Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

4)решить относительно X1' уравнение

5)определить градиент

6) используя алгоритм стохастической аппроксимации построить новое приближение

Пример 5.2.1. Рассмотрим задачу отыскания линей­ ного фильтра, минимизирующего

/ = £{1|x(f)-x(*)||l|Z(*)},

для стационарной линейной системы с некоррелирован­ ными входными шумами и ошибками измерений

х = Fx(f) + w(f), $ W O } = 0, cov {w (t), w (t)} =

= ^ W6D (t — T);

s = Hx (f) + v (0, ^ {v (i)} = 0, cov{v(0 , v (t)} =

= 4>vaD( f - 1 ) .

Хорошо известно, что решение этой задачи определяется следующей системой уравнений (Сейдж [116], Хо и Брай­ сон [50]; Сейдж и Мелса [127]):

Предположим, что выход фильтра наблюдается достаточ­ но долго для того, чтобы закончились переходные про­ цессы. Допустим также, что мощности шумов являются

случайными по ансамблю и известны только их средние значения

ff{«Pv} = 4 " v.

Очевидны три метода конструирования фильтров: 1. Можно построить субоптимальный фильтр

X i = F x j + Жу [г (<) — Н х (*)],

жу=

О = F 3 y + E y F r - Е у К ' ^ И З у + ¥ w ,

являющийся стационарным фильтром Калмана, на кото­ рый поступает помеха со средней для ансамбля интенсив­ ностью.

2. Можно построить субоптимальный адаптивный фильтр

х2 = Fx2 (t) -ф Ж<у (t) \ъ(t) — Нх (01,

X*(t) = S a H ^ ;1^),

Si = F 32 (t) + S2 (t) FT - S2 (t) Ht*F;xH32 (t) + *FW(0.

В этом случае для оценки параметров помех использу­ ются подходящие адаптивные алгоритмы оценивания (Сейдж и Хуса, [123]). Для многих задач это решение прак­ тически неприемлемо, так как приводит к слишком слож­ ным вычислительным процедурам.

3. Вместо фильтра пункта 1 можно использовать фильтр той же сложности реализации

х = Fx (t) + Жа [z (t) — Нх (£)],

где Х 3 — константа, которая выбирается так, чтобы мини­ мизировать ошибку оценивания с учетом случайно­ сти (по ансамблю) параметров 4*w и V y Легко показать (Сейдж [116]; Сейдж и Мелса [127]), что величина диспер­ сии ошибки Е = var {х (t) — xs0 (t)} на выходе субопти­ мального фильтра

xso = Fxso -f X so(t) [z (t) — H (t)x60 (f)l

где D (if) = F — X S0El. Это справедливо для фильтров пунктов 1 и 3. Особенно интересно определить величину дисперсии ошибки в стационарном режиме для постоян­ ного Ж so. Для этого нужно найти положительно опреде­ ленное решение уравнения

0 = DE + EDT -f X t0'iryx Z + 'Fw,

где D — F — Ж,011. Используем функцию штрафа вида

/= rS {Sp E)

вкоторую подставляются неотрицательно определенные решения Е. Для фильтра из пункта 1 усиление X s0 опре­

деляется средними значениями 4*w и Фу. Для фильтра пункта 3 мы хотим определить X s0, доставляющее ми­ нимум J. В силу случайности 4*w и Фу будем пользовать­ ся методом стохастической аппроксимации. Мы хотим минимизировать выбором Жf0 функцию штрафа

здесь Л — симметрическая матрица множителей Лагран­ жа. Оптимальная величина Жso определяется решением следующей системы уравнений:

В этом частном случае математические ожидания легко вычисляются, в результате имеем

«■,0 = - g { E } H T4f;1,

где ё {Е } определяется уравнением ограничения. Под­ ставляя выражение для Ж80 в уравнение ограничений, на­ ходим простую форму записи ограничения на выбор оп­ тимальной ошибки Е:

О = ¥ ё {Е} -| - Щ{Е} FT - Щ{Е} HT^ ; 1Hg {Е} + ¥ w.

Мы приходим к не такому уж удивительному выводу о том, что «наилучшее» усиление калмановского фильтра определяется подачей на фильтр Калмана средних зна­

чений 4*w и фу.

Интересно проверить этот результат на простом при­ мере. Рассмотрим следующую систему уравнений вход­

Величина 'Fw равномерно распределена на отрезке [1 — а,

УС,

g(E) = - f -

wr„

и максимальным отклонением ± olI2Kso. В этом частном случае мы видим, что «наилучшее», т. е. минимизирующее

как коэффициент усиления фильтра Калмана с характе­

Рис. 5.2.1. Дисперсия ошибки Е как функция и; пример 5.2.1.

очевидно, что максимальное и минимальное значения дис­

стоит в минимизации максимальной ошибки. В этом слу­

ошибки. Минимаксный критерий приводит к несколько меньшим значениям максимальной дисперсии ошибки. Таким образом, мы могли бы прийти к выводу о том, что оба критерия приводят к довольно близким результатам. Такое имеет место довольно часто, хотя, разумеется, не всегда. Можно считать этот факт счастливой удачей, так как минимизация среднего значения функции штрафа, хотя и достаточно трудная задача, но все же проще мини­ мизации максимальной ошибки.

Пример 5.2.2. Вернемся к примеру 5.2.1, предпо­ ложив на этот раз, что неизвестны матрицы коэффици­ ентов F, G и И. Таким образом, система описывается уравнениями

где интенсивности помех T w (t) и T v (т) предполагаются известными, а для F, G и Н известны только их средние

значения F, G и Н.

Один из возможных способов синтеза сводится к ис­ пользованию обычного фильтра Калмапа в предполо­

жении, что F, G и Н есть истинные значения коэффи­ циентов. В стационарном случае это приводит к алго­ ритму

х = Fx ф- Жх [z (t) — Нх (£)],

жч = а 1н тт ’; 1,

О = FB i+ SiF1’ - S iffV ^ H S ! + G'FWGT.

Лучшей альтернативой является использование фильтра вида

х = Fx (t) + Ж$0[z (t) — Нх (*)],

где Х ю подбирается так, чтобы минимизировать мате­ матическое ожидание дисперсии ошибки

{var {х (0 — х (t)}}.

5.2] СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 149

Вычитая из уравнения системы уравнение субоптималь­

характеризуют ошибку моделирования. Удобно ввести вектор расширенного состояния и вектор входов

Хорошо известно, что дифференциальное уравнение для дисперсии ошибки имеет следующий вид:

Vx = А (0 Ух (<) + Vx (t) Ат (0 -J- В (0 *FWBT(t).

Интересно найти решение этого уравнения в стационарном

режиме; для этого положим Vx = 0. Коэффициент усиле­ ния субоптимального фильтра будет выбран так, чтобы $ {S pV -} было минимальным. Так как случайные пара­

метры F, G и Н на величину Vx не влияют, то минимиза­