Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 135

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

256 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ [ГЛ. 5

Дисперсия, отвечающая

ей,

равна В At\

следовательно,

 

 

00

 

 

 

 

Ъ {х, t) =

lim

4? \(У — Ф р (0, 0; At, у — x)d(y — х) =

 

A t - * 0

О

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

-гг BAt = В ,

 

 

 

 

 

д«-о дг

Легко проверяется условие (5.133).

 

к уравнению

Оба

уравнения Колмогорова сводятся

 

 

дф0(*,у) ,

1 р Эафс(т, у) _

п

(5.147)

где

 

дх

2 D

ду*

U

 

фо (*, у)

= ф (0, 0; т,

у).

(5.148)

 

 

Уравнение (5.147) называют одномерным уравнением диффузии или уравнением теплопроводности. Если при­ нять начальное условие, что в момент t — 0 случайная функция была равна х, т. е. принять граничное условие Фо (0, у) = б (у — х), то решение уравнения (5.147) позволит получить ф0(т, у) dy, вероятность того, что в мо­ мент т случайная функция примет значение в промежутке [у>У + dy]. Физическими примерами такой случайной функции являются координата частицы при одномерном случайном блуждании (например, при одномерном бро­ уновском движении) или координата кванта тепловой энер­ гии в процессе диффузии тепла в одномерном стержне. Так как уравнение (5.147) является линейным однородным, то, написав произвольное число таких уравнений для со­ ответственного числа частиц, совершающих одномерное броуновское движение, или квантов тепловой энергии, диффундирующих в одномерном стержне, и сложив эти уравнения, мы снова получим уравнение вида (5.147). Но в этом уравнении граничные условия будут опреде­ ляться функцией распределения блуждающих частиц на оси движения в начальный момент или, во втором приме­ ре, функцией распределения температуры в одномерном стержне в начальный момент (так как температура в щкале Кельвина в однородном стержне пропорциональна плотности распределения в нем квантов тепловой энер­ гии). Решение уравнения (5.147) даст функцию распре­ деления блуждающих частиц на оси движения в произ-

§ 71] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА 257

вольный момент т, а во втором примере — функцию рас­ пределения температуры в стержне в момент т.

В процессе одномерного броуновского движения (при отсутствии силового поля) и процессе диффузии тепла ве­ роятность того, что частица сместится на величину у — х, не зависит от занимаемого ею положения х; вероятности положительных смещений равны вероятностям отрица­ тельных смещений при одинаковых модулях смещений, и

при At

0

величина АХ (t) —>0. Поэтому

эти

случай­

ные процессы задаются функцией (5.146).

 

у),

опреде­

З а д а ч а

84.

Функция ф ( i t , х; t + At,

ляющая случайный процесс при At -> 0, есть

 

 

Ф (t, х; t +

At, у) =

1

Г (У -х )+ А зсА < ]г

%(х; At, у) = у 2яв"дГ е~

 

2ВА(

 

 

 

 

 

 

 

(5.149)

Написать уравнение Колмогорова.

 

 

 

Р е ш е н и е .

Так как функция ф зависит только от

разности аргументов (а не от самих аргументов), то про­ цесс стационарный. Математическое ожидание АХ (t) равно — Ах At, а дисперсия равна В At. Следовательно,

а (t, х) = lim (— AxAt) = — Ах ,

At —►0

Ъ(t, х) = lim -£t ВAt = В .

At - » 0

Проверка показывает, что выполняется условие

(5.133).

Первое уравнение Колмогорова принимает вид

дуп{х\ х, у)

!

Э ф 0( х ; т , у)

1 п

Э2ф 0( х ;

т , у) _= 0.

(5.150)

дт

+ Ах

 

"2 В

 

д&

 

 

При этом учтено, что

-5- =

---- .

 

 

 

Второе

 

уравнение

Оь

 

ОТ

 

приобретает

такой

 

Колмогорова

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Эср ( х ; т , 1/)

[УЧ>(х; т, у)]

—

1 „ Э2ф (х ; т , у)

= 0 .

