Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

б 2 . МОДЕЛЬ МЕТОДА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Имеем некоторую плоскость к ' . Задается направление проецирования S >другими слова-

ных проекций.

При параллельном проецировании нет исключенных тояек : любая точка пространства имеет свою проекцию. Докажем теорему: несобственные точки проецируются в несобствен — ные точки плоскости проекций:

Зададим несобственную точку А и построим проецирую —

шую прямую, которая будет определяться двумя несобствен­ ными точками А и S . Очевидно, что А ' —А S •<п/ , отку— да вытекают следствия:

11

1, Параллельные прямые проецируются я параллельные прямые (рис. 1 6 ,б).

Пусть даны две параллельные прямые а и Ь . Они имеют несобственную точку, которая проецируется в несобственную, значит, их проекции а и ^ параллельны.

2 . Равные параллельные отрезки проецируются в равные и параллельные (рис. 16,а).

Пусть имеем два равных и параллельных отрезка AB ф СВ. Доказать, что А'в'ф C'D '.

Фигура А ВСД— пареллелограмм. В соответствии с первым следствием она спроедируетсд в параллелограмм, следова — тельно, АВфс'д'.

3. Середина отрезка проецируется в середину его проек­ ции.

Допустим, что имеем точку Е на отрезке А В . Подучен­ ные два отрезка удовлетворяют второму следствию, поэто­ му середина отрезка проеци­

руется в его середину. Отметим еже одно свой­

ство параллельных проекций, не совпадающее со свойства­ ми центральных проекций:

фигура уровня f проецирует­ ся в равную себе f r. Это следует из того, что задан­ ная фигура и ее проекция в

12

данном случав являются параллельными сечениями цилиндри­ ческой поверхности (рис. 17).

Теорема Егера. Если в проекционном методе точки одно­ значно переходят в точки, а прямые - в прямые, соблюдает­ ся принадлежность и проецирующая является проецирующей для всех точек и переходит в точку, то это либо параллель­ ные проекции, либо центральные.

Предположим, что имеем плоскость <тr, и прямую а , Пусть а не параллельна плоскости проекций, поэтому можем отметить ее след — точку N : А/'. Возьмем на прямой точку А . По условию теоремы прямая проецируется в прямую

A N ^ A'N '. Докажем, что проецирующая есть плоская пиния

( АА'- плоская линия, рис. 18).

а

jPnc. 19

Возьмем на проецирующей /М ^некоторую точку В , а на прямой а - точку С . Эти точки определяют прямую 6 . Докажем, что Ъ= а г.

Точки Вг и 0 ' , определяющие проекцию b ' %лежат на а \

поэтому Ь* совпадает с а г, Прямая Ь имеет с плоскостью

а а г две общие точки С ж АЛ (след прямой) и лежит в этой плоскости, следовательно, и точка ß принадлежит этой плоскости. Точка В бралась произвольно на проецирующей, значит, проецирующая линия—плоская кривая

13

Возьмем точку А и проведем через нее прямые а и Ь ;

А проекция точки на плоскости. Докажем, что проеци - рующая есть прямая линия (рис. 19).

Отметим плоскости о/ и ß, . Проецирующая А А/ должна лежать в плоскостях ос и J3 , так как это прямая их пересечения. Докажем, что эти проецирующие параллельны, т.е. СС'НАЛ'.

Допустим, что нашлась проецирующая, пересекающаяся в

точке в ' с а ' ъ в точке В с л . Если проецирующие пере — секаготся, то точка пересечения будет иметь две проекции, что невозможно. Следовательно, они параллельны. Для дан - трального проецирования точка С является центром проек — ции, т.е. единственной точкой пересечения всех проецирую —

іііДХ«

fl 3. РОДСТВЕННЫЕ СООТВЕТСТВИЯ

Закон, но. которому каждой точке А некоторой плоско сти оі однозначно соотносится точка А ' той же плоскости,

Примером такого соответствия является симметрия. Возь­ мем точку А и построим симметричную ей- А '. Если А '= В, то симметричная ей і?'совпадает с А (рис. 20).

