Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

98

Сравним полученные значения Рпр с экспериментальными данными [10, 37], полученными для бетонной плиты толщиной 24 см, в этом случае (табл. 9):

</ма,<с = 0,123РП|

Измеренная в натуре нагрузка равнялась 70 тс.

5.2. Бесконечно жесткая квадратная плита

Для жесткой квадратной плиты, нагруженной в середине пролета, схема разрушения соответствует образованию таких пластических шарниров, при которых плита разрезается на че­ тыре части. Для определения наибольшей силы в упругой ста­ дии плиту разбиваем на 25 квадратов (рис. 5.1).

Д 2І 0 £ 5

1 7

Используя симметрию, будем вести расчет иа Vs часть пли­ ты, заштрихованную на чертеже. Для определения неизвестных составим семь уравнений. При вычислении коэффициентов уравнений обратим внимание на то, что к квадрату 1 прило­ жено восемь равных сил Х\, так как этот квадрат входит во все восемь частей плиты. К квадратам 2, 3, 4 и 6 приложены по две силы, а к квадрату 5 приложена одна сила.

Плита рассматривается как бесконечно жесткая, поэтому коэффициенты канонических уравнений будут зависеть только от деформации упругого полупространства. Значения F,-;t час-

тнчно берем из табл. 1 для 6 /с = 1 , частично вычисляем по фор­ муле

в каждой приложим силу, равную 0,25. От этих сил вычисляем расстояния до точки 1 (рис. 5.2).

В данном случае расчет выполнен для Р = 8 , поэтому получим

м = = _0І 332 р/ = 0 0 4 3 /з/

8

или на 1 пог. м ширины плиты М= 0,043 Р.

Наибольшую нагрузку в конце упругой стадии найдем:

плиты.

После образования четырех пластических шарниров произой­ дет изменение в распределении реакций основания. Для опреде­ ления * получим другую систему уравнений, которая будет от­ личаться от составленной для упругой стадии тем, что в пласти­ ческих шарнирах плита будет свободно поворачиваться и мо­ мент в пластическом шарнире сохранит свою величину.

По аналогии с балкой сначала сделаем расчет плиты, состоя­ щей из четырех частей, на единичную силу и единичный момент. От силы Р = 8 получим:

+ 28,28*х ■+ 8,364Ха + 4,04*3 4- 5,84*4 4- 3,664*64-

4- 2,872*6 -Г 1//о + Осфо = 0;

4- 8,364*! 4- 11,02* 3 -f 4,592*з + 6,012* 4 + 3,836*5 4 - + 2,948*в -[- 1у0 + 0,707сф0 = 0;

Таких уравнений шесть, к ним надо будет добавить два уравне­ ния, которые можно записать так:

100

После решения этих двух систем уравнений найдем числа влияния для силы и момента и по ним определим величину той

В последнем уравнении можно сократить общий множитель с, тогда после решения получим такие значения неизвестных:

Интенсивность реакций в каждой точке плиты найдем путем умножения X на постоянный множитель 25<?о, гд^ qo — среднее удельное давление, которое вычисляется путем деления внешней силы на площадь плиты:

101

Величина нагрузки, при которой произошло образование пла­ стических шарниров, составляет: Р = 1,5Р0.

Если по условиям задачи необходимо найти предельную на­ грузку, при которой осадка не превышает удвоенную статиче­ скую, то получим

Это значение несколько приуменьшено, так как при внешней нагрузке, равной 1,2Р0, пластические шарниры образуются не полностью, и поэтому жесткость плиты будет несколько больше,

аосадка соответственно меньше 2 у0.

5.3.Нагрузка в углу плиты

Рассмотрим квадратную бесконечно жесткую плиту, которая нагружена сосредоточенной силой Р в углу (рис. 5.4). Для рас­ чета плиты в упругой стадии используем симметрию и разложим

Рпс. 5.4

нагрузку на четыре составляющих, как это указано на рпс. 5.4, а—г.

Нагрузка на схеме а симметричная, поэтому распределение реакций основания будет такое же, как в п. 5.2.

Для схемы г реакции основания будут равны нулю, так как нагрузка является уравновешенной, а плита считается бесконеч­ но жесткой. Из схем рис. 5.4, б и в следует рассчитывать только одну, принимая во внимание симметрию относительно двух осей; для этой нагрузки можно использовать балочную расчетную схе­ му и коэффициенты неравномерности реакций основания взять из таблиц [7]. Таким образом, задача решается приближенно по таблицам. Более точное решение можно получить, если соста­ вить систему уравнений для всех схем, указанных на рис. 5.4. Подсчет коэффициентов неравномерности реакций основания удобно сделать в табличной форме для 15 точек плиты, указан­ ных на рис. 5.4.

Наибольшая концентрация реакций получилась в точке 15\ <7 і5 = 3,467і7о- В противоположном углу плиты появились отрица­ тельные реакции. Если эти реакции не погашаются постоянной

102

нагрузкой (вес плиты), то плиту следует рассчитывать с учетом односторонних связей.

Вычислим моменты для сечений, перпендикулярных диагона­ ли плиты. Так, например, в сечении, проведенном через точку приложения силы, т. е. через точку 15,

Этот момент получен для всей ширины сечения; на 1 пог. м се­ чения получим:

Принимая равномерный закон распределения по ширине сечения, получим:

125-2,8281/5

М1 0 _ 13 = - 37,85 0 , 707РІ

Сопоставление моментов М10-із и М6_и показывает, что наи­ больший отрицательный момент находится между сечениями 10— 13 и 6—11\ здесь будет возникать первый пластический шар­ нир, хотя, конечно, следует иметь в виду, что положение пласти­ ческого шарнира определено только приближенно, так как было сделано предположение о равномерном распределении изгибаю­ щего момента по ширине поперечного сечения. Для сечения 10—13 это допущение ближе подходит к действительности, чем для сечения 6—И, где заметнее будет выражена концентрация реакций к краю. В результате этого пластический шарнир не бу­ дет прямолинейным, совпадающим с сечением 6—И, а изогнет­

103