ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 0
2.2] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ 17
зовать ряд других способов аппроксимации. Впрочем, при достаточно малых Д все они приводят к одинаковым отве там. Один из лучших способов проверить, достаточно ли мало Д,— повторить все вычисления для Д' = Д/2. Если не происходит заметных изменений, то Д достаточно мало,
в противном случае следует выбрать Д" = Д72 и |
снова |
||
провести вычисления. |
|
|
и h(t) |
В терминах ступенчатых аппроксимаций w(t) |
|||
интеграл в (2.2.1) при |
t — пА |
приближенно запишется |
|
в виде |
|
|
|
77 — 1 |
|
|
|
7/(пД) = Д |
' |
Д — *д) Ы7(£Д). |
(2.2.4) |
г=0 |
' |
|
|
Обозначив ./V-вектор наблюдений выхода через |
|
||
ут (У) = уТ (Т) |
= [у ( А ) |
у (2Д )... у (NД)] |
(2.2.5) |
и iV-вектор значений весовой функции в точках фиксации через
Ьт (Г) = [ й ( 4 - ) Л ЗА |
|
|
Д |
(2.2.6) |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
перепишем уравнение (2.2.4) в виде |
|
|
|
|||
|
у(Г) = Д\УЬ(Г). |
|
|
(2.2.7) |
||
Здесь матрица W определяется равенством |
|
|||||
_ |
w (0) |
0 |
0 |
0 |
. . . 0 -| |
|
|
w (Д) |
w '0) |
0 |
0 |
. . . 0 |
|
w = |
w (2Д) |
w (Д) |
и' (0) 0 |
. . . 0 |
|
|
_w [(N - 1) Д] |
xv [(N — 2) Д] |
|
|
|
|
|
Отметим, что W — левая треугольная матрица.
Теперь задача сведена к определению из уравнения (2.2.7) вектора h значений весовой функции в точках фик
сации. |
Ввиду условия |
w (0) ф 0, как |
легко видеть, |
det VV = |
[w (0)Р Ф 0 и |
W невырождена. |
Поэтому фор |
мально решение уравнения (2.2.7) можно записать в виде
h = W _1y. |
(2.2.8) |
Благодаря левой треугольной форме W выражение для h
18 |
КЛАССИЧЕСКИЕ М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
[ГЛ , 2 |
легко переписать в рекуррентном виде |
|
|
|
П—1 |
|
|
|
(2.2.9) |
где |
|
|
|
(2.2.10) |
|
и |
(2.2.11) |
|
|
||
|
Отметим, что в (2.2.9) необходимо оперировать |
с по |
стоянно растущим объемом данных. Для определения hn нужно произвести примерно п умножений и столько же сложений. Поэтому использование этого алгоритма для последовательной идентификации или идентификации в реальном масштабе времени становится невозможным, как только интересующий нас интервал времени пере стает быть достаточно малым. Кроме того, накапливаю щиеся ошибки округления существенно снижают точность метода при возрастании п. Тем не менее эта процедура очень проста и может быть вполне эффективной для многих задач идентификации. Применяя быстрое преобразование Фурье, также удается существенно упростить вычислитель ную процедуру метода решения уравнения свертки. Другим достоинством рассмотренного подхода является возмож ность использовать любые входные сигналы. Поскольку нет необходимости применять специальные тестовые сиг налы, можно использовать реализации, полученные в процессе нормальной эксплуатации системы.
Если входным сигналом является функция единичного скачка, алгоритм (2.2.9) заметно упрощается. В этом слу чае w (гД) = 1 для всех г, и поэтому (2.2.9) принимает вид
П—1
(2.2.12)
Определив величину
п—1
(2.2.13)
2.2! М ЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИ Я ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ 19
удается привести это выражение к особо удобному виду
К = - Нп. (2.2.14)
При этом Мп определяется простым рекуррентным соот ношением
Нп = //n-i 4~ hn-1- |
(2.2.15) |
Алгоритм (2.2.14), (2.2.15) записан в простой форме, пред полагающей выполнение двух сложений и одного деле ния (на А) на каждом шаге.
w(t) |
! |
yd У |
.у + /
'
Рис. 2.2.2. Пример 2.2.1.
Пример 2.2.1. Проиллюстрируем применение полу ченных выше результатов на простом примере. Задача показана на рис. 2.2.2; истинная весовая функция объекта равна
h (t) = e~l.
Для идентификации на вход подается единичный скачок,
инетрудно убедиться, что выходной сигнал равен
у(t) = 1 — е_г.
Значения весовой функции были определены в точках ин тервала 0 < if < 1, расположенных с шагом А = 0,1. Точные и приближенные значения h (t) даны в табл. 2.2.1 п демонстрируют отличное совпадение. Разумеется, эта задача очень проста, так что естественно ожидать хоро ших результатов.
