Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
P„i = ( D i M n + CiM m) - L m |
( 1.23) |
Коэффициенты Di и Ci зависят от выбранной схемы разру шения конструкции.
Прямые линии, отвечающие определенному значению Рпі, показаны тонкими линиями на рис. 1.3. При образовании трех пластических шарниров в одном элементе, т. е. при исчерпании местной несущей способности, предельная нагрузка будет зави сеть только от одного из пластических моментов М01 или М02, и прямая, соответствующая такой нагрузке, будет параллельна одной из осей координат. Это соответствует линиям ab и cd на рис., 1.3.
Жирной линией на рис. 1.3 показана граница области, вну три которой может располагаться нагрузка. Минимальный вес у конструкции получится в том случае, если прямая, соответствую щая весу, будет касаться жирной граничной линии.
В данном случае линия qh соответствует линии минимально го веса для данной конструкции (см. п. 5.7).
Глава 2
БАЛКА НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
2.1. Наибольшая нагрузка в упругой стадии
Рассмотрим балку прямоугольного сечения, нагруженную со средоточенной силой Р в середине пролета (рис. 2.1,а). Опреде лим значение Ро, при котором в крайнем волокне опасного сече ния балки напряжения будут достигать предельной величины аир. Это значение силы будет наибольшим для упругой стадии работы балки при условии, что упругое основание сохраняется линейно-деформируемым.
В сечении под грузом изгибающий момент будет равен:
Расстояние от середины пролета до центра тяжести эпюры реакций зависит от закона распределения реакций по длине про лета балки и вычисляется в результате решения задачи в упругой стадии.
Расчет в упругой стадии будем выполнять по способу Жемочкина [10, 33]; для этого прикрепляем балку к упругому основа нию нерастяжимыми стержнями (рис. 2.1,а). Для определения усилий в этих стержнях применяется смешанный способ строи тельной механики. Основная система получается путем отделе-
13
ния балки от упругого основания и введения заделки в середине ее пролета (рис. 2.1,6). За неизвестные принимаются силы Х0, Хи ... и осадка заделки у0. Для определения этих неизвестных составляется следующая система уравнений:
Ѵ о + |
б0 1 * 1 |
+ |
б0 |
2 ^ 2 |
Н----- ЬД0р + у0= 0; |
+ |
бп^ 1 |
+ |
S1 |
2 ^ 2 |
н------І“Д|р + у0= 0; |
|
|
|
|
|
(2 . 1) |
■^■ “Ь |
+ -^2 + |
• • • |
= 2Р_ |
Рис. 2.1
При вычислении коэффициентов 6іь канонических уравне ний приходится учитывать как прогиб балки п;л, так и осадку упругого полупространства ут от единичных сил (рис. 2.1, в):
бі* = vik + Уік\ |
(2-2) |
Vik вычисляется по обычным формулам как прогиб в сечении і балки, заделанный одним концом, от силы Хь=\, приложенной в сечении k (см. рис. 2.1,в):
Ѵік = |
m |
L d x = A ( a . - * L \ |
= A ( 3 * L |
|
|
EJ |
2EJ\ |
3 j |
6EJ \ ak |
6EJ W ik> (2.3)
где EJ — жесткость балки; |
|
wik |
3-^- — 1 |
|
, ak |
с — расстояние между связями (см. рис. 2.1,а).
