Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Решая эти неравенства относительно т и учитывая, что р + q = 1, получаем для значения т, при котором р п (т) достигает максимума, неравенства

Интервалу [пр — q, пр + р] в общем случае принадлежит только одно целое число, в частном же случае, когда кон­ цы интервала целые числа,— два целых числа. Таким об­ разом, максимум рп (т) достигается в общем случае при одном значении т, а в некотором частном случае при двух последовательных значениях т.

Часто вместо случайной величины га целесообразно рассматривать относительную частоту события А

in

П

Когда п велико, из неравенства (2.10) следует приближен­ ное равенство

т. е. наивероятнейшим значением относительной частоты является вероятность того, что событие произойдет в од­ ном испытании.

Часто также рассматривают случайную величину

которая представляет собой отклонение относительной частоты от наивероятнейшего значения.

З а д а ч а 31. В сфере радиуса г находится п молекул газа. Найти вероятность того, что из них ровно т молекул будут находиться на расстоянии, меньшем р = Кг от цент­ ра этой сферы (т ^ п, X ^ 1).

Р е ш е н и е . Так как отношение объема сферы с ра­ диусом р к объему всей сферы равно К3, то вероятность р того, что какая-то одна молекула окажется на расстоя­

нии, меньшем р, от центра сферы, равна А,3. Следовательно, искомая вероятность

З а д а ч а 32. Найти наивероятнейшее число появле­ ний единиц при бросании игральной кости 3000 раз.

Р е ш е н и е . Так как в этой задаче р — 1/6, п = 3000, то согласно (2.11) наивероятнейшим числом т появлений единицы будет 500. Это не означает, что вероятность появ­ ления 1 при 3000 бросаниях игральной кости велика. При помощи формулы (2.7) легко подсчитать (для этого надо использовать формулу (Стирлинга), что

Рзооо (500) 5S 0,01954,

т. е. эта вероятность мала. Она мала потому, что имеется большое число других возможных частот появления 1 при 3000 бросаниях игральной кости. Но вероятность любого другого количества появления 1 меньше, чем />3000 (500).

§ 15. Гипергеометрическое распределение

Из урны, в которой имеется S шаров, в том числе N белых, случайным образом последовательно извлекается п шаров. Чему равна вероятность того, что среди них ока­ жется ровно т белых шаров. Должны, очевидно, выпол­ няться неравенства N ^ S, п S, т N, т п.

Вероятность достать белый шар при первом извлечении

N

р = — .

Если каждый раз, как извлечен шар, записывать его цвет и возвращать шар в урну, то вероятность события А — получить белый шар при каждом извлечении — будет од­ на и та же, равная р. Эта задача была рассмотрена в § 12 и привела к биномиальному распределению (1.101). Иног­ да ее называют задачей на извлечение с возвращениями.

Предположим теперь, что извлеченные шары не воз­ вращаются в урну. Тогда формула (1.101) неприменима,

так как вероятность события А будет все время меняться

взависимости от того, произошло или не произошло оно

впредыдущем испытании. Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А произойдет т раз в схеме извлечений без возвращений.

Рассмотрим различные последовательности из п из­ влекаемых шаров. Число таких равновозмошных после­

довательностей равно

С П

S*

Число благоприятных событий (когда получено т белых шаров) равно числу сочетаний из N белых шаров по т, умноженному на число сочетаний из S —N не белых ша­ ров по п — т. Таким образом,

/-tin ггп—т

Рп (т) - bNb8-N

СS

(2.13)

Распределение (2.13) называют гипергеометрическим. Как и в биномиальном распределении, найдем значе­

ние т, при котором вероятность достигает максимального значения. Должны выполняться неравенства

Роли S u n велики, то приближенно максимум вероятно­ сти достигается при

§ 16. Распределение Пуассона

Рассмотрим даваемое формулой (1.101)

Ги !

=) ( РтГ - т,

Р + 5 = 1.

биномиальное распределение, определяющее вероятность появления события А т раз при п испытаниях.

Предположим, что число испытаний п очень велико, и пусть

Зафиксируем а и устремим п к бесконечности. Поскольку

рравно а/п, оно будет стремиться к нулю. Заменим в (1.101)

рна aln, a q — на 1 — aIn:

Рп(т)=

Полученное распределение называется распределением Пуассона для случайной величины — числа наступлений события А. Это распределение является точным, если п бесконечно велико (а р соответственно бесконечно мало). Однако оно может быть с успехом использовано и для конечных, но больших п, так как для больших п точность его весьма велика, а вычислять вероятности по формуле Пуассона проще, чем по формуле биномиального распре­ деления, в особенности в тех случаях, когда а невелико, не превосходит нескольких единиц.

Именно в тех случаях, когда а мало, и, кроме того, требуется учитывать вероятности только небольшого чис­ ла первых значений т (для больших значений т вероят­ ности очень малы), распределение Пуассона наиболее упот­ ребительно.