ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
22 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 2
Здесь TV-вектор к (гаА) определяется как
к (гаА) = V [(га — 1) А] ст (пА) {с (гаА) V [(га — 1) А] с г (гаА) -\-
|
+ |
V0(raA)r\ |
(2.2.22) |
N X Лт-матрица V (гаА) задается разностным |
уравне |
||
нием |
V (гаА) = [I — к (гаА) с (гаА)] V [(га — 1) А], |
(2.2.23) |
|
|
|||
а TV-мерный вектор-строка с (гаА) есть |
|
||
с (гаА) |
{w [(га — 1)Д]га> [(га — 2)А] |
... w [(га — TV)A]} |
|
|
|
|
(2.2.24) |
Применение этого алгоритма можно начать с определения h (t |N) из (2.2.9) по первым N наблюдениям и затем ис пользовать рекуррентное соотношение (2.2.21) по мере накопления новой информации. При подобном последова тельном подходе требуется обращение лишь скалярных величин.
Пример 2.2.2. Применим этот рекуррентный алгоритм к задаче идентификации из примера 2.2.1. При этом мы с малой ошибкой дюжем считать, что h (t) — 0 для t О 4. Воспользуемся снова входным сигналом в виде функции
единичного |
скачка; в данном случае, при га )> 40, с (гаА) |
|
оказывается |
постоянным 40-мерным вектором вида с = |
|
= [111 ...1]. |
Алгоритм |
построения оценки (2.2.21) примет |
вид |
|
|
hi (4 |га) = к-, (4 1га ■ 1) + |
(гаА) у (гаА) — 2 % (4 1га — 1), |
|
|
|
3=1 |
|
|
1= 1 , 2 , . . . , 40, га)>40, |
причем компоненты векторного коэффициента усиления определяются формулой
10 |
40 |
40 |
-1 |
h (гаА) = ^ |
VHК» - 1) Д] ( 2 |
S Vip К» - 1) Л] + Vv)~\ |
|
з=1 |
ч=1 р=1 |
|
|
Vij (гаА) = |
Уц [(га — 1) А] — к} (гаА) 2 |
v u К» — 1) А]. |
|
|
|
;=i |
|
Отметим, что этот метод требует значительного объема вы числений, так как необходимо примерно 40 х 40 = 1600
2.3] КОРРЕЛЯЦИ ОННЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 23
сложений на каждом шаге. Применение алгоритма сле
дует начинать с определения h (4 |40) с помощью уравне ний (2.2.14) и (2.2.15).
При выводе алгоритмов численного решения уравне ния свертки для систем более высокого порядка обычно приходится сталкиваться с проблемами численного ана лиза, лежащими за пределами нашего рассмотрения. За интересованного читателя мы отсылаем к многочисленным источникам, приведенным в библиографическом указате ле, где эти вопросы детально исследованы. Многие из воз никающих здесь вычислительных проблем могут быть ре шены применением быстрого преобразования Фурье.
2.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Часто употребляемый метод идентификации динамики линейной системы основан на использовании белого шума в качестве входного сигнала и применении корреляцион ных методов. Этому подходу присущ ряд достоинств:
1) идентификацию можно проводить независимо от записей реализаций сигналов, получаемых в процессе нормального функционирования системы;
2) вычисление корреляционных функций на достаточ но длинном временном интервале позволяет снизить амп литуду пробного воздействия настолько, чтобы объект не испытывал существенных возмущений;
3) не требуется априорных сведений об идентифициру емой системе;
К сожалению, ряд серьезных недостатков ограничива ет применимость этого метода. Среди них:
1) решение задачи часто требует слишком большого времени;
2)использование белого шума вызывает необходимость
вдополнительной аппаратуре и средствах программиро вания;
3)метод применим лишь к линейным системам, а фак
тически — лишь к линейным системам с медленно меняю щимися характеристиками.
