ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 0
5.2] |
СТОХАСТИЧЕСКАЯ |
АППРОКСИМАЦИЯ |
155 |
||
управления и (к), |
минимизирующего |
функционал |
|||
|
|
|
frf-1 |
|
|
|
/ = |
* { 4 - * » < * ,) + 4 - 2 |
**(*)}. |
||
|
|
|
fc=fc0 |
|
|
Определим гамильтониан |
|
|
|
||
Н = |
и2 (к) -|- % (к + |
1) [х (к) -|- и(к) |
w (/с)]. |
||
Стохастический принцип максимума приводит к следую щей системе канонических уравнений:
х (к + 1) = х (к) -j- и (к) -f- w (к), х (к0) = х0,
$ {и (к) + к (к + 1)} = 0, 8 {к (к f 1) - к i(k)} = О,
8 {к (к}) - х (kf)} = 0.
Легко показать, что решение |
этих уравнений имеет вид |
|
и (к) = — |
X (/со) |
’ |
kf — ко |
||
|
к- 1 |
|
X(к) = ж (*о)+ 2 |
Iu(k) + w(k)]. |
|
|
к=к„ |
|
Вместо того чтобы непосредственно решать систему кано нических уравнений стохастического принципа макси мума, воспользуемся алгоритмом стохастической аппрок симации. В данном случае сопряженное уравнение из пункта 5) имеет вид
^ |
^ |
Ч */) = *(*/)■ |
Это уравнение имеет решение к (к) = х (к,). Запишем алгоритм стохастической аппроксимации для итераций управлений
“ 1+I (к) = |
и* (к) - |
Ю |
== и1 (к) - |
КУ[и< {k) |
+ * (kf)]. |
Отсюда видно, что |
если |
начальное |
приближение бы |
||
ло выбрано |
постоянным, |
то и последующие |
итерации |
||
156 СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ [ГЛ . 5
управления от времени не зависят. Используя запись
= u (^) + |
^ (^ + ^) = |
u |
+ 1) + ^ (к,), |
|
получаем, что |
|
|
|
|
г&{т т д г ) |
= |
ui W |
^ |
(*/)}> |
[9м (к)) |
|
|
|
|
таг{ ^ } |
“ |
та ги ‘ <'['>1' |
|
|
так что дисперсия дН!ди1(к) постоянна для всех г:
var
Это также непосредственно вытекает из системы разно стных уравнений при постоянном гг:
к—1
|
X1(к) = |
X1 (к0) + |
2 |
[ц1 + |
wi (*))• |
|
|
|
|
|
|
|
к=к„ |
|
|
|
|
Для проверки |
достаточно подсчитать моменты |
|
||||||
|
|
|
|
kf—i |
|
|
|
|
<о {х1 (к/)} = |
xi (к0) -j- 2 |
ui> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
к=к„ |
|
|
|
|
|
|
|
kf-l |
|
|
|
|
|
var {xl (к,)} = |
var | ^ |
^ (&)} = |
F* (&/)• |
|
|
|||
|
|
|
«=Jc0 |
|
|
|
|
|
Из того, |
что |
var {дН/ди1(к)} |
= const, |
видно, |
что |
|||
алгоритм |
стохастической |
аппроксимации |
н1+1 = |
— |
||||
— К1 (дН/ди*) сходится в том смысле, |
что Iim |
var н* |
= О, |
|||||
|
|
|
|
|
|
г—>х> |
|
|
если Я1 = 1/г. Однако если, как и в обычном градиентном методе, выбрать Ю = const, то
lim var {и1} = оо
i—*00
и алгоритм расходится. Это может поставить под сомнение результаты главы 4 по сходимости градиентных алго ритмов первого и второго порядков. Здесь проявляется
5.2] |
СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ |
157 |
основное отличие исследуемых подходов. В градиентных методах главы 4 на всех итерациях используется одна и та же реализация случайных компонент, тогда как для метода стохастической аппроксимации характерно то, что на каждом шаге получают новую реализацию случайной последовательности (к) в соответствии с известным ве роятностным распределением р [£7(А)]. Таким образом, в двух последних главах вопрос о сходимости ставится по-разному. Используя каждый раз новую реализацию, мы надеемся, что смещение оценок искомых параметров будет по всей видимости меньше, чем в случае, когда «про кручивается» одна и та же выборка случайных парамет ров. Дело просто в том, что использование разных реали заций увеличивает объем информации о системе, за которой ведется наблюдение. Конечно, во многих прак тических задачах доступно только одно наблюдение, и единственная полученная реализация затем вынужденно используется на каждом шаге итерационной схемы.
