6.

Вероятность попадания первого и второго стрелков при данных гипотезах со­ гласно условию соответственно равна:

Р { А / И ,) = 0,9; Р ( А / Н п ) = 0,7.

Здесь событие А есть поражение мишени. Согласно формуле полной вероятности (5), получаем

Я(.4) = 0,4-0,9+0,6-0,7 = 0,78,

т. е вероятность того, что любой взятый наугад выстрел будет удачным, равна

0,78.

По формуле Байеса (16) определим вероятность того, что первый удачный выстрел сделает первый стрелок

Аналогично можно определить, что первое попадание явится следствием выст­ рела, произведенного вторым стрелком

Очевидно, что победа второго стрелка при заданных условиях более вероятна. Последнее вычисление не является необходимым, так как события и H*JA составляют полную группу и являются несовместными:

P ( H J A ) + P ( H 2I A) = 1.

Ответ может быть получен путем нахождения только

Р ( H J A ) .

137

§ 24Дискретные случайные величины

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Д и с к р е т и ы м и с л у ч а й и ы м и в е л и ч и и а м и называют такие случайные величины, которые могут принимать значения, от­ деленные друг от друга конечными промежутками. Причем, их чис­ ло можно заранее перечислить: случайное количество деталей в партии, случайное число отказов устройства в единицу времени, случайное число часов непрерывной исправной работы изделия —

Соотношение, устанавливающее связь между возможными зна­ чениями Х и Х2, . ■., X „ случайной величины X и их вероятностя­ ми Р и Р2, . . ., Рп называется законом распределения случайной величины. Очевидно, чтобы полностью описать пли задать случай­ ную величину, .необходимо определить ее закон распределения. Последний может быть представлен ;как в аналитической, так и в графической форме.

Аналитический закон распределения задается в следующем виде:

Р(Хі) = Ф (^),

т. е. вероятность возможных значений случайной величины выра­ жается в виде определенной функции этих значений. Примером та­ кого выражения может служить формула для вычисления вероят­ ности появления события т раз при п испытаниях

1 Выборкой (выборочной совокупностью) называют часть единиц гене­ ральной совокупности, т. е. совокупности, над которой производят наблюдение.

138

ным, составляет Я = 0,1 и наоборот вероятность того, что он не будет дефектным, составляет q= \ —р = 0,9.

Очевидно, ів выборке из четырех изделий возможны пять слу­

Используя формулу (7), последовательно получаем значения иско­ мого •распределения:

Рол = С" • 0,10 • 0,94-° = 0,6561;

Ріа = С] -0,11-0,94- 1=0,2916; р.2Л= С*• 0,12 ■0,9,|_2= 0,0486; РЪА= С\ - 0,13 • 0,94- 3= 0,0036;

Р,,, = С- 0,11-0,94- 4 = 0,0001.

Нетрудно видеть, что

2Рт,п= 1 .

п: ~ 0

Полученное распределение можно свести в так называемую таб­ лицу распределения (та'бл. 11).

распределения.

Многоугольник распределения строится в прямоугольных коор­ динатах: по оси абсцисс откладываются возможные значения слу­ чайной величины X, а по оси ординат — соответствующие им веро­

ятности (рис. 20).

Иногда удобнее пользоваться другой характеристикой распре­ деления вероятностей случайной величины, называемой функцией распределения случайной величины X, которую строят, суммируя все значения вероятностей, находящихся слева от данного значе­ ния случайной величины. Функция распределения приведена на

рис. 21.

139

Очевидно, в общем случае для дискретной случайной величины функция распределения представляет собой разрывную ступен­ чатую функцию, конечное значение которой F(X) = 1.

Рис. 20. Многоугольник распределения

Рис. 21. Функция распределения случайной величины X

Часто на практике определение законов распределений свя­ зано с получением большого количества статистического материа­

ла, проведением многочисленных и громоздких экспериментальных определении п аналитических расчетов. Поэтому в таких случаях чаще всего используются числоівые характеристики случайных ве­ личин, получаемые на основании обработки определенного коли­ чества статистических данных и проверяют на согласие их с опре­ деленными теоретическими по гипотезированным законам распре­ деления.

Математическое ожидание М (X) .представляет собой среднее значение случайной величины в генеральной совокупности ее зна­ чений и определяется для дискретной случайной величины выра­ жением

Дисперсия D(X) определяет собой величину рассеивания зна­ чений случайной величины от математического ожидания для дис­ кретной случайной величины

1=1

Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно квадратному корню из дисперсии:

Коэффициентом .вариации V называется отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Как видно из определения, коэффициент вариации показывает относительный разброс значений случайной величины. Для иллю­ страции данных формул определим основные параметры распре­ деления:

М(Х)=0-0,6561 + 1 -0,2916+2-0,0486+3-0,0036+4-0,0001 =0,4;

Д(Х)=0,6561 -(0—0,4)2+ 0,2916(1—0,4)2+ 0 ,0486 X

Х(2-0 ,4 )2+ 0 ,0036(3-0,4)2+0,0001(4—0,4)2^ 0 ,36;

о(Х) = І Л Щ = 0,6;

Согласно определению математического ожидания можно сде­

лать следующие выводы:

1) математическое ожидание имеет ту же размерность, что

изначения случайной величины;

2)математическое ожидание постоянной величины равно этой

постоянной, т. е. Л1(с) = с;

141