Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ

Во многих задачах системотехники, в особенности свя­ занных с управлением, могут быть выделены четыре взаи­ модействующих части:

1)определение цели;

2)определение положения системы относительно цели;

3)определение внешних факторов, влияющих на прош­ лое, настоящее и будущее системы с последующим постро­ ением модели системы;

4)определение политики управления в соответствии с целью (1), текущим состоянием (2), внешними воздейст­ виями и моделью системы (3). Часто политика управления на этапе 4) определяется оптимальным образом; эта задача

служит предметом теории оптимального управления. В этой книге мы будем заниматься третьим из перечис­

ленных выше этапов общей задачи системотехники. В част­ ности, мы изучим построение моделей системы по записям

z (0 = h [х (it), u (t), w (t), p (t), v (it), t],

В этой’ модели наблюдений p (t) — неизвестные параметры системы, a v (t) — вектор ошибок измерений. Предпола­ гается, что вектор состояния описывается стохастичес­ ким дифференциальным уравнением

dx(t)/dt = f [x(t), u(t), w (t), p (t), t\.

Порядок уравнения, вообще говоря, неизвестен, хотя для большинства схем идентификации порядок модели пред­ полагается выбранным заранее. Эта общая задача иден­ тификации схематически изображена на рис. 1.1.

Решение задачи идентификации должно включать оп­ ределение оценки вектора неизвестных параметров р (/) и размерности вектора f, если она неизвестна. Вектор па­ раметров р (£) может состоять из коэффициентов системы

Вектор

неизвестных p(t) параметров

Рис. 1.1. Общая задача идентификации.

дифференциальных уравнений, средних значений и дис­ персий входного шума w (t) и ошибки измерений v (t).

Легко выделить некоторые подклассы этой общей за­ дачи идентификации, например:

1.Идентификация без помех, когда отсутствуют шумы w (t) и v (t). Это простейший тип задач идентификации, при котором имеется известный вход u (t) и точные наблю дения функции вектора состояния.

2.Модели наблюдений и системы линейны.

3.Входной шум w (t) ненаблюдаем.

Вдальнейшем будут рассмотрены некоторые из этих подклассов.

Определение всех характеристик процесса, модель ко­ торого нужно построить, не является, вообще говоря, не только возможным, но даже и желательным. Характери­ стики, знать которые необходимо, определяются целью, поставленной перед системой, допустимой степенью слож­ ности системы в целом и требованиями к сопутствующим вычислительным процедурам.

При классическом подходе к проектированию систем моделирование осуществлялось лишь один раз в процес­ се проектирования, и этот этап по-прежнему остается важ­ ной частью идентификации и моделирования. Во многих

современных системах желательно использовать повтор­ ную или непрерывную в реальном масштабе времени иден­ тификацию, чтобы обеспечить возможность оптимальной адаптации системы в условиях неопределенности и изме­ нения внешних воздействий. Поэтому мы будем здесь изу­ чать методы идентификации, одинаково применимые как в реальном, так и в измененном масштабе времени, при идентификации вне контура регулирования. Излагаемые ниже вопросы можно разделить на три класса:

1)«классические» методы идентификации,

2)функции штрафа в задачах идентификации,

3)вычислительные методы идентификации.

Глава 2 представляет обзор различных классических методов идентификации. Мы обсудим простую «музейную» задачу идентификации по отклику на синусоидальный сигнал как для элементарного случая линейной системы с постоянными параметрами, так и для значительно более сложного случая линейной, но нестационарной системы.

За обсуждением метода определения весовой функции объекта, основанного на подаче белого шума на вход и вычислении корреляционной функции выходного сигнала со сдвинутым во времени входным, следует приложение уравнений фильтра Калмана к определению весовой функции стационарной линейной системы. Кратко изу­ чено применение винеровской аналитической теории нели­ нейных систем, а также критически рассмотрен подход к задаче идентификации, использующий обучающиеся мо­ дели и оказавшийся весьма популярным при построении моделей для адаптивного управления.

Глава 3 полностью посвящена формулировке функций штрафа для задач идентификации. Рассмотрены, в частно­ сти, идентификация по методу максимума апостериорной вероятности (байесовский подход к методу максимума правдоподобия) и классические методы оценки максималь­ ного правдоподобия. При оценивании по методу макси­ мального правдоподобия максимизируется условная плотность вероятности результатов наблюдений относи­ тельно некоторых постоянных, но неизвестных парамет­ ров с помощью оптимального выбора этих параметров. Идентификация по методу максимума апостериорной ве­ роятности осуществляется максимизацией условной плот­ ности распределения ш известных случайных параметров

относительно наблюдаемого выходного сигнала. Два важ­ ных метода идентификации — по минимуму дисперсии и с помощью условных математических ожиданий — в этой главе по существу не рассматриваются, поскольку в на­ стоящее время недостаточно разработаны вычислитель­ ные методы построения оценок на основе условных мате­ матических ожиданий. Будет, однако, показано, что оценки состояния по условным математическим ожиданиям сле­ дуют из метода максимума правдоподобия. В главе 7 продемонстрирована также тесная связь между алгорит­ мами последовательных приближений при идентификации с помощью условных математических ожиданий и соответ­ ствующими алгоритмами метода максимума апостериорной вероятности для достаточно широкого класса задач.