Решение непрерывной задачи сразу же вытекает из результатов, полученных для дискретной постановки. Необходимо минимизировать
/ — %|0О[х (£0)1 -j- 0/ [х (0)1
(5.2.30)
при ограничениях в форме дифференциальных уравнений
х = f [x(*),u(<), £(*),*]. |
(5.2.31) |
Определим гамильтониан (случайную величину)
Н = ф [х (0 ,и (г ), £(*),*] + A,T00f [x(t),u(t), £(*),*]• (5.2.32)
Запишем канонические уравнения и соответствующую двухточечную краевую задачу для стохастического прин ципа максимума
(5.2.33)
158 СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ [ГЛ . 5
В тех случаях, когда непосредственное решение уравне ний (5.2.33) затруднительно, можно воспользоваться про цедурой, основанной на идеях стохастической аппрокси мации:
1) |
выбрать начальное приближение х1(t0) и и1 (t), |
f. 2) |
получить реализацию (t), |
3)решить дифференциальное уравнение, описываю
щее движение системы (в прямом времени t0 ^ t< l t/)
х{ = f [х1 (^), u*(t), g4(i), t),
4)решить сопряженное уравнение с условиями на
конце (в обратном времени (£/ > t > t0)
i i |
дН |
Эср1 |
diiT V(t), |
|
д х * (t ) |
d x * (t ) |
д х { ( t ) |
|
ee,[x(i,)]. |
(5.2.34) |
|
|
|
||
|
эх (9 |
; |
|
5)определить новую итерацию управлений
ui+1(0 =и*(*) — t f i - i —
w |
w |
3 u ‘ ( t ) |
dilT
(5.2.35)
d u 1 (t )
здесь Klu удовлетворяют всем требованиям на коэффици енты в алгоритмах стохастической аппроксимации;
6) определить новую итерацию начальных условий
|
Xi+1 (to) = X* (to) — |
д б о [ х |
г (t0) ] |
(5.2.36) |
|
|
d x i |
- t f ( f o ) ; |
|||
|
|
|
(to) |
|
|
7) |
вернуться к |
пункту 2) |
и~ повторить |
вычисления |
|
с новой |
реализацией |
|
(t). |
|
|
(Нормальное введение в теорию стохастической аппрок симации на этом закончено. Ниже на нескольких примерах будет показано, как эти методы можно применить к иден тификации систем.
5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 159
5.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНЫХ систем
В этом разделе будет проведено детальное исследование задачи идентификации матриц коэффициентов Ф и Г дис кретной линейной системы с постоянными коэффициентами
х{к + |
1) = Фх{к)+Ти>(к), |
(5.3.1) |
г {к) = |
Нх (к) -f v (к) — у (к) -f- v (к). |
(5.3.2) |
Будем предполагать входной процесс одномерным, так что Г — это вектор-столбец у. Пусть и выход системы одномерный, так что
Н = [1 0 0 . . . 0] = hT.
Свободные системы — отсутствие ошибок измерений.
Сначала будем считать, что на систему действует входной шум и отсутствуют ошибки измерений. Выход системы выбран скалярным прежде всего из-за того, что в слу чае отсутствия ошибок измерений для идентификации системы с одномерным выходом достаточно иметь N изме рений. Удобно определить У-мерный расширенный век тор измерений и, используя (5.3.1), (5.3.2), получить
z(l) |
ЬТФ |
л z(2) |
ИТФ2 |
|
х (0) = ЛФх (0), (5.3.3) |
_z (2V)_ |
_ьтФл,_ |
где |
|
Л = |
ЬТФ |
(5.3.4) |
|
|
T . t. N - 1 |
|
ЬХФ |
Точно так же найдем, что
2/(2) |
|
л 2/0) |
|
|
1 «: 5 |
L___ |
hT®2
ЬТФ3
х(0) = ^ Ф х (1 )= ^ Ф 2х(0)
_ h V +V
160 СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ [ГЛ . 5
и в общем случае |
|
|
|
|
|
|
у (N + |
к) = |
АФх (к). |
(5.3.5) |
|
Сформируем |
расширенную |
матрицу |
|
||
У (2N - 1) = |
[у (N) у (N + |
1) у (N + 2). . . у {2N - |
1)] = |
||
|
~У (1) |
2/(2) |
. . . |
y (N ) |
|
|
2/(2) |
1/(3) |
. . . |
2/(/V + l) |
(5.3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
_j/2V) y ( N + l) |
_ _ _ |
y (2 N ~ l) |
|
|
Из уравнений (5.3.3), (5.3.5) и их очевидных обобщений получим
У (2N — 1) = ^ Ф ® , |
(5.3.7) |
где |
|
53 = [х (0) Фх(0) Ф2х (0 ).. .Ф * _1х(0)]. |
(5.3.8) |
Матрицу А часто называют матрицей наблюдаемости. Для того чтобы вектор состояния можно было восстано вить по последовательности наблюдений, эта матрица должна быть невырожденной. Матрица 53 называется матрицей идентифицируемости. Идентификация системы возможна, только если ее матрица 53 не вырождена (Ли, [87]). Из уравнения (5.3.7) можно определить оценку матрицы коэффициентов
Ф = Ф = А~1СУ (2N — 1) |
(5.3.9) |
которая является точной, так как входные помехи отсутст вуют. Однако мы существенно использовали то обстоя тельство, что передаточная матрица являлась N X N- матрицей. Поэтому нас, конечно, беспокоит строгость полученного результата, так как в действительности мат рицы А и 53 зависят от Ф. Эта трудность скоро будет устранена. Можно повторить рассуждения, которые при вели к уравнению (5.3.7), и, используя другую расширен ную матрицу данных §/• (2iV) и уравнение (5.3.3), полу чить следующий результат:
У {2N) = ^ Ф 253 == А Ф А ^ У (2N — 1). (5.3.10)
