Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 152

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

260 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ [ГЛ. 5

вектор X (t) = [Xj (t), Х2(t),

Х 3

(t)]

с взаимно

незави­

симыми компонентами.

 

при заданном обобще­

Р е ш е н и е .

Функция (5.146)

нии имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(ц — xi )2

ф0(At, у — х) = (2nBAt)~3^ е

ОД/ ZJ

R.

. (5.166)

 

i=1

1

Находим по формулам (5.155) и (5.156):

 

 

at (t, х)

= 0, bt (t, х)

= 5 г,

t = 1, 2, 3.

 

Эти результаты можно было и сразу усмотреть по зна­ чению параметров трехмерной нормальной функции

(5.160).

Таким образом, первое и второе уравнения Колмого­ рова совпадают и имеют вид

= 0. (5.161)

Полученное уравнение есть уравнение диффузии в пространстве. Если В 1: В 2 и В 3, называемые коэффициен­ тами диффузии, различны, то диффузия в направлениях хи х2, х 3 происходит с различной скоростью. В изотроп­ ном пространстве Bi = В 2 = В 3 = В.

Уравнение

3

в частности, описывает диффузию (распространение вследствие теплопроводности) тепла в однородном мате­ риале. Коэффициент В есть коэффициент теплопро­ водности.

Функция (5.149) при заданном обобщении запишется так:

Фо(х, А1,у — х) =

. (5.162)

§ 73] УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА — ФЕЛЛЕРА 261

Первое и второе уравнения Колмогорова принимают соответственно вид

Эфо (х; т, у)

,

Z j A ix i

9ф0 (х; т, у)

 

 

 

 

 

^

h

9 ^ -------

 

 

 

 

 

 

4 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ 4 - 2 ^ ^

S . t,y > - 0 .

(5.163)

 

 

 

 

4 = 1

 

 

 

 

 

 

i = l

дУ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4"

dy(

т>у)]=

(5.164)

 

 

 

 

t=i

 

 

 

При равноправности компонентов случайной функции-

вектора коэффициенты A t =

А

и

B t = В,

г = 1 , 2 , . . .

• • •, 77-

 

 

 

 

 

описывают

тогда,

напри­

Уравнения (5.163) и (5.164)

мер, случайную функцию-вектор

скорости

броуновской

частицы в изотропном трехмерном пространстве. Второй член уравнения (5.164) учитывает вязкость, а третий член — диффузию в пространстве скоростей. Соответст­ венно коэффициенты А и В называются коэффициентами трения и диффузии.

§ 73. Уравнения Колмогорова — Феллёра для чисто разрывного марковского процесса

Чисто разрывный случайный процесс был определен как такой процесс, в котором случайная функция, при­ нявшая в момент t значение х, в течение времени At с вероятностью 1 — р (t, х) At + о (At) остается неизмен­ ной и лишь с вероятностью р (t, х) At + о (At) претер­ певает изменение. Вероятность того, что при этом она примет значение, заключенное в промежутке [у, у + dy] обозначим £ (t, х; у) dy. Пусть, как обычно, cp (t, х ; т, у) dy есть вероятность того, что случайная функция, при­ нявшая в момент t значение х, в момент т примет зна­ чение в промежутке [у, у + dy]. Тогда, на основании те­ оремы сложения и умножения вероятностей, справедливо

ш

равенство

с л у ч а й н а я ф у н к ц и я

(ГЛ. 5

Ф (t , х; t + A t, у) dy—[1 — р (t, х) A t - \ - о (А*)] б (у — z)cfr/ - f

+

Ip (t, x) At

+ о (Ai)] £ (t, x; y) dy.

(5.165)

Напишем уравнение

Колмогорова — Чепмена:

 

 

оо

 

 

 

ф (/,я;т, z )=

^

+

А<,у)ф(^ + At,y;x,z)dy

(5.166)

—оо

иподставим в него выражение (5.165). Получим

оо

y(t,x-,x,z) =

$ {[1 — p(t,x)At + o(At)]b(y — z) +

 

— ОО

+ Ip (t, x) At +

о (A*)] £ («, x\ у)} Ф {t + At, y, x, z) dy. (5.167)

Так как

оо

$ Ф (t + At, у, х, z)6{y — x)dy = (? (t +

At, x; x, z),

— oo

 

 

 

 

to (5.167) можно переписать в виде

o(At) 1

 

<р(t + At,x\ х ,z) — cp (i, х\ х, z)

X

At

[p (*.*)■

At

J

X':q>{t+ At,x]X,z)— j p (t, x) +

 

X

 

OO

 

 

 

X

$ £ (t, x\ y)<f{t-\- At, y, x, z) dy.

