Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

суммы суммой интегралов:

<Р (t -j- At, я; т, г) — ф (t, я; т, г)

At

Разберем сделанные предположения при помощи; рассуждений, не являющихся строгими, но способствую­ щими правильному пониманию сути этих предположений. Рассматриваемый случайный процесс является непрерыв­

будет стремиться к 0. Порядок малости интеграла усили­ вается тем, что у — х в подынтегральном выражении вну­ три промежутка интегрирования меняет знак. Можно ожидать, чго при достаточно широких условиях отноше­

252 СЛУЧАЙНАЯ ф у н к ц и я [ГД. 5

ние интеграла к At при At -> 0 будет стремиться к конеч­ ной величине а (t, х). В частном случае а (t, х) может тож­ дественно равняться нулю. Функция а (t, х), как показы­ вает (5.131), имеет размерность отношения размерности случайной функции к размерности аргумента.

Под знаком интеграла в (5.132) стоит квадрат разности (у — х), а не ее первая степень, как в (5.131), что усили­ вает порядок малости подынтегрального выражения. Но это существенно компенсируется тем, что подынтегральное выражение в промежутке интегрирования не меняет зна­ ка, положительно. Поэтому при широких условиях от­ ношение интеграла к At, когда At 0, также стремится к конечной величине Ъ (t, х). Ее размерность, как пока­ зывает (5.132), совпадает с размерностью отношения квад­ рата размерности случайной функции к размерности аргу­ мента.

Подынтегральное выражение в (5.133) содержит мно­ жителем третью степень у — х. Поэтому естественно вви­ ду сделанных только что предположений считать, что ин­ теграл в (5.133) при At — 0 окажется бесконечно малой более высокого порядка, чем At, и, следовательно,выпол­ няется (5.133).

Сделав допущения (5.131) — (5.133) и совершив в (5.130) предельный переход при Д£—>-0, получим первое уравнение Колмогорова'.

для значений у вне промежутка (а, р] справедливо равен­ ство <р (t, х; т, у) = 0при любых t, х и т.

Введем в рассмотрение некоторую вспомогательную (не случайную) функцию R (х), неотрицательную и дваж­ ды непрерывно дифференцируемую в промежутке [а, р] и удовлетворяющую условиям

R (а) = R (Р) = R '( а) = R' (Р) = R" (а) = R" (р) = 0. (5.135)

В остальном функция R (х) произвольна.

Подставим (5.140) в (5.139) и применим формулу ин­ тегрирования по частям, чтобы вместо производных R' (z) и R" (z) под интегралом фигурировала сама функ­ ция R (г). Вследствие выполнения условий (5.135) внеинтегральные члены обращаются в нуль, и мы получаем

Из того, что интеграл (5.141) равен нулю при произ­ вольной внутри промежутка [«, |5] функции R (z), следует, что выражение в фигурных скобках под знаком интеграла равно нулю:

Это есть второе уравнение Колмогорова.

$ 7 1 ] У Р А В Н Е Н И Я К О Л М О Г О Р О В А 255

Уравнения Колмогорова являются линейными одно­ родными уравнениями в частных производных второго по­ рядка. Второе уравнение Колмогорова в ряде конкретных задач использовалось физиками и называется также урав­ нением Фоккера — Планка.

Если процесс является стационарным,

ф (t, х; х, у) = ф (0, х; т — t, у),

Если, кроме того, функция <р зависит только от разно­ сти (у — х), а не от х и у отдельно, то, во-первых, как по­ казывают равенства (5.131) и (5.132), функции а и Ъ ста­ новятся константами и, во-вторых, справедливы равен­ ства

В этом случае сравнение (5.134) и (5.142) показывает, что первое и второе уравнения Колмогорова совпадают.

З а д а ч а 83. Функция <р (t, х; t -f- At, у), опреде­ ляющая случайный процесс при At — 0, есть

Написать уравнение Колмогорова.

Р е ш е н и е . Так как функция ф зависит только от разностей аргументов (t -f At) — t = At (процесс стацио­ нарный) и разности (у — х), то первое и второе уравне­ ния Колмогорова совпадают. Поскольку (5.146) — нор­ мальная относительно (у — х) функция с равным нулю математическим ожиданием, то

а (х, t) = lim - j ^ (у — х) ф (0, 0; Дt,y — x)d(y — х) = 0,

-ОО