В главах 4—7 обсуждаются различные вычислительные методы решения задач идентификации. В главе 4 предла­ гаются прямые вычислительные методы, основанные на анализе первых и вторых вариаций. Градиентные методы первого и второго порядков, а также метод сопряженного градиента даны в применении к одно- и многошаговым,

атакже непрерывным задачам идентификации.

Вглаве 5 излагается стохастический градиентный ме­ тод первого порядка или метод стохастической аппрокси­ мации. Дан углубленный анализ задачи идентификации динамики линейной системы с помощью стохастической аппроксимации.

Вглавах 6 и 7 обсуждаются два прямых вычислитель­ ных метода решения задач идентификации. Излагаются дискретный и непрерывный методы Ньютона — Рафсона, или методы квазилинеаризации, в применении к различнымзадачам идентификации. В главе 7 изучаются дискрет­ ные и непрерывные методы инвариантного погружения, порождающие последовательные приближения к решению двухточечной краевой задачи и задач с функциями штрафа пз главы 3.

Обширная библиография современных исследований • по идентификации составляет заключительный раздел книги. Работа с библиографическим указателем облегча­ ется наличием у каждой включенной в него работы ссыл­ ки на главу или раздел данной книги, в которой исполь­ зуется соответствующий материал.

Г л а в а 2

КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

2.1.ВВЕДЕНИЕ

Вэтой главе рассматривается ряд так называемых «классических» методов идентификации. Слово «класси­

ческие», пожалуй, несет оттенок старомодности, в данном случае совершенно непреднамеренный. Напротив, термин «классические» здесь используется в смысле «проверен­ ные и испытанные» давно используемые методы, в отли­ чие от сравнительно недавно развитых «современных» ме­ тодов, составляющих содержание остальных глав книги.

Методы этой главы дали хорошие результаты в приме­ нении к большому числу практических задач. Основной недостаток этих методов, за исключением метода обучаю­ щейся модели, заключается в их непрямом подходе к за­ даче. Это утверждение, по-видимому, нужно пояснить. Классическими методами обычно определяется весовая или передаточная функция системы. В то же время, как правило, наиболее желательно получить основные диф­ ференциальные уравнения, описывающие систему, а за­ дача построения модели системы по весовой или переда­ точной функции далеко не всегда тривиальна, особенно если эти функции получены, как это обычно бывает, в графической форме.

2.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ИЗ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ

В этом разделе рассматриваются простые методы опре­ деления весовой функции стационарной линейной системы. Для простоты мы ограничимся системами с одним входом и одним выходом. Рис. 2.2.1 иллюстрирует эту задачу: по наблюдениям входного и выходного сигналов линейной стационарной системы на конечном промежутке времени 0 < * < Г нужно определить ее весовую функцию h {t).

Приведенная формулировка задачи чрезмерно претен­ циозна и нуждается в некоторых упрощениях, чтобы стать доступной для математического исследования. Мы будем наблюдать входные и выходные сигналы только в N рав­ номерно распределенных на отрезке [О, Т] с шагом А точ­ ках фиксации, причем N А = Т. Основываясь на этих данных, мы будем искать приближенные значения весовой функции в указанных точках.

Рис. 2.2.1. Схема задачи определения весовой функции.

Выходной сигнал системы при входе w (t) и нулевых начальных условиях выражается хорошо известным ин­ тегралом свертки

f

о'

Здесь предполагается также, что вход w (т) равен нулю при т < 0. Кроме того, потребуем, чтобы w (0) Ф 0; если это ограничение не выполнено, ему легко удовлетворить соответствующим преобразованием независимой перемен­ ной t.

Введем теперь аппроксимацию входной функции вре­ мени w (t), полагая ее равной значению в левой точке фик­ сации на всем интервале между двумя соседними точками. Следовательно, мы принимаем

и> {t) m w (пА) при пД < t < (га + 1) А. (2.2.2)

Точно так же функцию h (t) примем постоянной между точками фиксации, присвоив ей значение, соответствую­ щее средней точке интервала: