ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
распределений, построенная до данным табл. 1.1. Кіривая 2 ото бражает нормальное распределение с параметрами 0=0,025, а = =0,03, характеристическое искажение 6хар= |±7,5%.
Из (1.11) и результатов расчета видно, что закон распределения /(бсум) смещений границ кодовых посылок при суммарном воз действии случайных и систематических искажений является сим метричным и несколько отличается от нормального.
1.4. Определение закона распределения искажений по результатам измерений
Закон распределения искажений кодовых посылок может быть найден на основе экспериментальных данных. Для этого непрерыв ные смещения границ, происходящие под действием случайных факторов, представляют в дискретной форме и располагают в ста тистический ряд распределения. Преобразование непрерывной слу чайной величины в дискретную облегчает обработку результатов измерений. Методика обработки экспериментальных данных заклю чается в следующем. Численные значения смещений границ груп пируются в интервалы обычно равной продолжительности. Исходя из того, что в идеальном случае предельное значение смещения со ставляет 0,54ъ где to — продолжительность кодовой посылки, целе сообразно ширину интервала выбрать равной 0,05 іо- Повторяе мость смещений в пределах заданного интервала называют часто той, а отношение частоты к общему числу измеренных значений.— частостью. Частоту смещений относят к среднему значению интер вала.
Ряд распределения может быть представлен графически в виде гистограммы, составленной из отдельных прямоугольников, основа ния которых численно равны ширине интервала, а высоты — ча стости смещений. Таким образом, площадь прямоугольника числен но равна частости смещений в заданном интервале, а полная пло щадь гистограммы равна единице.
При построении гистограммы откладывают по оси ординат от ношение частости смещений к продолжительности интервала, про порциональное плотности распределения случайных смещений, а по оси абсцисс значения этих смещений. Пользуясь данными пер вичной обработки результатов измерений, определяют далее пара метры распределения по (1.7) и '(1.8) и рассчитывают по ним кри вую теоретического распределения.
Для расчета кривой удобнее от распределения величины б по нормальному закону (1.6) перейти к нормированному распределе нию, при котором величина б заменяется вспомогательной линей ной функцией
( 1. 12)
ст
тогда плотность .раопределения <р (t) выразится равенством
14
1 |
2 |
(1.13) |
ф (0 У2п |
Ординаты кривой (1/13) табулированы. В таблицах [58], [9] даны значения функции cp( t ) для аргумента t от 0 до 3,99 или до 4,99. Плотность распределения f(ö) для любой (не нормированной) случайной величины б выражается через cp(і) таким образом:
/(Ö) = — ф(0. |
U-H) |
а |
|
а б определяется через t в соответствии с (1.12). |
|
Рис. 1.6. Сопоставление теоретического распреде ления искажений со статистическим
Сравнение теоретического распределения со статистическим в простейшем .случае осуществляется сопоставлением кривой теорети ческого распределения е .пиотоіпраммой (рис. Ь6).
Пример. Пусть все интервалы Дб смещений .границ кодовых посылок име ют одинаковую ширину, равную 0,05 U. При последующих вычислениях величина б выражается в процентах. Число повторений т( этих смещений в каждом ин тервале известно по результатам измерений. Требуется определить параметры распределения а и о, построить теоретическую кривую распределения /(б) и со поставить теоретическое распределение со статистическим.
