ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 0
3.3] |
НЕИЗВЕСТНЫЕ АПРИОРНЫ Е РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |
77 |
||||
|
|
jliw (А + 1 1А/) = |
Mw (А| А/), |
(3.3.23) |
||
Yw (А + |
1 1А/) = |
Yw (А |ht) — Г |
9«р\х (к j kf), Ус] "1_1' Т |
|||
9х (ft |fty) |
%(A I kf), |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(3.3.24) |
|
Г V w (к + 1 1kf) Г т = r v w (А |kf) Г т , |
(3.3.25) |
||||
Sw (А + |
1 1kf) = 5 W(А |kf) - |
0,5 [Г\+ (A |k f) Г т ]-Х |
|
|||
|
|
ЭМ*- [x(ft| ft,), k]-'~u r |
1(A|A4>T(A| kf) X |
|||
— 0 ,5 rV w (A |Ay) Г |
|
|
||||
|
|
9x (ft |kf) |
|
|
|
|
|
|
dtp [x (ft |kf), ft] |
|
|
(3.3.26) |
|
|
|
X |
r V w (A: |kf) Г т , |
|||
|
|
9x (ft |kf) |
|
|
|
|
|
|
Цу(A + 1 1kf) = |
fiv (A|A;), |
(3.3.27) |
||
Yv(A + |
1 j kf) = |
Yv(A| Ay) + |
\уг (к\к{){г{к + 1) — pv(A| kf) — |
|||
|
|
— h [x (k'-\- 1 1к/), к -f- 1]}, |
(3.3.28) |
|||
|
|
Vv (A + |
l|A,) = Vv (A|A,), |
(3.3.29) |
||
Bv (A -j- 1 1kf) |
- Bv (A |kf) -)- 0,5Vv (A |kf) |
x |
|
|||
X {Z(k -f |
1) — juiv (A| kf) — h [x(A + |
1 ] kf), A + |
1]} X |
|||
X {Z (к + |
1) — Ду (A |kf) — h [x (A -f 1 1kf), к -j- 1]}т X |
|||||
|
|
X Yv1(A |kf) - |
0,5V;1(A |kf). |
(3.3.30) |
||
Для важного случая, когда шумы объекта и наблю дений коррелированы между собой, штрафная функция
(3.3.14) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
||
J = 0,51х (А0) — цх (А0) |
+ |
0,5 J w (А0) — p w (А0) ||y-i((Co)+ |
||||||
|
kr |
i |
|
|
|
|
|
|
+ |
0,5 2 |
{ | У (A) |]y-4ft) + |
0,5 In [det Y (A)}}, |
(3.3.31) |
||||
где |
k—k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г [w (ft + 1) - |
|
(fc + 4)1 |
|
|
||
|
У (A) = |
|
] , |
(3.3.32) |
||||
|
_z (ft -P 1) — h [x (ft + 1), ft + |
|||||||
|
1] |
|
||||||
|
Y (ft) = |
r v w (fc + |
i ) r T |
r v w v (ft + |
i) |
(3.3.33) |
||
|
vvw (ft + 1) rT |
Vy(ft+ 1) |
|
|||||
|
|
|
||||||
78 ФУНКЦИИ Ш ТРАФА В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ (ХЛ. Й
Эта функция штрафа максимизируется при ограничениях
X (к + 1) = Ф [х (к), к] + Fw (к),
Pw {к Д- 1) = M-w {к), |
(3.3.34) |
|||
1Чу (к + |
1) = |
fiv (k), |
||
|
||||
Y (* + |
!) = |
Y (к). |
|
|
Используя теорию оптимизации, теми же методами, что и раньше, можно получить ДТКЗ. В общем случае формулы оказываются слишком громоздкими и поэтому здесь не приводятся. Для любой конкретной задачи фор мулировка ДТКЗ оказывается не представляющим прин ципиальных трудностей, но, возможно, и очень утомитель ным упражнением. Несколько примеров будет приведено в следующих четырех главах, где рассматриваются вы числительные методы, использующие эту ДТКЗ.
Пример 3.3.1. Рассмотрим простую систему с извест ным гауссовским начальным распределением
х (к -1- 1) = х {к),
в которой скалярный наблюдаемый сигнал искажен гаус совским белым шумом с нулевым средним и неизвестной дисперсией
z (к) = Н (к) х (к) -f- v (к), к = 1, 2, . . ., kf.
Другими словами, в этом примере речь идет о задаче оценки значения постоянного сигнала в присутствии адди тивного белого шума с неизвестными средним значением и дисперсией. Мы хотим идентифицировать х и VB, мак симизируя плотность
Р [X {kf), Z {к,) |VB] = p [Z {kf) |X {kf), Vv] p [X {к{) |ТД1.
