Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

показано, что при помощи операций (1.1) — (1.3), можно ввести в рассмотрение ряд новых событий. Казалось бы, выполняя эти операции многократно, можно ввести в

рассмотрение бесчисленное множество событий. Однако, как показывают, например, равенства (1.4) и (1.8), пов­ торное применение рассмотренных операций может при­ водить к повторению одних и тех же событий.

Совокупность событий называется полем событий, ес­ ли выполнение операций (1.1) — (1.3) над событиями поля приводит снова к событиям, принадлежащим полю.

АВ, АВ, АВ, АВ , АВ + АВ, А в + АВ, U, V.

Любая из операций (1.1) — (1.3), выполненная над собы­ тиями (1.10), снова приводит к одному из событий (1.10). Например,

~АБ = Л + В,

(ЛВ -}- А В) А В = А В = А -(- В ,

(.А + В) (А + В) = АВ + АВ.

§ 3. Полная система событий

Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А делает достоверным событие В, то мы будем говорить, что событие В содержит в себе собы­ тие А, и обозначать это свойство событий так: А а В.

состоящее в появлении 1, делает достоверным событие, состоящее в появлении нечетной цифры, следовательно,

верным А. В приведенном выше примере появление нечетной цифры не делает достоверным появление еди­ ницы.

В частном случае могут быть справедливыми как со­ отношение A CZ В, так и соотношение В d А. В таком случае события А и В называются равносильными, т. е. А = В. Если, например, в урне имеются шары различ­ ных диаметров, то событие А, состоящее в извлечении шара наименьшего радиуса, и событие В, состоящее в извлечении шара наименьшего объема, являются равно­ сильными событиями.

По этой причине все достоверные события (при выпол­ нении данного комплекса условий) являются равносиль­ ными, и мы можем все достоверные события обозначать одной и той же буквой (U). Аналогично равносильны все невозможные события (F).

Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А не делает невозможным появление события В, то события А и В называются совместимыми событиями. В противном случае события называются

несовместимыми.

При извлечении из колоды одной игральной карты события {появление валета} и {появление дамы} яв­ ляются несовместимыми событиями. Но события {появ­

т. е. А обозначает событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий С1, С2, . . ., Ст. Если все

называется полной системой событий, когда известно, что при выполнении комплекса условий одно из событий этой системы должно с достоверностью произойти. Для полной системы Сг, С2, . . ., Ст очевидно равенство

Простейшей полной системой событий является система

А, А.

§ 4. Понятие вероятности случайного события

При выполнении соответствующего комплекса усло­ вий достоверное событие обязательно произойдет, а не­ возможное событие обязательно не произойдет.

Среди тех событий, которые при выполнении комп­ лекса условий могут и произойти и не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основа­ нием, на появление других — с меньшим. Если, напри­ мер, в урне белых шаров больше, чем черных (шары от­ личаются только цветом, и перед извлечением шара урну встряхивают, чтобы шары хорошо перемешались), то рассчитывать при извлечении шара на появление белого шара больше оснований, чем на появление черного. Мы скажем, что вероятность появления белого шара больше вероятности появления черного шара. Таким образом, вероятность события есть величина, определяющая, нас­ колько значительны объективные основания рассчитывать на появление этого события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность события есть объективная величина, существующая независимо от познающего субъекта и определяемая всей совокупностью условий, при которых может произойти событие.

Объяснение, которое мы дали понятию вероятности, не является математическим определением, так как оно не определяет; это понятие количественно.

Исчерпывающей математической формулировки поня­ тия вероятности не существует. Однако важное значение имеют два определения этого понятия, являющиеся част-