Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

п— показатель степени, позволяющий наилучшим образом приблизить теоретическую кривую к эксперименталь­ ной.

Для получения первого приближения полагаем а = 0 в форму­ ле (4.6). Это будет линейный случай. Решение задачи доводим до определения X, т. е. находим равнодействующие реакций, воз­ никающие в тех стержнях, которыми балка прикреплена к осно­ ванию. Теперь величины сил X,-, приложенных к основанию, оп­ ределены, и для этих сил осадка основания может быть вычис­ лена по нелинейной формуле (4.6).

Переходим ко второму приближению, и коэффициенты кано­ нических уравнений вычисляем по формулам с учетом нелиней­ ности основания. Для главных коэффициентов получим:

(4.7)

При вычислении побочных коэффициентов б,-/, приходится

сти этих коэффициентов:

(4.8)

Свободные члены, входящие в уравнения контактной задачи, за­ висят от деформаций балки, так как в основной системе балка отделена от упругого основания. Поэтому для второго прибли­ жения свободные члены будут те же самые, что и для первого.

Расчет балки следует вести по схеме, приведенной в п. 2.2, однако в том сечении, где возникает шарнир взамен единичного момента, как это было сделано для линейного основания, теперь необходимо приложить действительный предельный момент, со­ ответствующий этому сечению, а внешнюю силу для первого приближения следует изменить пропорционально отношению вы­ численного и предельного момента. Для определения реакций основания, соответствующих образованию пластического шар­ нира, необходимо выполнить новый цикл приближений по ука­ занной выше схеме, причем для каждого последующего прибли­ жения следует также изменять и внешнюю силу, которая зави­ сит от распределения реакций основания. Объем вычислений получается довольно большой, однако довести решение до конца все же представляется возможным.

88

4.8. Пример расчета балки на нелинейном основании

Изложенную выше схему рассуждений применим для балки переменного сечения, которая была рассчитана в п. 2.7. Сделаем расчет секции плотины треугольного профиля с гибким понуром. В пределах основной части профиль плотины считаем абсолют­ но жестким и учитываем изгиб понура. Размеры и схема пло­ тины показаны на рис. 4.17. Рассматриваем плотину как балку

определения четырех X, у0 и ср0 составим шесть совместных ли­ нейных уравнений. Коэффициенты этих уравнений вычисляем по формуле (2.5), при а = 0 получим:

1 пог. м ширины плотины. Суммарная вертикальная нагрузка составляла: £=1213 тс. После решения уравнений получили: К, = 473 гс; К2= 109 тс- К3=218 тс-, К4=413 тс.

Второе приближение получим, если будем производить рас­ чет с учетом нелинейности основания. Коэффициенты уравнений контактной задачи будем вычислять по формуле (4.7), принимая

89

После решения уравнений найдем:

= 119,8 тс\ Л'2 = 262 tm-, Х3 = 311,4 mc-, Xt = 519,8 тс. Переходим к третьему приближению. Теперь получим:

В рассмотренном примере нет необходимости определять пре­ дельную нагрузку, так как размеры сооружения зависят от це­ лого ряда условий, поэтому по найденному изгибающему момен­ ту можно подобрать наиболее целесообразные толщину понура и соответствующее армирование.

4.9. Регулирование реакций основания

Использование основания переменной жесткости позволяет подойти к решению задачи о регулировании реакций основания и отысканию оптимального их распределения путем соответст­ вующего изменения контактных давлений между балкой и осно-

90

ваиием. Регулирование распределения реакций основания может быть достигнуто путем искусственного изменения жесткости ос­ нования по длине пролета балки нлп путем устройства допол­ нительного слоя между балкой и основанием.

Условие совместности деформаций по линии контакта запи­ шем в таком виде:

где ук— осадка точки /г упругого основания от всех сил Хь, при­

Условие оптимизации реакций основания запишем так, чтобы во всех точках контакта полученная интенсивность реакций осно­ вания была меньше заданной рКякс-

Хотя эта задача относится к классу нелинейного программи­ рования, так как целевая функция линейна, а ограничения не­ линейны, тем не менее ее приближенное решение может быть найдено. Для первого приближения используем решение в упру­ гой стадии, из которого можно определить, какого вида функцию Ауи■следует принять. Эту функцию задаем с точностью до не­ скольких параметров, которые определяем из условий (4.10) и (4.11). Например, для Ауи можно взять полином второй степени

иподставить в уравнение (а). Тогда получим

—(ук 4- aayfc) -I- Zk -f у0 + акср0 — ах2 — Ьх — с = 0. (4.13)

91

Параметры а, b и с подберем так, чтобы нашіучшпм образом удовлетворялось условие (4.11).

В такой постановке задача минимизации реакций основания для решения требует проведения расчетов на ЭВМ. Поясним порядок вычислений на простом примере, который позволит убе­

кость основания в пределах пролета балки. Схема балки и основ­ ной системы показана на рис. 4.19. Для определения равнодейст­

92