Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА

АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

ЩИШГІЧ IfnWMiTf— ——ИДІ^—

И.И.КОТОВ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ ФАКУЛЬТЕТА, ПОВЫШЕНИЯ

КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

МОСКВА 1973

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ СССР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

И Л . КОТОВ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Курс лекций

для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей

Утверждено на заседании редсовета

как учебное пособие 1 июля 1972 г .

МОСКВА - 1973

‘ ПРЕДИСЛОВИЕ

Настояшее пособие, предназначенное для слушателей фа­

культета повышения квалификации преподавателей МАИ,вкліѳ-

чает:

1) дополнительные главы для преподавателей инженерной

графики по курсу 'Начертательная геометрия';

2 ) более детальное изложение раздела 'Линии и поверх­

ности'.

Пособиями по основному курсу начертательной геомет —

рии являются учебники И.И. Котова 'Начертательная геомет­ рия' ('Высшая школа', 1970) и Н.Ф. Четверухина 'Начерта­ тельная геометрия' ('Высшая школа', 1963).

Автор благодарит ассистента В.В. Замотайлова за боль — шую помощь, оказанную им, при подготовке рукописи к из - данию.

3

Г лава 1. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Начѳртательную геометрию следует рассматривать в двух аспектах: как науку и хах учебную дисциплину.

Начертательная геометрия как наука занимается разра — боткой графических моделей абстрактных пространств; а как учебная дисциплина —разработкой проекционных моделей про­ странства для построения и чтения чертежей.

Основным методом начертательной геометрии является ме­ тод проецирования, а основными проекционными моделями являют­ ся:

1) модель центрального прое­ цирования;

2) модель параллельного, прое­ цирования;

3) модель эпюра Г. Мошка;

4} аксонометрическая модель.

Рис. 1.

8 1. МОДЕЛЬ МЕТОДА ЦЕНТРАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Модель метода центрального проецирования (рис. 1) вклю­ чает некоторую точку S - центр проецирования и плоскость

проекций *ПГ'.

Чтобы спроецировать точку пространства, надо провести через данную точку А н центр проекций S прямую, называв — мую проецирующей прямой.

Пересечение проецирующей прямой SA с плоскостью про­ екций 9і ' даст точку А' — центральную проекцию точки А на плоскость іг ' .

Символически краткая запись этих операций выглядит так:

5

нет неопределенной не только проецирующая прямая, но и проекция точки на плоскость ТГ'.

Прямые, плоскости и конические поверхности, проходящие через центр проецирования (для поверхностей - это их вер - шина), называются проецирующими.

Определение. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек»

Основные свойства центрального проецирования:

1. Точки пространства однозначно переходят в свои про­ екции (через две точки можно провести только одну прямую). 2. Проецирующая прямая является проецирующей для всех своих точек, т.е. все точки В , С ... прямой SA проецируют­

ся на плоскость 5F' в одну и ту же точку А '»

3. Точки плоскости проекций совпадают со своими проек­ циями. Например, точка N тождественна Л/'яля

В символической записи это выглядит так:

/ке-гг' —► N = м г.

4. Прямая общего вида проецируется в прямую. Предаю - дожим, что имеем прямую т . Пусть точка /И - лересече - ние прямой tn плоскостью проекций <П'/ . Допустим, что пря­ мая т пересекается с проецирующей прямой 5А в точке А . Точка А определяет проекцию А г на плоскости <Г/ . Следова­ тельно, получим плоскость ос , включающую две пересекаю — щиеся прямые SA и т . А'АА' является следом плоскости ос на плоскости проекций ЧС' . Плоскость ос включает точку S , значит Она включает в себя все проецирующие точек В ...

прямой т . Проекции Д г... расположатся на следе т 'ш ю с — кости ос .

5. Любая фигура, расположенная на проецирующей поверх­ ности (плоскости), проецируется на след этой поверхности (плоскости)»

Несобственные элементы пространства

Первое свойство центрального проецирования заключает - ся в том, что точки пространства однозначно переходят в своп проекции.