Помимо отмеченных выше вычислительных трудностей, применение этого алгоритма наталкивается на дополни тельные осложнения, если измерения выхода сопровож даются заметной помехой. Поскольку каждому измере нию выходного сигнала алгоритм сопоставляет одно зна-
20 |
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
[ГЛ. 2 |
Таблица 2.2.1
Точные и приближенные значения весовой функции
|
|
h { t ) |
|
|
h i t ) |
|
Точные |
Приближен |
t |
Точные |
Приближен |
|
ные |
|
ные |
||
|
значения |
значения |
|
значения |
значения |
0 ,0 5 |
0,951229 |
0,951625 |
0 ,5 5 |
0,576950 |
0,577189 |
0 ,1 5 |
0,860708 |
0,861068 |
0 ,6 5 |
0,522046 |
0,522264 |
0 ,2 5 |
0,778801 |
0,779125 |
0 ,7 5 |
0,472367 |
0,472561 |
0 ,5 5 |
0,704688 |
0,704981 |
0 ,8 5 |
0,427415 |
0,427594 |
0 ,4 5 |
0,637628 |
0,637894 |
0 ,9 5 |
0,386741 |
0,386903 |
чение весовой функции в очередной точке, усреднение помех оказывается невозможным. Для борьбы с шумом мож но провести ряд экспериментов при одинаковых входных сигналах и использовать для определения весовой функ ции усредненные значения выхода. Если повторение вход ного сигнала недоступно, можно усреднить значения ве совой функции, вычисленные для нескольких наборов раз личных входных и зашумленных выходных сигналов. При таком подходе, однако, может заметно возрасти объем вычислений.
Существует еще один метод, применимый при наличии помех на выходе. Правда, он требует усечения весовой функции при некотором конечном значении времени. Ес ли объект асимптотически устойчив, так что h ( t ) - + 0 при t —> сю, то при таком усечении не допускается серьез
ной ошибки. Допустим, что h(t) |
= 0 при t^> |
Т, |
а измере |
|
ния входа и выхода осуществлены для 0 < |
t < |
tf = mA, |
||
причем tf |
Т. |
выше алгоритма налицо |
||
В терминах рассмотренного |
||||
значительный избыток информации, так как достаточно иметь лишь измерения входных и выходных сигналов для
0 < * < Г . |
Эти |
избыточные |
данные |
можно использовать |
|||
для |
улучшения |
оценок |
весовой функции. |
Чтобы пока |
|||
зать, |
как |
это можно сделать, |
перепишем формулу (2.2.7) |
||||
в предположении, что h (t) усечена: |
|
|
|||||
|
|
y(C-) = A\V |
(Г)Ь(Г) + |
у(С). |
(2.2.16) |
||
2.2] |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИ Я ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЙ |
21 |
Здесь |
|
|
|
Ут ('/) = №(д) У(2А) ...у(тА)], |
(2.2.17) |
и- (0)
w ( Д )
w [( Л 7 — 1) А ]
w (.'VA)
|
0 |
. . |
0 |
|
w (0 ) |
. . |
0 |
w |
[(;V — |
2) A ] . . |
u- (0 ) |
w |
[ ( . V — 1 ) A ] . . . |
w ( A ) |
|
_ w [ ( h i — 1) A ] w [ p a — 2 ) A j . |
. w [ ( w — N ) A ] _ |
(2.2.18)
a h (Т) по-прежнему определяется равенством (2.2.6). Шум на выходе предполагается аддитивным, с нулевым математическим ожиданием и выражается вектором v (tf), определяемым как
vT (tf) = h (A) v (2A) ... v(mA)]. |
(2.2.19) |
Ковариационную матрицу v (tf) обозначим
var {v (tf)} = \y(tf).
Оценка h (T) no m-мерному вектору наблюдений у (tf) — классическая задача теории точечных оценок (Сейдж и Мелса [127]). Наилучшая в среднеквадратическом смысле оценка h (Т) выражается формулой
h (Т) = [\v? (Т) v ? w . (Г)Г1 w j (Т) v ;xy (tf). (2.2.20)
Заметим, что для ее вычисления требуется обращение мат рицы размера N X N. Кроме того, алгоритм не рекуррент ного типа, так как вычисления можно провести, только собрав всю исходную информацию полностью.
Если компоненты вектора шума v (iА) независимы и имеют дисперсии Vv (iA), то алгоритм построения оценки h (t) можно записать в простой рекуррентной форме. Бу дем обозначать через h (Т |п) оценку, основанную на век торе наблюдений в п точках у (нА). Легко показать (Сейдж и Мелса [127]), что при этом
h (Т |п) = h (Т |п — 1) + к (пА) [у (пА)— с (пА) h (Т |п — 1)].
(2.2.2
