Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

3.4] КРИТЕРИЙ МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ 87

Линейная аппроксимация штрафной функции в этом

причем различные составляющие этого выражения опре­ деляются формулами (3.4.23) — (3.4.27). Таким образом, получен интересный и фундаментальный результат: для определения штрафной функции максимального правдо­ подобия необходимо знание решения задачи одношаговой экстраполяции х (к), т. е. оценки х (к |к — 1, 0), даже в том случае, если задача оценивания х (к) первоначально не ставилась. Для действительно эффективного исполь­ зования этой функции штрафа необходимо обладать алго­ ритмами определения х (к |к — 1, 0) и Vi (к |к — 1, 0)

по Z (к — 1).

Вообще говоря, алгоритмы оценивания, основанные на условном математическом ожидании, которые можно вывести для нелинейной модели формирования сигнала (3.4.1), бесконечномерны, и для получения реализуемых алгоритмов необходимо производить аппроксимацию. Один возможный способ аппроксимации заключается

88 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3

в предыдущем разделе было получено «псевдобайесовское» приближение для отношения правдоподобия.

Для облегчения определения искомых алгоритмов оценивания следует использовать теоремы об условном среднем значении и дисперсии гауссовских случайных величин. Эти теоремы утверждают, что для гауссовских случайных величин я и J3 условное математическое ожи­ дание и условная дисперсия я относительно § определя­

вкоторых

Р« = § {а},

= Ш(х (к) |Z (к — 1), 0} + cov {х (к), z(k)\Z(k — 1), 0} х

X v a r 1{z (к) |Z ( к - 1), 0} [z (к) — $ {z(k)\Z(k — 1), 0}], (3.4.31)

так что оценка условного математического ожидания при­

var (х (к) |Z (к), 0} = var {х (к) |Z (к — 1), 0} —

— cov (х (к), z{k)\Z(k — 1), 0} var-1 (z (к) |Z (к — 1), 0} х

носкольку оценка условного среднего несмещенная. Таким образом, теорема об условной дисперсии приводит к при­ ближенному соотношению для дисперсии ошибки филь­ трации

Уравнения (3.4.32) и (3.4.36) выражают, следовательно, приближенные алгоритмы для дискретной нелинейной фильтрации методом условного среднего и для дисперсии

ееошибки.

Для использования алгоритмов необходимо определить

нелинейна, эти соотношения не могут быть найдены точно, так что возникает необходимость в дальнейших аппроксимациях. Порядком этих аппроксимаций опреде­ ляется окончательный вид алгоритмов фильтрации.

Линейное приближение для указанных выше ковари­ аций можно получить, заменяя <р и h линейными членами соответствующих рядов Тейлора в окрестности решений

*) Для получения аналогичного результата можно исполь-

!^ВрТД ? аппроксимацию нулевого порядка Г [х (к), Л] ==

— Г [х (к'1 в), А],

9 0 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ СГЛ. 3

для rV wr T в окрестности решения задачи фильтрации

х(А |0)

Г[х (А), A] Vw(A)rT[x(*),A]:

:г [х (А 10), A] Vw (к) Г [х (к 10), к] -f- [х (к) — х (к 10)] х

что позволяет нам оценить (приближенно) искомые кова­ риации. Эти оценки таковы:

cov (х (к), z (А) |Z (А — 1), 0} =

= cov {х {к |к — 1,0), h [х (к), А] |Z (А — 1), 0} ^

var {г (к) |Z (к — 1), 0} = var {h [х (к), А]|Z (А — 1), 0} +

Для завершения вывода уравнений этого фильтра первого порядка, основанного на методе условного математиче­ ского ожидания, осталось определить априорную дис­ персию ошибки. С помощью разложения в ряд легко по­ лучить, что

(3.4.37) в модель формирования сигнала (3.4.1) и взятием условного математического ожидания относительно Z (А)