Основную задачу идентификации, которую мы будем исследовать, иллюстрирует рис. 2.3.1. Для индентификации высокочастотной составляющей h (t) необходимо, что бы W (0 был широкополосным сигналом, и определение
24 |
КЛАССИЧЕСКИЕ М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
[ГЛ . 2 |
h(t) с нулевой ошибкой требует, вообще говоря, бесконеч ной полосы сигнала w (t). Практически почти всегда уда ется подобрать пробное воздействие, спектр которого зна чительно шире полосы пропускания системы. Поэтому мы
|
|
Помеха |
|
|
|
измерений |
|
Входной |
|
|
v(tl |
тестовый |
Неизвестнаясисте |
уШ + |
Наблюдения |
сигнал |
масВесоВой Финк |
||
wit) |
> иией h(t) |
|
z (t f |
Рис. 2.3. l ." Задача^идентификации линейной |
системы с внешними |
||
|
^тестовыми |
воздействиями. |
|
ье будем рассматривать ошибки, возникающие из-за огра ниченности спектра'-источника входного шума, хотя сделать"это совсем нетрудно. Наблюдению доступен только г (г) —’ искаженный шумом вариант выходного сигнала
■(t), а не сам у {t).
vft)
Рис.. 2.3.2. Коррелятор в задаче идентификации.
Блок-схема корреляционного метода идентификации приведена на рис. 2.3.2. Предполагается, что система функционирует достаточно длительное время, так что до стигнуто стационарное состояние. В то же время влияние нормального функционирования системы на процесс иден тификации не рассматривается. Шумы w (t) и v (t) пред полагаются эргодическими гауссовскими с нулевыми сред
а.эз |
КОРРЕЛЯЦИ ОНН Ы Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
25 |
ними значениями. Как станет ясно впоследствии, предполо жение о равенстве нулю математических ожиданий шумов очень существенно, и нужно внимательно следить за обеспечением равенства средних значений нулю 1(если они отличны от нуля, но известны, их влияние может быть уст ранено путем центрирования случайных процессов). Ус редненное по времени значение выхода коррелятора есть
t
xa(t) = ^ x ( k ) d X , (2.3.1)
о
причем соотношения |
|
|
|
х (t) |
= |
z (t) w (t — т), |
(2.3.2) |
2 (0 |
= |
У (0 + v (0. |
(2.3.3) |
|
|
оо |
|
у (t) = |
5 h (ц) w (t — н) dr\ |
(2.3.4) |
|
|
|
О |
|
следуют сразу из рис. 2.3.1 и 2.3.2.
Как видно из (2.3.1) и (2.3.2), математическое ожидание выхода коррелятора с учетом эргодичности и определения
Rwz (т) = S' {w (t)z (t + т)} есть |
|
|||
|
|
|
t |
|
|
$ |
(0) = -у- ^ $ {%(М) d% = <${ж} = Rwz (т). |
(2.3.5) |
|
|
|
|
о |
|
Согласно |
(2.3.3), (2.3.4) и предположению о |
равен |
||
стве |
нулю |
среднего |
значения v (t), обозначив Rw (т) = |
|
= $ |
{w (г) w(t + т)}, |
получаем |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
%(®а(0} = Rwz (t) = $ л (тО Rw(т — Т))di\. |
(2.3.6) |
||
|
|
|
о |
|
Применяя преобразование Фурье, приходим к соотноше нию для взаимной спектральной плотности *)
Rwz (s) = h (s) Rw (s). |
(2.3.7) |
*) Авторы употребляют одинаковые обозначения (изменяя только аргумент) для корреляционной функции и соответствующей спектральной плотности, что не должно вводить читателя в заблуж дение. (Ирим.перев.)