(5.168)

 

—00

 

 

 

Совершая предельный переход при At -*■ 0, получим

•у—| г~— = р (*.х) 1ф ( * . * ) —

 

 

— § W , x \ y ) y ( t , y , x , z ) d y \ .

(5.169)

 

 

— оо

 

 

Это есть

первое

уравнение

Колмогорова — Феллера.

Напишем

теперь

уравнение

Колмогорова — Чепмена в

виде

 

ОО

 

 

 

 

 

 

( f ( t , x ; x +

A x , z ) d z

= d z § ф(t, х; х, у) ф( х , у; х +

Ат, z ) d y ,

(5.170)

$ 7 3 ]

 

У Р А В Н Е Н И Я К О Л М О Г О Р О В А — Ф Е Л Л Е Р А

263

и подставим в него равенство

 

Ф (т, у\ т +

Ат, z) dz = [1—р (т, у) Дт-f о (Дт)] б (z —у) +

 

 

+ IР (т. у) Ах + о (Дт)] £ (т, у\ z) dz.

(5.171)

Тогда, используя свойство 6-фушщии, получим

 

Ф (t,x\ х +

Дт, z) =

 

=

ф(«, х\ т, z) — ф(t, х; х, z) [р (т, г) Дт + о(Дт)] +

00

 

 

 

+ $

ф(t, х', *, у) [р (т, у) Ах -f-o (Дт)] £ (т, у\ z) dy.

(5.172)

— 00

 

 

 

Перенося ф (t, х\ т, z) в левую часть равенства, деля на Дт и совершая предельный переход при Дт -> 0, получим второе уравнение Колмогорова — Феллера

6ф (t,X,X,z) _ _ р

z) ф х . Т) z)

 

 

ОО

 

 

+

§ Р (t, у) £(т, у, г) ф (£, х; х, у) dy.

(5.173)

 

— ОО

 

 

Уравнения

Колмогорова — Феллера являются

ли­

нейными однородными интегро-дифференциальными урав­ нениями относительно искомой функции ф (t, х\ т, z).

Обозначим L (t, х; z) dtdz вероятность того, ,что слу­ чайная функция, принявшая в момент t значение х, в течение промежутка времени dt претерпит скачок и при­

мет при этом

значение,

заключенное в промежутке

[z, z -f- dz]. Легко видеть,

что

 

L (t, х\

z) dt dz =

р (t, х) £ (t, х ; z) dt dz.

(5.174)

Так как

 

 

 

 

ОО

 

 

 

5 £ (t, x; z) dz = 1

 

 

—o o

 

 

независимо от значений t и x, то

 

 

o o

 

 

 

§ L{t,x\z)dz — p{t,x).

(5.175)

 

— 00

 

 

Следовательно, уравнения Колмогорова — Феллера для чисто разрывного случайного процесса могут быть

264 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ [ГЛ 5

написаны в виде

dcp (t, х\ X, z)

 

ие

 

 

ф (*,z;t, z)

5

L{t ,x\ y)dy —

 

dt

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

— 5 L{t,x;y)q>(t,y,T,z)dy,

(5.176)

 

— СО

 

 

д ф ( t , Х\ Т , 2 )

 

 

со

 

— (p(t,x-,t,z)

§ L(r,z;y)dy +

 

Wt

 

 

 

—о о

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

+ 5

£ ( т. p;z)cp(^;T,p)dp.

(5.177)

Таким образом, для решения уравнений Колмогоро­ ва — Феллера необходимо знать одну функцию L (£, ж; г/).

Примером чисто разрывного марковского процесса можно считать процесс изменения скорости звезды в звездном поле. Скорость звезды изменяется в результате происходящих время от времени сближений со звездами поля. Расстояние между звездами очень велики, проме­ жуток времени, в течение которого происходит сближение и интенсивное взаимодействие, очень мал в сравнении со средним промежутком времени между сближениями. Но за время сближения происходит существенное изменение скорости звезды. Поэтому процесс при некоторой идеа­ лизации можно считать чисто разрывным. Функция L (t, ж; у) для чисто разрывного процесса — изменения скорости звезды в результате двойных сближений со звез­ дами поля — была определена при решении задачи 79.

Смотрите также файлы