Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

Деформации, как обычно, можно разложить на две части — упругую и пластическую, тогда:

Ф (Qi, Q2), которую можно нормировать так, что если Ф < 1, то Qi, Q2 соответствуют упругой стадии; если Ф = 1, то это отвечает пластическому состоянию сечения, и, на­ конец, недопустимым является Ф > 1. Ге­ ометрическую интерпретацию изложен­ ного целесообразно сделать для системы, характеризующейся двумя обобщенными

усилиями Qi и Q2, которые будем откла­ дывать на координатных осях. Каждому сечению системы будет соответствовать определенная точка, имеющая координа­ ты Qi и Q2 .

Функция течения ®(Qi, Q2) = 1 будет представлять собой замкнутую кривую

(рис. 1.1). Внутри контура этой кривой точки отвечают сечениям, в которых имеется упругое состояние. Для точек, расположенных на кривой, возникает пластическое тече­ ние; можно доказать, что кривая Ф(Сі, Q2 ) = 1 является выпук­ лой кривой и не имеет изломов. Более общую формулировку ус­ ловий предельного состояния можно получить, опираясь на приведенные выше рассуждения. Обозначим через Т обобщен­ ную силу, приложенную к системе, и рассмотрим действие на систему силы рГ, где р будет монотонно возрастать. Можно до­ казать, что напряженное состояние системы будет статически до­ пустимым, если соблюдаются следующие три условия:

1)система внутренних усилий Qi и Q2 должна быть уравно­ вешенной;

2)усилия Qi и Q2 находятся в равновесии с внешней силой

рТ;

3) в пределах всей системы соблюдается условие Ф ^ І . Та­ ким образом, если существует удовлетворяющее условиям рав­ новесия напряженное состояние системы для силы S CT, то зна­ чит, что Sc является статически допустимым коэффициентом запаса.

9

Кинематически допустимое распределение скоростей системы должно удовлетворять двум условиям:

1)во всех точках системы скорости должны быть в соответ­ ствии с имеющимися связями;

2)приращение работы внешних сил на перемещениях, соот­ ветствующих принятым скоростям, должно быть положитель­

ным.

Кинематически допустимый коэффициент запаса 5К получим как отношение функций рассеивания Di внутренней и De внеш­ ней энергии:

Общие соображения, изложенные выше, были сформулирова­ ны для любых систем, поэтому их можно применять для балок и плит, расположенных на упругом основании, но при этом следу­ ет учитывать те особенности, которые возникают при решении таких задач. В дальнейшем на конкретных примерах будет рас­ смотрено использование общих теорем предельного равновесия

ибудут установлены границы их применимости.

1.4.Образование пластических областей в основании

Упругое основание представляет собой сложную среду, на­ пряженное состояние которой даже в упругой стадии может быть определено только для некоторых упрощенных моделей. Возник­ новение пластических областей в упругом основании зависит от специальных условий, вытекающих из необходимости учитывать гидростатическое давление и сжимаемость основания, которая соответствует реальным грунтам. Из этих соображений условие текучести для основания принимается в более обобщенном виде:

Для критерия пластического тече­ ния представляется возможным при­ нять условие Мизеса. Однако, как по­ казали эксперименты [60, 46] над раз­ личными грунтами, этот критерий не­ обходимо дополнить включением спе­ циальной функции ф(сТт), зависящей от гидростатического давления. Тогда получим:

10

Если cp = 0, то основание будет несжимаемым, при ф^О решение соответствует сжимаемому основанию. Для определения линий скольжения можно составить уравнения, решение которых вы­ полняется численным методом. Введем обозначения:

Составим дифференциальные уравнения равновесия, учиты­ вая обозначения, указанные на рис. 1.2, где 5 и Т — длины дуг по направлению линий координат; 0s и Ѳг — углы наклона каса­ тельных к оси z; Us, Es и UT, Er — компоненты скорости. После некоторых преобразований получим:

11

В этих уравнениях обозначено: Ä,=si и е2 = —А 2Х. Получен­ ные уравнения решаются численным методом и позволяют опре­ делить границы пластической области в упругом основании (см.

п.6.3).

1.5.Условия создания фундаментов наименьшего веса

Вобщем виде зависимость, связывающая момент и вес или геометрические размеры элементов конструкции, является нели­ нейной [48, 51]. Но в первом приближении представляется воз­ можным аппроксимировать функцию, связывающую изгибаю­ щий момент и погонный вес в пределах данного элемента, пря­ мой линией по такой формуле:

где А и В — заданные постоянные.

Тогда полный вес конструкции будет получен путем сумми­

выражения ~ZLiM0, так как А и В яв­ ляются постоянными и LiM0 не за­ висит от них.

Если рассмотреть систему, несу­ щая способность которой зависит от возможности образования двух пла­ стических шарниров с разными ве­ личинами предельных моментов М0і и MQO, то можно получить геометри­ ческое представление об условиях создания конструкции наименьшего

веса. Для этого по осям ординат будем откладывать М0 1 и М02. Относительный вес конструкции можно выразить так:

где т01 и т0 2 — безразмерные величины пластических моментов. Для разных значений g' получим семейство параллельных

прямых линий, которые показаны на рис. 1.3 пунктиром.

Для конструкции данного веса g можно также построить ли­ нии нагрузки. Правее этой линии расположены точки, для кото­ рых значение нагрузки меньше предельного. Левее будут разме­ щаться точки, соответствующие значению нагрузки больше пре­ дельного. Предельное значение нагрузки можно получить исходя из данной схемы образования пластических шарниров. Это мож­ но записать так:

12