ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 161
Удобно ввести матрицу |
|
|
|
|
Т = |
^ Ф ^ -! |
(5.3.11) |
так, |
что уравнение (5.3.10) преобразуется к |
виду |
|
|
У (2N) = |
T f {2N — 1). |
(5.3.12) |
Из уравнений (5.3.3), (5.3.5) и (5.3.9) имеем |
|
||
|
у(ЛГ + |
1)= Т у (Л 0 . |
(5.3.13) |
Так |
как у (N) = хг (N) и, |
кроме того, |
|
|
У(1) = hTy (N), |
(5.3.14) |
|
то последнее соотношение, используя формулу (5.3.3), можно переписать в виде
гК1) = ьту(ЛГ)==ьтЛх(1).
Формула hT = hT Л подтверждается.
Линейные уравнения (5.3.13) и (5.3.14) эквивалентны уравнениям (5.3.1) и (5.3.2). Т связана с Ф преобразова
нием (5.3.11). Таким образом, если определить |
Т из |
(5.3.12), то Ф можно получить из (5.3.11) |
|
Т = у (2N) у - 1(22V - 1); Ф = Л~^Л. |
(5.3.15) |
Важно отметить, что независимо от Ф матрица Т имеет вид
0 |
|
0 |
(5.3.16) |
0 |
|
—0.1 |
—#2 • • • — |
Это сразу же следует из определения Т. Для того чтобы показать это, достаточно определить обратную матрицу
„т 1 — [а_! i B_i], |
(5.3.17) |
6 Э. П. Сейдж, Дж. Л. Мелса
162 |
СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ |
[ГЛ . 5 |
где а — вектор-столбец. В самом деле,
[a- i : В_г] = I,
или
аТа.! = 1, ВВ_! = I, атв_! = О, Ba_! = О,
и из формулы (5.3.4) видно, что
|
- hT - |
Ьт ф-1 |
|
|
|
||
|
ЬТ Ф |
hT |
|
ЛФЛ -1 |
hT ф2 |
||
hTФ |
|||
|
|||
|
hT ф ^-2 |
* |
|
|
|
||
|
_ h T® JV1_ |
_ hT ®N_2 _ |
|
|
в |
в -1 |
|
|
|
' В ' |
—1 |
|
|
|
|
- сТ |
_ |
в . |
0 |
I |
' |
ст а-1: «т в -!. , (5.3.18)
т. е. как раз формула (5.3.16). Так как в вычислительном отношении оценить Т легче, чем Ф, то в дальнейшем будем рассматривать задачу идентификации матрицы Т. Дейст вительно, в то время как матрица Т определяется единст венным образом, не существует единственного представле ния для матрицы Ф. По выходу свободной линейной систе мы можно определить только N неизвестных параметров, в то время как для идентификации всей матрицы Ф необ ходимо выяснить значения N2 коэффициентов.
Для построения полученных алгоритмов идентифика ции необходимо было предположение о порядке системы N. Если порядок системы неизвестен, то требования наблю даемости дают простой способ его оценки. Если предпола гаемый порядок меньше или равен истинному порядку системы, то матрица наблюдаемости Л всегда будет иметь обратную. Однако если предполагаемый порядок выше истинного порядка системы, то матрица наблюдаемости будет вырожденной (ненаблюдаемая система всегда реду цируема по порядку (Сейдж, [116])). Таким образом, поль зуясь требованием наблюдаемости, легко можно выяснить порядок системы (в простейшем случае свободной системы с незашумленными наблюдениями).
5.3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 163
Вынуждаемые системы — отсутствие ошибок измере ний — отсутствие динамики в числителе передаточной функции. Рассмотрим систему
х (k + 1) = Тх (к) + Tw (А:),
у (к) = hTx (к),
• O i l ' |
|
г |
— |
С 1 |
1 |
|
с |
|
|||
|
, |
1 |
|
> 11— |
|
ат |
-- ... |
||||
L i * ]
|
(5.3.19) |
|
(5.3.20) |
~ 1 |
■ |
0 |
(5.3.21) |
... |
|
L о |
J |
Будем считать w (к) дискретным белым шумом с нулевым средним
$ {w (&)} = 0, cov {w (к), w (/)} = VW8K (к — /).
Уравнение движения системы можно записать как од
номерное разностное |
уравнение |
|
|
у к) + агу (к — 1) + |
а2у (к — 2) |
+ |
... == bpv (к — 1) + |
+ b2w (к — 2) + ... |
+ |
bNw (к — N), (5.3.22) |
|
где
|
а\ |
|
|
|
|
1 |
О |
|
|
Г bl п |
|
«1 |
1 |
||
|
аъ |
|
|
|
|||
а = |
ь = |
h |
b = |
а,2 |
fli |
1 |
|
, |
, |
||||||
|
- aN - |
|
- bN - |
|
- aN - l |
aN - 2 |
• • • |
|
|
|
|
|
____1
1_ (5.3.23)
Это разностное уравнение можно |
переписать |
в виде |
у (к) = — уТ(к — 1) а + |
\vT(/c — 1) b, |
(5.3.24) |
где |
w (k— 7V)j |
|
"У (b — N) |
||
|
1 |
II |
У (к - |
2) |
_ у (к — |
i) |
|
£ |
1 |
II |
w (k — 2) w (k — 1) _
(5.3.25)
Для удобства предположим, что все Ъь кроме Ьх, равны О, a bx = 1. В этом случае
у (ft) = — ут (к — 1) a -f- w (к — 1). |
(5.3.20) |
6*
164 |
СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ |
[ГЛ . 5 |
Таким образом, мы хотим определить оценку а, являющую ся корнем уравнения регрессии для уравнения (5.3.24). Это приводит к алгоритму стохастической аппроксимации
а {к + 1) = а (к) — К (к) у (к) [у (к + 1) + уТ (к) а (к)],
(5.3.27)
который минимизирует функционал
•^ = $ {[*/(*) + Ут ( й - 1) а]2}. |
(5.3.28) |
Здесь К(к) удовлетворяет ранее сформулированным тре бованиям, обеспечивающим сходимость. К сожалению, в рамках теории стохастической аппроксимации не сущест вует способа выяснить оптимальный вид К(к). Для того чтобы оценить полученный алгоритм, рассмотрим как аль тернативу идентификацию по методу наименьших квадра тов. Отправляясь от уравнения (5.3.26), ищем оценку а, минимизирующую функцию штрафа
|
к |
к |
/ = |
2 |
||ш(1-1)||2 = 2 И 0 + Ут (* - 1 ) а Г . (5.3.29) |
|
i=JV+l |
i=JV+l |
Здесь суммирование начинается с i = N -f- 1, так как впер вые полная система для идентификации может быть полу чена только после (N 1)-го измерения. Если взять N дополнительных измерений, то
2JV
J = 2 1у (0 + ут (‘ — l ) a f =
*=N+1
?/(/V-f 1) |
|
УТ (АО |
Ц2 |
1, (N + 2) |
ут (.V hi) |
а |
|
= |
+ |
|
|
У (2/V) |
_ут (2ЛГ-1)_ |
|
|
= |
ИУ (2/V) + |
У {2N — 1) а |2. (5.3.30) |
|
Этого достаточно для того, чтобы получить оценку иден тифицируемого вектора параметров. Получаем
a (2/V) = — [Ут(2JV— 1) у (2N — i)]~x У (2N — 1) у (2N).
(5.3.31)