Отметим некоторые исключения из этого свойства: не -

6

возможно указать проекции точки <5\, и поэтому она не рас­ сматривается.

Построим плоскость (э , принадлежащую точке S и парал­ лельную плоскости <ТСг: б*£ S

и||чгЛ (рис. 2 ). Плоскость

бназывается предельной

плоскостью. Возьмем в

плоскости некоторую

точку А и построим ее

центральную проекцию.

Сначала надо построить

проецирующую прямую SA ,

Но это выполнить невозможно, так как 671ІП?'.

Будем считать, что проекция А' точки А есть некоторая

идеальная несобственная точка А' , задающая направление

СО

прямой SA .

Предположим, цто через прямую SA проведена некоторая

плоскость ос . Пусть а г— след

плоскости ос . Тогда ctf ]\SA.

Значит, точка Аг должна распо­

лагаться на прямой а г, так как

прямые AS и а —прямые одного

направления. Плоскость ос может занимать в пучке с носитѳлем SA различные положения и определять множество па - раллельных прямых(следов off..). Следовательно, точка А /

есть общая идеальная (несобственная) точка всех прямых а / ..., параллельных прямой <579 .

Учитывая, что плоскости проекций можно смещать парал­ лельно, делаем вывод, что все параллельные между собой

7

прямые пространства имеют одну общую несобственную точ­ ку, определяющую их направление.

Множество несобственных точек есть, несобственная нря — мая. Прямые одного направления, взятые на плоскости

соответствует бесчисленное множество ее несобственных то­ чек. Это множество обладает одним замечательным свойст­

прямую я “ , которая и определит несобственную точку /4 . Возьмем теперь a^Wa^ Меняя в

плоскости ос направление прямой а*, подучаем пары парал­

лельных прямых а *и а ^ с общими несобственными точками. Следовательно, плоскости ос и р имеют общую несобственную прямую. Исходную плоскость ос можно брать в различной ориентации.

Пространство вследствие того, что плоскость ос имеет бесчисленное множество различных положений, не параллель­ ных между собой, имеет бесчисленное множество несобст - венных прямых. Множество несобственных прямых простран­ ства обладает интересным свойством, присущим плоскости: с каждой плоскостью оно имеет общую прямую (несобственную). Поэтому целесообразно это. множество прямых назвать не - собственной плоскостью.

Отметим некоторые предложения соединения и пересече — ния точек прямых и плоскостей в пространстве, расширен — ном несобственными элементами:

8

1. Две различные точки определяют прямую. Здесь воз — можны три случая:

а) обе точки обыкновенные (рис. 5); б) течка А — обыкновенная, точка В — несобственная

(задается направлением ); через точку А проходит лря —

мая, параллельная направлению В (рис. 6);

в) обе точки А и В - несобственные (рис. 7); эту

прямую построить -на чер­

теже нельзя, так как она —

несобственная прямая дан —

ной плоскости.

2. Две прямые первое — каются в одной точке, если

они лежат в одной плоскости. Возможны следующие случаи: а) две обыкновенные прямые пересекаются в обыкновен­

ной точке А (рис. 8 ); б) две параллельные прямые пересекаются в несобствен­

ной точке А (рис. 9);

9

в) обыкновенная прямая а пересекается с несобственной

плоскостью в несобственной точке А .

С О

4. Две плоскости пересекаются по прямой. Если эта пря­ мая обыкновенная, то у них имеется одна несобственная точ­ ка А , общая для наших плоскостей (рис. 12).

Рис. II Рис. 12

Введение несобственных элементов дает возможность обобщить различные предложения о соединении, пересечении точек прямых и плоскостей.

Центральные проекции, Включающие несобственные точки, имеют необычный вид. Пусть дан параллелепипед, нижняя грань которого принята за плоскость проекций. Центр проек­

треугольника показана на ряс. 14.

10