26 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 2
Если полоса частот В ю (s) |
значительно шире, |
чем полоса |
|
h (s), то приближенно можно считать, |
что |
|
|
Rwz (s) ~ kh (s), |
Rwz (т) = |
kh (т). |
(2.3.8) |
Это соотношение является точным, если w(t) — белый шум, так что, обозначив через 6п дельта-функцию Дирака, мож но записать
Rw (х) = Rw6D (t), Rw (s) = R j2 n , |
(2.3.9) |
и тогда при Rw = 1 |
|
Rm (t) = 8 {xa(t)} = h(x). |
(2.3.10) |
Таким образом достигается полная идентификация систе мы, если использовать N параллельных корреляторов, позволяющих измерять
R w z Ы = h (x t), |
i = 1, 2, ... N. (2.3.11) |
Отметим, что до сих пор никак не использовалось пред положение о гауссовости сигналов, так что в качестве ис точников пробных сигналов можно было бы применять и негауссовские источники. Однако анализ погрешностей, к которому мы теперь переходим, существенно исполь зует допущение о гауссовости. Для определения статисти ческих характеристик ошибки идентификации удобно вы числить корреляционную функцию выходного сигнала мультипликатора:
(т) = % {х (о X (t + г)} = $ {z (t) Z(t + r) w ( t ~ т) X
X W (t — x + т) = Щ{v (l) v (t + y)} $ {w(t — x)w(t—t + y)} +
oo oo |
|
|
+ $ § h (Xx) h (k2) |
$ {w(t — x)w[t + у — t ) w(t — %{) X |
|
о |
X w (t -f y — Я,2) dKx dK2}- |
(2.3.12) |
|
||
Воспользуемся свойствами момента четвертого порядка гауссовской случайной величины (Сейдж и Мелса [127]). Именно, если совместное распределение ах, а3 и а4 гаус совское, то
= ^ {аха г } $ {а 3а4}-[-<Е {axa 3} Щ{а2а414- Щ {а,а4} е? {а.га А}.
( 2. 3. 13)
2.3] |
КО РРЕЛЯЦ И ОНН Ы Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФ ИКАЦИИ |
27 |
Использовав это соотношение в (2.3.12), получим |
|
|
^.v(T) = ^ (T )^ (T )+ S $ h(X1)h(X2[Rw(y)Rw( y + ' h i- ^ ) +
О о |
|
НRw (f — ^i) Rw (т — X2) + |
|
+ #«,(*-] T — ^2) Rw (x — T — ^i)l d%i dX2. |
(2.3.14) |
Часть этого выражения представляет собой сигнал из (2.3.6). Остальные члены дают погрешность измерений.
Предполагая, что шум w(t) — белый, Rw (у) = = Rw8d (у), получим из (2.3.14)
я х (т) = Rv (т) Rw8D (Т) + h2М Rw + R lh (т + Т) h (т — у) +
<50
+ Rlbo (Т)$ W i ) h ( h 4- Т) d K |
(2.3.15) |
о |
|
Определив |
|
Rx (г) = R U r) + Re(т) = h* (т) Rl + Re(у), |
(2.3.16) |
получим |
|
Re (т) = Rv (Т) RwbD (т) + Rlh (т + у) h (т — у) -j- |
|
<50 |
|
+ Rl8D (У) l h (Xy) h (Ху + у) dXy. |
(2.3.17) |
Такова корреляционная |
функция шумовой компоненты |
х (t). Первый член этого выражения объясняется влияни |
|
ем внешнего шума v (t). |
Два остальных возникают исклю |
чительно благодаря самой идентифицируемой системе и пробному сигналу. Линденлауб и Купер [92] показали, что соответствующим выбором псевдослучайного проб ного сигнала удается устранить влияние этих двух послед них членов предыдущего соотношения. Как правило, именно эта ситуация и возникает во многих практических задачах идентификации, когда дисперсия помехи измере ний значительно превосходит дисперсию пробного сигна ла. При этом условии корреляционная функция шумовой составляющей х (t) равна
Re(У) = V* {у) = Rv (У) Rw^oiy)
и представляет собой дисперсию х (t), вычисленную в предположении, что последние два слагаемых в (2.3.17)
