Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

и точек, симметричных относительно плоскости z x точкам той же поверхности, имеющим отрицательные ординаты.

Предложения 5,6 и 7 справедливы и для линий, расположенных в про — странстве. Так, винтовая линия на

цилиндре х 2+ у 2 ~і~ будет дерехо - дить при модулировании переменной у в уравнениях винтовой линии в со — ставную винтовую линию, дуги кото­ рой расположены на полуцилиндре (рис. 286). При использовании пред­ ложений 5,6,7 следует иметь в виду,

что они не могут быть применены,

Рис. 286

если соответствующая переменная

входит в уравнение во второй степени, так как \х\^= ( - х ) =

2 = (+х ) . Однако при этом можно осуществлять модулирова­

ние слагаемых переменных в первых степенях.

Пример 1. Пусть дано уравнение сферы эс2+ у 2+ 2 .2= 1. Преобразуем его к виду

(2.рс)2+ (2y^Z+ ( 2, z) = -f

и затем осуществим операцию модулирования:

( х + I ас |) z +( 2 y ) Z + ( 2 z ) Z= 4 .

При ас ^ О этому уравнению соответствует правая часть

в уравнение

(ас + М ) 2 + ( у + | у \ ) Z + 4 z z = 4 .

При х ^ . о \ уравнению соответствует четверть сферы

yè - Oj x z+ y z + z z = 1, заключенная между полу­ плоскостями х = 0 жу~ 0 (рис. 288);

Ш

при х \ - полуцилиндр X 2 + z 2= 1;

У< 0 )

а при X < 0 — полуплоскость, перпендикулярная плоскости y z

1В2

Рис. 291

193

Так же как и на плоскости, в пространстве можно осу - ществля чь всевозможные перемещения фигур и их объединѳ — ния. Теорема о 'заметании' пространства будет выглядеть

Доказательство теоремы базируется на рассмотрении уравнения отрезка числовой оси « , точки которой снабже­ ны весами.

Рассмотрим пример применения этой теоремы к состав­ лению уравнений области пространства.

Пример. Пусть имеется геометрическая модель втулки, представляющая собой сферу х 2+

ограниченное внутри окружностью

вим уравнение множества колед для случая, когда они заметают указанную выше фигуру:

j\/xz+ У2 ‘ 25 - г 2 ' \+\Vx2+yz'~ 2 J =■ У 25- z 2' - 2 , где z $ VzT.

Теорему о "заметании" областей пространства можно сфор­ мулировать для двупараметрических множеств кривых.

Пусть имеем некоторую фигуру Ф , уравнение которой F ( х , у ,... А , В ) = 0 , пусть также удается в явном ви -

194

де выделить два независимых параметра формы или положе­ ния А = <уА { х , у ,...) и В = ( PC ty ,...) и пусть каждый

из параметров принимает как непрерывные значения, так и некоторые максимальные и минимальные значения Ат ,

Ат іп. * Вт ах ’ Вт .л .

В этом случае "заметаемая'двупараметрическим множест­ вом фигур Ф область задается двумя уравнениями:

і У л & г У » •' ■ )~ ^ п ?а х\+ 1<РдС5С».У> I = А m a x . А т ь п ;

I (*>У> -)- ВгпахІ+1^в(х,У>'"^~ Вт іп I Вmax ~ Вт іп .

Пример 1. Пусть имеется двупараметрическое множество прямых» отсекающих на осях х и у отрезки а и Ь , и при этом известно, что величина а меняется в пределах А1 > Аг ,

после чего записываем уравнения области, "заметаемой'ука— занными прямыми:

ющие уравнения области двупараметрического множества прямых;

195