Очевидно, что
<E{z (к) |x (к), Vv} =: H (/г) x (к),
xav{z(k)\x(k), Vv) = VB, var {x (k + 1) |x {k)} = 0,
3.3] НЕИЗВЕСТНЫЕ АПРИОРНЫ Е РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 79
так что |
|
|
p [X (k f),Z(kf)\Vv] = |
|
|
_ |
1______ |
{— 0,51|х(0) ;.ixf - i ! X |
~~ (2я)1/г (detVx)1/,:! |
6ХР |
|
kS |
|
|
X П |
-----тг-г - ехР (— ° ’5F^ [z (А) — Н (А) х (А)]2}. |
|
Эквивалентная штрафная функция, подлежащая мини мизации, имеет вид
J = 0,51х (0) — цх f - i +
V X
kf
+ 0,5 2 Vv1 [z (к) — H (A) x (A)]2+ 0,5A, hi F„. fe=i
Для удобства допустим, что Vx = оо. Это эквивалентно предположению о полной априорной неопределенности относительно параметра х. Продифференцировав по каж дой из неизвестных величин х (к) и Vv и приравняв про изводные нулю, получаем
*/ |
! *1 |
|
х (kf I А,) = [ 2 |
Нт (к) Н (к) |
2 н т (A) z (к), |
|
kf |
|
К (А/1kf) = |
4 - 2 [2 (*) — H (A) x (A; I A/)]2. |
|
|
/ J£T=1 |
|
Для этого чрезвычайно простого примера оценку х уда
ется определить без знания Vv. Затем |
оценка х (kf |kf) |
используется для определения оценки |
(А/ |Щ). |
Желательно получить решение в |
последовательной, |
или рекуррентной, форме. Для рассматриваемого
простого примера |
последовательностный алгоритм иден |
тификации можно |
получить по индукции. Прежде всего |
в соответствии с |
(3.1.22) определим |
|
к1 |
М (kf) = М (kf, 0) = 2 Ит (А) И (А)
К=1
80 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 3
и затем отметим, что
k/-i |
|
М (к,) = 2 Нт (/с) Н (к) + |
R T(kf) Н (kf) = |
й=1 |
|
|
= M(kf — 1) + НТ(А:/) Н (kf). |
С помощью леммы об обращении матриц получим |
|
М-1(kf) = М-1(kf - 1) - |
М-1(kf - 1) Нт (kf) х |
X [1 + Н (kf) М-Цк, - 1) Нт (А/)]-1Н (kt) М-1 (kf - 1). |
|
Объединяя формулы для двух последовательных шагов
оценивания |
fc,-i |
|
|
X(kf |kf) = M 1 |
|
||
(kf) |
2 н т (к) z (к), |
||
|
|
/с=1 |
|
х (kf - 1 1kf - 1) = 1УГ1 |
|
Ч |
|
(kf - |
1)2 |
Нт (к) z (к), |
|
|
|
ft=1 |
|
получим
х (kf |к/) = M 1(kf) M (kf — 1) x (kf — 1 1kf — 1) -f-
+ M_1(kf) R r (kf) z (kf).
Снова воспользовавшись леммой об обращении для М'1(kf), окончательно получаем следующее соотношение, в котором опущен индекс / и используется сокращенное обозначение х (к) = х (к |к):
1 1УГ1 (к — 1) Нт {к)
х (к) = х (к — ) -f-
1 + Н (к) М-1 (к — 1) Нт (к)
X [2 (к) — Н (к) X (к — 1)].
Точно так же можно получить последовательностную фор му записи для оценки Vv (к). Именно,
[г (к) — Н (к) х (к — 1)Р 1
К {к ) = - r [ ( ft- 1) ^ ( fc- 1) + 1 + Я (/с) М-1 (/с — 1)НТ (&) J '
Эти два алгоритма идентификации, или оценивания, реа лизуются совместно с эффективным в вычислительном
3.3] |
НЕИЗВЕСТНЫЕ АПРИОРНЫ Е РАСП РЕДЕЛЕНИ Я |
81 |
отношении алгоритмом для М 1 (А): |
|
|
М-* (А) = М-1 (к - 1) - М 1(к - 1) Нт (к) X
X[1 + Н (к) М-1 (А) Нт (А)]'1 Н (к) М"1 (к — 1).
Ксожалению, для более сложных задач, чем рассмот ренная нами, не удается получить решение в последо вательностной или даже непоследователыгостной форме
столь простым образом, как в данном случае. Например, если априорная дисперсия х конечна, оценка (непосле довательностная), дающая решение задачи сглаживания
для х, имеет |
вид |
|
|
к1 |
|
|
|
х (А, |kf) = Г 2 |
НТ(А) (к, |kf) Н (к) |
|
|
л=1 |
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
X ГVxVx + |
2 |
rT (ft) Vv1(А/1kf) z (A) |
|
L |
ь._, |
|
и не может быть определена без предварительного нахож
дения оценки V0 (kf |kf), в свою очередь зависящей от х (kf |kf). Возникающие здесь затруднения удается раз решить вычислительными методами, излагаемыми в сле дующих главах.
из |
В заключение примера получим ДТКЗ, возникающую |
|
задачи минимизации |
/ . Итак, необходимо минимизи |
|
ровать |
|
|
J = |
0,51 х (0) — fixf _! + |
0,5А^ In Vv (к) + |
|
vx |
|
Ч
+0,5 2 V ;1(ft)[z(A )-H (A )x(A )]*
К= 1
при ограничениях
х (А + 1) = х (к), |
Vv(k + 1) = Vv(k). |
Канонические уравнения в соответствии с (3.3.21) — (3.3.30) запишутся в виде
£ (А + 1 1kt) = х (к |kf),