Параметры а л о определяем, пользуясь (1.7) и .(1.8). Построение /(б ) про изводим в соответствии с (1.13) и (1.14). Результаты вычислений сгруппированы
15
в табл. 1.2. На основании данных табл. 1.2 находим а = |
117,5/1039=0,113%; |
ст= |
||||||||
= / |
48095/1039 = 6,8%. |
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
1.2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
Интервалы |
Середины |
Повторя |
|
|
|
1 |
ml |
|
|
И |
емость |
|
|
|
f W |
|
||||
0$ |
смещений |
интервалов |
öi mi |
( ~ °)2 mi |
|
|
|
|||
о |
Д Ö |
|
смещений |
д в |
n |
|
|
|||
г- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
да |
|
|
ті |
|
|
|
|
|
|
|
С. Дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
—50]------45 |
—47,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
—45------ 40 |
—42,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
3 |
—40------ 35 |
—37,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
4 |
—35'------ зо |
- 3 2 ,5 |
1 |
32,5 |
1056 |
|
0,0002 |
0 |
|
|
5 |
—30------ 25 |
- 2 7 ,5 |
2 |
55,0 |
1513 |
|
0,0004 |
0 |
|
|
6 |
—25------ 20 |
—22,5 |
3 |
67,5 |
1519 |
|
0,0006 |
0,0003 |
||
7 |
;—20------ 15 |
—17,5 . |
8 |
140,0 |
2450 |
|
0,0015 |
0,0016 |
||
8 |
I—15------ 10 |
—12,5 |
40 |
500,0 |
6250 |
|
0,0077 |
0,0108 |
||
9 |
—10------ 5 |
—7,5 |
169 |
1267,5 |
9506 |
|
0,0324 |
0,0320 |
||
10 |
—5 ------ 0 |
—2,5 |
310 |
775,0 |
1938 |
|
0,0595 |
0,0547 |
||
11 |
0 — 5 |
2,5 |
295 |
—737,5 |
1844 |
|
0,0566 |
0,0547 |
||
12 |
5 — 10 |
7,5 |
158 |
—1185,0 |
8888 |
|
0,0307 |
0,0320 |
||
13 |
10 — 15 |
12,5 |
37 |
—462,5 |
5781 |
|
0,0071 |
0,0108 |
||
14 |
15 — 20 |
17,5 |
9 |
— 157,5 |
2756 |
|
0,0017 |
0,0016 |
||
15 |
20 — 25 |
22,5 |
4 |
—90,0 |
2025 |
|
0,0008 |
0,0003 |
||
16 |
25 — 30, |
27,5 |
2 |
—55,0 |
1513 |
|
0,0004 |
0 |
|
|
17 |
30— 35 |
32,5 |
1 |
—32,5 |
1056 |
|
0,0002 |
0 |
|
|
18 |
35 — 40 |
37,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
19 |
40 — 45 |
42,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
20 |
45 — 50 |
47,5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
ft |
ft |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=''£imi= |
|
V (6 r_ f,) -/,!;= |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1039 |
i—1 |
f=H= 48095 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=117,5 |
|
|
|
|
|||
Из рис. 1.6 видно, что кривая нормального распределения '/(б) достаточно хорошо совмещается с гистограммой. Но сравнение степени согласованности теоретического и статистического распределений путем сопоставления графиков распределений является приближенным. Более точное сравнение производится с помощью специальных ■«критериев согласия» [113], рассматриваемых >в курсах теории вероятностей, например, в [58].
1.5. Оценка степени искажения кодовых посылок
При изучении искажений кодовых посылок возникает необходи мость в выборе меры для оценки степени их искажения. Согласно рекомендациям МККТТ различают три меры для оценки степени
16
искажения: степень индивидуального искажения бцнд, степень изо хронного искажения биз и степень стартстопного искажения бСт-
С т е п е н ь и н д и в и д у а л ь н о г о и с к а ж е н и я представ ляет собой отношение смещения отдельно взятой границы Ѳ, от идеального ее положения к продолжительности неискаженной по сылки:
^инд Ѳ[До- |
(1.15) |
Ст е п е н ь и з о х р о н н о г о и с к а ж е н и я |
представляет со |
бой отношение измеренной максимальной разности между действи тельными и теоретическими интервалами, разделяющими любые две границы последовательности кодовых посылок, к продолжи тельности неискаженной посылки:
(1.16)
где 4тнс — максимальная величина запаздывания воспроизведения одной из границ между посылками данной серии, 4шн— минималь ная величина запаздывания воспроизведения другой из границ
между посылками той же серии. Из (1.16) следует, |
что при імакс= |
=-tMlia= t cp биз=0, и переданные посылки будут |
воспроизведены |
без искажений, а при tMaKc—4шн= t биз= ,1. и посылки будут вос произведены со стопроцентным искажением.
Степень искажения воспроизведенных посылок может быть вы ражена непосредственно через смещения границ Ѳ*. Имея в виду что ^макс= ^ср-НѲ^, а titan~ ^ с р Ѳ х, из (1.16) будем иметь
(1.17)
Приращения ^Ср могут быть любого знака, поэтому значения и Ѳ” здесь понимаются алгебраически. Если границы посылок сме
стились в одну сторону, то абсолютная величина искажения будет равна разности этих смещений, а если границы сместились в про тивоположные стороны — их сумме (двусторонние искажения). Очевидно, что при смещении только одной из границ посылки ве личина искажения посылки будет равна величине смещения ее гра ницы (одностороннее искажение).
Наряду со степенью изохронного искажения в качестве меры для оценки искажения кодовой информации целесообразно ввести в рассмотрение закон распределения степени изохронного искаже ния /(биз). Под этим законом следует понимать распределение всехвозможных алгебраических разностей между смещениями границ в пределах заданной последовательности кодовых посылок.