Осадка упругого полупространства вычисляется по формуле Б. Н. Жемочкина [10]:
Уік = |
(1- Po) |
(2.4) |
|
пЕ0с Fi» |
|||
|
где р о — коэффициент Пуассона упругого полупространства;
14
Е0— модуль деформации полупространства; |
|
|
|
|
||||||||||
Fik— значение функции, которое берется из табл. 1. |
|
|||||||||||||
Подставив значения ѵм и ут в формулу |
(2.2), получим: |
|
||||||||||||
|
с3 |
|
, ' |
Г о ,, |
/ ѵ |
1 |
|
\ * |
|
'• |
(2.5) |
|||
ö / * = |
— |
|
w'k + |
-Т 77 Fi* = (Fik + |
aw^ |
Е0сл |
||||||||
|
6EJ |
|
Е0сл |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а |
= |
■ |
|
115) EJ |
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
|
|
|
|
|
6 ( 1 - |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
Значения единичной функции Ріъ |
|
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
F ik |
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
2 |
|
— |
|
|
|
І С |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
=1 |
|
|
= 2 |
|
|
- * - = 3 |
|||||
|
с |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
||
|
|
|
С |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|||
0 |
4,265 |
|
3,525 |
|
|
2,406 |
|
|
1,867 |
|||||
1 |
1,069 |
|
1,038 |
|
|
0,929 |
|
|
0,829 |
|||||
2 |
0,508 |
|
0,505 |
|
|
0,49 |
|
|
0,469 |
|||||
3 |
0,336 |
|
0,335 |
|
|
0,33 |
|
|
0,323 |
|||||
4 |
0,251 |
|
0,25 |
|
|
0,249 |
|
|
0,246 |
|||||
5 |
0, 2 |
|
|
|
0,2 |
|
|
0,199 |
|
|
0,197 |
|||
6 |
0,167 |
|
0,167 |
|
|
0,166 |
|
|
0,165 |
|||||
7 |
0,143 |
|
0,143 |
|
|
0,143 |
|
|
0,142 |
|||||
8 |
0,125 |
|
0,125 |
|
|
0,125 |
|
|
0,124 |
|||||
9 |
0,111 |
|
0,111 |
|
|
0,111 |
|
|
0,111 |
|||||
10 |
0,1 |
|
|
|
0,1 |
|
|
|
0,1 |
|
|
0,1 |
|
|
П р и м е ч а н и е , |
х — расстояние |
от |
точки |
приложения |
|
единичного |
груза |
|||||||
до данной точки; |
b — |
|
ширина |
балки; |
с — расстояние |
между |
связями. |
|
Общий множитель 1—\і^ІЕйс% одинаков для всех коэффици
ентов б,-/;, и поэтому при выполнении расчетов его можно учиты вать р конце.
Свободные члены Аір , входящие в уравнения (2.1), представ ляют собой прогибы балки, заделанной одним концом, от внеш них сил. Подставляя найденные коэффициенты и свободные чле ны в уравнения (2.1) и затем решая их совместно, определяем силы Хі и осадку ко
ординаты pi эпюры реакций упругого полупространства вы числяются путем деления сил Х{ на соответствующие им площа
ди |
подошвы балки: |
|
|
Pi = J T ' |
(2-7) |
|
cb |
|
где |
с — расстояние между связями; |
|
|
b— ширина балки. |
|
Эпюра реакций будет иметь ступенчатый вид. Изгибающие моменты в балке определяются из основной системы с помощью
15
сил Xi, как для балки, заделанной |
одним |
концом. |
Например, |
|
для точки 2: |
|
|
|
|
м 2 = л:42С + Хзс+ 4 - * 2 - ^ ; |
|
|||
|
|
2 |
4 |
|
Qi — |
+ х 3 + ~ |
х 2. |
|
|
Сила Х2 учитывается потому, что представляет собой равно |
||||
действующую реакций, |
равномерно |
распределенных |
на участ |
|
ке с. |
|
|
|
|
Для определения с0 используем значения X, которые полу чены после решения системы уравнений и представляют собой значения равнодействующих реакций упругого основания. Вели чина с0 (см. рис. 2.1, г) вычисляется по формуле
І=Л |
у |
s |
X i i + ^ - |
і=О______
і=гс
Е Хі 1=0
Формула показывает, что для вычисления Со величину Р0/2 можно принять равной единице. Тогда знаменатель обращается
в 1. Например, для Ь[с= 3; а = 0,1 и с = — коэффициенты урав
нений вычисляются |
так: |
|
|
|
б00 = 3,734; 601 = 1,658; |
602 = 0,938; |
6о3 = 0,646; |
||
604 = |
0,492; |
6ц = 1,867 + 0,468 + |
0,2 = 2,536. |
|
После решения найдем такие значения: |
|
|||
* „= + 0 ,2 7 8 1 ; |
Хх = |
0,4248; |
Ха = 0,2505; |
Х 3 = + 0,1151; |
Х4 = — 0,0686. |
|
|
|
Теперь определим с0:
с0 = 0,1181.
В табл. 2 указано значение с0 для разных значений Ь/с и а, характеризующего гибкость балки.
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
|
Значение с0 |
|
а |
Ыс= 3 |
Ь/с—2 |
Ь/с—І |
0 |
0,2798 |
_ |
_ |
0,1 |
0,118 |
0,128 |
0,1421 |
1 |
0,0606 |
0,0657 |
0,073.1 |
16
В зависимости от соотношения жесткости балки и упругого полупространства величина с0 изменяется. Чем больше жест кость балки, тем больше величина с0. При равномерном распре делении реакций упругого основания с0 = 0,25 I, т. е. равнодей ствующая реакций проходит в четверти пролета балки. Для гиб ких балок величина с0 становится меньше 0,25 I. Для бесконечно жестких балок с0 становится больше 0,25 I за счет концентрации реакций, возникающих у края балки.