Эт

 

2

ду*

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.151)

258

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

1ГЛ. 5

Физическим примером случайной функции, удовлет­ воряющей уравнению (5.131), является скорость частицы в одномерном броуновском движении. Вероятность дан­ ного изменения скорости в этом процессе зависит от ве­ личины самой скорости. Чем больше скорость, тем, вслед­ ствие вязкости среды, в которой движется броуновская частица, более вероятны приращения скорости противо­ положного знака. Это показывает и функция (5.146). Второй член уравнения (5.131) учитывает изменение слу­ чайной функции — скорости броуновской частицы вслед­ ствие вязкости среды. Третий член, как и аналогичный член в уравнении (5.142), учитывает диффузию, но теперь это диффузия в одномерном пространстве скоростей.

§ 72. Обобщение для случайной функции-вектора

Если

случайная функция аргумента t есть вектор

X (t) =

[Хх (t), Х 2 (t), . . . , Х п (t)], составляющими ко­

торого являются случайные функции-скаляры, то процесс называется стохастически непрерывным, если выполняется

условие: для любого е

О

 

P{|X (* +

А*) — Х (*)|> в} -* -0 .

(5.152)

Величина

A t — о

 

 

 

<р (t,

х; т, z) dz

(5.153)

есть вероятность того, что случайная функция-вектор, имевшая в момент t значение х, в момент т примет значе­ ние внутри [z, z -f- dz], т. е. окажется внутри п-мерного

параллелепипеда [zx,

zx -f- dzj х

[z2, z2-f- dz2] x ...

... X [zn, zn -{- dzn].

 

 

Если процесс является марковским, то справедливо

уравнение

 

 

Ф (t, х; т, ъ) = ^ ф(*, х; t -f

At, у) ф {t +

At, у, т, z) dy , (5.154)

получаемое совершенно так же, как и для одномерной слу­ чайной функции. Интегрирование в (5.154) выполняется по всему n-мерному пространству компонентов ух, у2, . .., уп.

Уравнения Колмогорова выводятся тем же методом, что и для одномерной случайной функции. Необходимо

§ 72] ОБОБЩЕНИЕ Д ЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ-ВЕКТОРА 259

лишь учесть, что формула Тэйлора, применявшаяся к выражению в квадратных скобках в (5.129), теперь долж­ на применяться к функции от вектора или, что то же, к функции от п переменных хи х2,. . . , хп.

Поэтому нужно ввести обозначения

д,т 0"^Г J (yi ~

Ф (*’х>г +■ ^ >У) dy =

а»(г>х) '

(5.155)

lim 4т \ (г/i — *i)2(P {t, х; t + At, у) dy =

bi(t, х) ,

(5.156)

д/-ю

 

9

 

i = 1,2, . . . ,n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

[ (Vi — x{) (Vj — Xj) cp (t, x; t + At, y) dy =

 

 

At->0

 

J

 

 

= c«(*,x).

(5.157)

 

 

 

 

 

Выражения, содержащие члены третьего порядка ма­

лости

в

формуле Тэйлора, по-прежнему обращаются

в

нуль,

когда At

0.

Если все приращения X t (t -j- At)

—

—Xi(t),

i = 1 , . . .,

n, взаимно независимы, то все

=

= 0. Если все компоненты равноправны, n-мерное про­ странство изотропно относительно распределений случай­

ной функции-вектора,

то все at (t, х) =

a (t, х);

bt (f, х) =

= Ъ (t, х); i = 1,2,. . . ,

п. Первое уравнение

Колмого­

рова приобретает вид

 

 

 

 

 

б ф (М ;т ^ + а ( ^ х) 2

^

7dxi“

Ч

 

 

i=i

 

 

 

 

+

4 - Ъ(*»х)

2 - Ф(^

;Т’ г) =

0- (5.158)

 

 

 

i=i

 

 

Аналогично, второе уравнение Колмогорова будет запи­ сано так:

dip (t, х; Т, z)

дх

+

S

-£_[“ (*» z)q>(f,x; Т, z)]

 

1=1

дц

п

 

 

 

 

 

 

 

2

2 Й 1 ь (т*)’ ф (*»х ; T>z)i = о. (5.159)

 

 

 

 

i=i °z\

З а д а ч а 85.

Рассмотреть обобщение задач 83 и 84

на случай, когда

случайная функция есть трехмерный

Смотрите также файлы