Условимся считать смещения границ кодовых посылок внутрь интервала і0 положительными, а смещения наружу интервала to— отрицательными. Далее примем, что смещения границ кодовых посылок следуют нормальному закону. На рис. 1.7а изображена неискаженная кодовая последовательное
тельный интервал равен теоретическому. В общем случае — при наличии постоянного преобладания —действительный интервал может оказаться больше теоретического (график б), меньше теоре тического (график в) и равным ему (графики г иб ) .
ПІа
I |
1 |
1 |
|
і |
|
-»Чйіи.'—'— |
£ |
|
|
ш___________ _ |
|
|||
и --------------- Ц |
t |
|||
б>J |
- Ь — |
J |
Ь г |
|
—1 I |
'---------------1 |
Ш, ------ |
|
|
В) |
|
|
|
t |
г) |
|
|
|
t |
I, |
|
|
|
|
«zf |
t |
|
Рис. 1.7. К нахождению закона распределения степени изохронного искажения
В первом случае для удлиненного интервала закон распределе ния степени изохронного искажения /("би в) может быть найден как композиция двух законов f(5„t) и /( би/,), т. е.
/(0„б) = /(6и1)*/(6н4), |
|
|
(1.18) |
|||||
где /(б» і) и f(ö„ 4) — законы |
соответственных |
распределений |
сме |
|||||
щений границ удлиненного интервала. |
|
|
|
|
||||
Имея в виду что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6„-а)2 |
|
/(0„і) = /(бн4) = |
/(б„) = |
— - ^ |
e |
202 , |
(1.19) |
|||
|
|
|
|
|
а у 2л |
|
|
|
по формуле композиции нормальных |
законов |
распределения для |
||||||
/ (6мб) получи м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6 и + 2 а ) а |
|
|
|
/(биб) = - |
|
4 |
— |
е |
402 |
• |
|
(1.20) |
|
2а У л |
|
|
|
|
|
||
Аналогично во втором случае, |
для укороченного интервала |
|
||||||
|
|
|
|
|
(йи~2а)2 |
|
|
|
/ ( М = |
0 |
‘ |
|
е |
4а! . |
|
(1.21) |
|
|
2а У л |
|
|
|
|
|
||
В третьем и 'четвертом случаях, |
для 'номинальных интервалов |
|
||||||
1(бяг) = / (биз) = ~2сіурл Г~е |
4а!' |
О-22) |
||||||
18
•Поскольку все рассмотренные случаи являются равновероят ными, то закон распределения степени изохронного искажения /( биз) будет иметь .вид
/ (б„э) = |
4 - [/ (W |
+ / ^ |
+ / (виг) + |
/ (виз)] |
|
|
(1-23) |
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
или с учетом (1.20), |
(і1.21) и (1.22) |
получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
/ ( б„+20)2 |
( |
|
б2\ |
|
|
||
1 |
|
I |
4а2 |
402 |
+ 2 е |
— |
|
. |
(1.24) |
/(0НЗ) = — |
|
4 |
|
+ е |
40 |
' |
|||
8а У п |
|
|
|
|
|
|
|||
В частном случае, |
когда а = 0, |
выражение ((1.24) |
примет вид |
||||||
|
|
|
|
6Й |
|
|
|
|
(1.24') |
|
|
|
|
4а2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ ( б из) = |
= - е |
|
|
|
|
|
|
|
|
2а У"я |
|
|
|
|
|
||
Обозначив о; |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
/(биз) |
|
'2Х* |
|
|
|
|
(1.25) |
|
|
Я ,/2 я |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, .при отсутствии іпостоянного іпреобладання отешемь изохронного искажения следует нормальному закону распреде ления.
Зная закон распределения степени изохронного искажения (1.24) или (4.25), можно определить вероятность допустимой сте пени изохронного искажения.
Пример. Определим вероятность превышения краевым искажением степени
изохронного |
искажения |
для случая отсутствия |
постоянного |
преобладания (а = |
=0). Пусть |
допустимая |
степень изохронного |
искажения |
6Па=10°/о, а = 4% , |
\= У2а=6,66%. |
|
|
1 |
00 |
2 Xs |
б2 |
На основании |
|
|
Г |
dö, |
||
(1.25) будем иметь Р„3 — ----- — |
\ |
е |
||||
|
|
|
К V 2я |
J |
|
|
|
|
|
|
б„о |
|
|
или .после замены переменной 8 /\= х , |
|
|
|
|
||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
1 |
Г " |
dx — 0,5 — Ф |
виз |
|
|
|
Риз — " Х,2п |
|
|
|||
|
б„ |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
I6 |
X s |
|
|
Ф |
X |
2 dx. |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь таблицами [16] для нормированной функции Лапласа, получим: Ра3= =0,5—Ф (10/5,66) « 4 - ІО-2.
19