Определим теперь тот изгибающий момент, который может выдержать сечение балки, если напряжения только в крайнем волокне достигают величины 0 пр:
М 0 = a npW,
где W — обычный момент сопротивления сечения балки.
Для определения Ро приравняем этот Мй моменту внешних
сил, тогда получим |
|
|
2 д пР^ |
Y С° и |
Ро = |
|
Со |
Если а=0,1 и Ь/с= 2, то в табл. 2 найдем значение Со=0,128/; тогда для прямоугольной балки получим
1
Р о
0,1 2 8 /'
2.2. Распределение реакций за пределом упругости
Продолжим решение и выясним распределение реакций уп ругого основания, если внешняя сила Р будет больше того зна чения Р0, которое было вычислено в п. 2.1. Теперь балка будет работать за пределом упругости в упругопластической стадии, ее жесткость изменится и в результате этого произойдет перерас
пределение реакций.
Для упрощения дальнейшего исследования исключим из рас смотрения процесс перехода балки в упругопластическую стадию и будем считать, что в результате образования пла стического шарнира балка раз бивается на два участка, кото рые находятся в упругой ста
дии. |
|
|
|
|
Выразим силу Р через Р0 |
|
|
|
|
по формуле Р — пР0. |
|
|
ѵ= і с |
|
Множитель п в этой форму |
|
|
|
|
ле будет больше единицы. |
|
|
|
|
Для всех значений |
Р~>Р0 |
|
Рис. 2.2 |
|
расчетная схема балки |
имеет |
т |
|
|
вид, указанный на рис. 2.2. Осо- |
Гос. публич:кт; |
|
||
2—407 |
|
|
каучно-техипчсч • |
|
|
|
библиоѵана СС |
17 |
|
|
|
|
ЭКЗЕМПЛЯР |
|
яьк, го г |
J |
|
бенность этой расчетной схемы состоит в том, что с увеличением Р момент АГпр остается постоянным, сохраняя свою величину. Для данной расчетной схемы разрешим две вспомогательные за дачи: для М= 1 с и Р = 2, как это показано на рис. 2.2.
Для определения реакций упругого основания составим такие две системы уравнении:
бос* 0 + |
б0А |
+ |
б02ТСо + |
803ХЯ+ |
б04А + |
■•-І-Іг/о-і-О-8О = 0 |
||||
^10*0 + |
б і А |
+ |
бІ2Х 2 Ч~ бІ з Х 3 |
+ |
W |
|
• + 1 Уо + |
1Сф0 = 0 |
||
б20 |
+ |
6-21^1 + |
б2з Х 2 + |
623Х 3 |
+ |
б24Х 4 - ' ' + 1 Уо + |
2сф0 = 0 |
|||
63с*0 |
+ |
б3А |
+ |
632-^2 |
б33Х 3 + |
б3А |
- |
------\~\Уо + |
со-8О = 0 |
|
б,с |
+ |
64А |
+ |
Ö42X 2 + |
643Х з |
+ |
б4А |
- |
•' +1#о + |
4сф0 = 0 |
|
|
І Х о + А + А + І Х з |
+ А |
|
+ 0 + 0 = 0 |
|||||
|
|
0Хо+ |
|
1Х1+ 2Xj + ЗХ3+ 4Х4 + 0 + 0 == 1 |
=0;
=0;
=0;
=0;
=0;
=1;
=0.
Для примера подсчитаем значение коэффициентов для того случая, когда а=1 и 6/с= 1:
600 = 2-3,525 = 7,05;
601 = 2-1,038 = 2,076;
би = 3,525 + 0,505 + 1 - 2 = 6,03; 612 = 1,038 + 0,335 + 1 -5 = 6,373
И т. д.
Таким же порядком вычисляем остальные коэффициенты.
В табл. 3 и 4 указаны значения чисел влияния для различ ных соотношений Ь/с и а, полученные от Р = 2 и от Л4 = 1 с.
Если к балке будут приложены сила Р = пР0(п'> 1) и момент
5 25
Мщ,=-^-Р0С0~ - ^ - М 0 (2S0 — пластический момент сопротивле
ния), то равнодействующие реакций упругого основания будут найдены с помощью чисел влияния по формулам:
Х 0 = Х о ^ Р о + X o ^ c OTjPo-,
Х ^ Х ' ^ Р о - Ь Х п ^ . ^ Р о .
Для вычисления интенсивности реакций необходимо поде лить силы Хі на соответствующие им площади /+ Например, для Ь/с = 3 и а=0,1 получим
М0= А - с0 = 0,118 ^ I = 0,059/у.
18