Родственным соответствием двух полей от и о /, располо­ женных на одной плоскости, называется соответствие,удов — летворяющее следующим требованиям:

1) точка А поля ос однозначно переходит в точку А поля

ос'\

14

2) прямая поля ос однозначно переходит в прямую поли ос;

3)точка на прямой переходит в точку на прямой;

4)имеется прямая двойных точек (прямая, точки которой сами себе соответствуют);

5)соответственные точки лежат на параллельных прямых,

т.е. АА'\\ ВВГ... и т.д. (рис. 21).

Симметрия относительно оси удовлетворяет всем этим условиям, но существуют и другие соответствия, удовлетво - ряющие им. Соответствия эти называются родственными.

Впервые родственные соответствия были рассмотрены, из­ вестным математиком середины ХУШ в. Л.Эйлером.

Проекционные свойства родства

Соответственные тройки точек, расположенные на соответ­

дельной проекцией находятся в родственном соответствии

(ряс. 23), Допустим, имеем плоскость проекций Чі и какую-либо

плоскость ос . Берем в плоскости ос фигуру f и проецируем в любом направлении S . Получаем в проекции фигуру J ' , затем совмещаем_шгоскость « с плоскостью ТГТеорема утверждает, что f родственна J"',

Справедливость этого предложения вытекает (легко про­ верить) из осуществимости в данном случае всех пяти усло­ вий родственного соответствия.

На рис. 24 имеем родство между нолями ос} жос плоского поля ос , плоскость которого задана следами.

15

На рис. 25 показан случай, когда плоскость а задана проекциями фронтари и горизонтали на эпюре Монжа. Повернув заданную плоскость до горизонтального положе­ ния, подучим ДОЛЯ оГх И « . Они род -

ственны.

В се задачи на метод совмещения н вращения вокруг линий уровня — зада - чн на родственные соответствия. Также легко доказывается и еще одна теоре - ма: две различные параллельные проек­ ции одной и той же плоской фигуры на одну и ту же плоскость проекций род - ственны.

Основные способы запяттаа родства

Родство задается осью н парой родственных точек. На рис. 26 даны двойная прямаяm = fn к пара точек А и Аг . Это значит, что точке, находящейся в одном пола, можно построить родственную в другом.

Дано: гтт=з.тпг7 А-*~АГ, В.

Построить: ВІ Первый вариант решения задачи:

16

Каяосний способ задания родства (рис. 28). Родство

задается тремя дарами родственных точек.

Дано; А -*■ В-* В, С~^С}В.

Построить В'. Схема решения:

Единственность оси вытекает из теоремы Дезарга [2 ].

Главные направления ропст'ва (рис. 80). Главными направ­ лениями родства называются направления перпендикулярных пря­

мых, переходящих в родст-

18

П р ям о у го л ьн ы ^ проекции. Основные свойства прямоуголь­

ных проекций .являются также свойствами параллельных про­ екций. Отметим свойства, являющиеся следствием перпендикулярности на - правления проецирования плоскости проекций (рис.32):

1. Проекция линии ска­ та пернендикулярна следуплоскости.

2. Проекция перпенди­ куляра к плоскости совпа­ дает с проекцией линии ската, проходящей через основание пернендикулира.

3.Направление родства совмещенного положения фигуры

сее прямоугольной проекцией совпадает с проекцией линии ската и перпендикулярно к следу плоскости.

4. Прямой угол, одна сторона которого параллельна плос­ кости проекций, проецируется в прямой угол.

Возьмем при точке А прямой угол, h ІІТГ/и h L tn %Най —

5.Обратная теорема тоже верна: если проекция угла есть прямой угол и одна сторона проецируемого угла параллельна плоскости проекций, то и проецируемый угол - прямой*

6.Проекция отрезка связана с проецируемым отрезком

равенством (рис. 33)

а' = а сos ос .

7.Проекцию угла можно определить по формуле, если из­ вестны величина угла и углы наклона его сторон (<* и р ) к

плоскости проекций:

но записать равенства:

19