Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

т. е. равновозможные события имеют одинаковую вероят­ ность.

Если, например, находящиеся в урне шары отлича­ ются друг от друга только цветом, то при извлечении ша­ ров вслепую появление каждого из шаров следует счи­ тать равновозможным. Пусть в урне имеется 5 белых и 3 черных шара. Тогда полная система событий состоит из 8 равновозможных событий, а событие, состоящее в по­ явлении белого шара, подразделяется на 5 таких собы­ тий. Поэтому вероятность появления белого шара

Р(Л) = 4 .

Аналогично, вероятность появления черного шара

^ ( Я ) = 4 -

так как здесь число благоприятных событий равно 3. Из определения следует, что наибольшую вероятность

имеет достоверное событие,

P ( U) = 1 ,

а наименьшую — невозможное событие,

Р (У) = 0.

Вероятность любого события А удовлетворяет неравен­ ству

Если событие В содержит в себе событие А, то это означает, что события, являющиеся благоприятными для А, благоприятны и для В , но не все события, благоприят­ ные для В, являются благоприятными для А, иначе со­ бытия А и В были бы равносильными. Следовательно, если

A CL В,

то

Р(А) < Р (В).

За д а ч а 1. В изданном в 1781 г. каталоге Мессье, содержащем наблюдаемые на небе 108 ярких туманных

§5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 15

объекта, имеется 39 галактик, 29 рассеянных скоплений, 29 шаровых скоплений, 6 диффузных туманностей и 5 планетарных туманностей. Определить вероятность того, что из двух наугад выбранных в каталоге объектов а) каждый окажется галактикой, б) один окажется рассеян­ ным, а другой шаровым скоплением.

Р е ш е н и е . Выбор любой пары объектов из катало­ га следует считать одним из равновозможных событий. Общее число равновозможных событий равно числу со­

четаний из 108 объектов по 2, т. е. С\08. В задаче а) число благоприятных событий равно С\*. Искомая вероятность

Р= CtJCU S5 0,128.

Взадаче б) число благоприятных событий равно числу рассеянных скоплений, помноженному на число шаровых скоплений 29 X 29. Искомая вероятность

Р = 294СШ2 0,146.

З а д а ч а 2. Найти вероятность того, что при слу­ чайном выборе четырех букв на слова «математика» будут получены буквы, из которых можно составить слово «тема».

Р е ш е н и е . Общее число равновозможных событий равно числу сочетаний из 10 букв, составляющих слово «математика», по 4, а число благоприятных событий равно 2 X 1 X 2 X 3 = 12, так как буква V может быть выбрана двумя способами, буква V — одним, буква ’м‘ — двумя и буква ’а* — тремя способами. Искомая вероят­ ность

С = 1 2 /С = -5Г-

З а д а ч а 3. Найти вероятность того, что при извле­ чении из колоды п игральных карт (в колоде 52 карты) все они окажутся разных значений.

Р е ш е н и е . При п >■ 13 рассматриваемое событие является невозможным, так как в колоде различных зна­ чений карт всего 13. Следовательно, при п > 13 вероят­ ность события равна нулю.

Найдем Р при п ^ 13. Число всех равновозможных слу­ чаев равно Сю. Для нахождения числа благоприятных

ли одной и той же масти, то все они были бы различных значений. Число различных сочетаний п карт одной оп­

ределенной масти равно Ci3. Однако каждый раз, как будет получено некоторое сочетание карт одной масти, можно путем замены каждой карты на карту того же значения, но другой масти, получить еще одно сочетание тех же значений карт. Произведя все возможные такие замены для каждого сочетания из карт одной масти, по­ лучим все благоприятные события. Из этого следует, что

число благоприятных событий равно С”3-4П. Таким обра­ зом, при п 13 искомая вероятность

Р= 4

За д а ч а 4. Найти вероятность того, что при слу­

чайном распределении к частиц в п ячейках (к <1 п): а) в к определенных ячейках окажется по одной частице, б) в А: каких-то ячейках окажется по одной частице. За­ дачу решить в статистиках: 1) Больцмана, 2) Бозе — Эйнштейна, 3) Линден-Белла и 4) Ферми — Дирака. В статистике Больцмана, которой подчиняется обычный газ, частицы принципиально различны между собой, гак что перестановка двух частиц, находящихся в раз­ ных ячейках, дает новое распределение. Число же частиц в одной ячейке не ограничено. В статистике Бозе — Эйнштейна которой подчиняется, например, фотонный газ, частицы принципиально не различимы. Перестановка двух частиц, находящихся в разных ячейках, не дает нового распределения. Число частиц в одной ячейке не ограничено. В статистике Линден-Белла, которой под­ чиняются элементарные объемы фазового пространства звездных систем, частицы принципиально различимы, но в каждой ячейке может находиться не более одной час­ тицы. В статистике Ферми — Дирака, которой подчиня­ ется, например, электронный газ, частицы принципиаль­ но не различимы и в каждой ячейке может находиться не более одной частицы.

Р е ш е н и е . 1) В статистике Больцмана общее чис­ ло всех равновозможных событий равно пк, так как каждая частица может расположиться в каждой из п ячеек при любом расположении других частиц.

а) Число благоприятных событий расположения к частиц в к определенных ячейках равно числу переста­ новок частиц в этих ячейках — /с!. Таким образом, иско­ мая вероятность

б) Число благоприятных событий расположения к частиц в каких-то к ячейках равно числу различных соче­ таний к ячеек из общего числа га, помноженному на число перестановок к частиц. Таким образом, искомая вероят­ ность

2) В статистике Бозе — Эйнштейна для нахождения числа всех равновозможных событий выстроим все ячейки в ряд. Границы ячеек определяются перегородками. Чис­ ло всех перегородок, очевидно, равно га -j- 1. Частица считается находящейся в ячейке, если она оказалась

...

Рис. 1.

между перегородками ячейки (рис. 1). Если при некото­ ром данном распределении частиц в ячейках поменять между собой местами любые две или несколько частиц, то ввиду принципиальной неразличимости частиц в статистике Бозе — Эйнштейна нового распределения не получится. Точно так же не будет получено новых рас­ пределений, если поменять между собой местами перего­ родки. Однако каждый раз, как поменяются местами частица и перегородка (две крайние перегородки закреп­ лены и перемещаться не должны), будет получаться но­ вое распределение. Поэтому число всех равновозможных

числа перестановок между собой к частиц и числа пере­ становок между собой п — 1 перегородок.

а) Число благоприятных событий распределения час­ тиц по одной в к определенных ячейках равно ровно 1, так как перестановки частиц между собой новых распре­ делений не дают. Поэтому искомая вероятность

б) Число благоприятных событий распределения час­

тиц по одной в каких-то к ячейках равно Сп, следовательно, искомая вероятность

а! (п — 1) 1____

Р= {к п к) (1.23)

+— 1)! (в — 1

3)В статистике Линден-Белла частицы могут рас полагаться не более одной в ячейке. Но они принципиаль­ но различимы. Поэтому число всех равновозможных со­

бытий равно

— числу равновозможных событий. Искомая вероятность

статистике Линден-Белла выполняется требование за­

дачи б).

4) В статистике Ферми — Дирака, в отличие от ста тистики Линден-Белла, частицы принципально не различимы. Поэтому число всех равновозможных событий

равно Сп. Число благоприятных событий в задаче а) равно 1, а искомая вероятность

частиц. Каждая перестановка будет давать новое распре­ деление, за исключением случаев, когда будут перестав­ ляться частицы, находящиеся внутри одной и той же ячейки. Поэтому число благоприятных событий равно