Файл: Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами.pdf

И.Н. КОВАЛЕНКО,

Г.К. МОСКАТОВ,

Е. Ю. БАРЗИЛОВИЧ

ПОЛУМАРКОВСКИЕ

МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ

ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ

Москва

«МАШИНОСТРОЕНИЕ»

197 3

К56 УДК 629.7(05) : 517.001.2(082)

Коваленко И. Н. , Москатов Г. К-, Барзилович Е. Ю. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управ­ ления летательными аппаратами. М., «Машиностроение», 1973, стр. 176.

В книге рассмотрены марковские процессы с конечным или счетным множеством состоянии, полумарковские процессы вложенные цепи Маркова, процессы восстановления. Дана элементарная теория оптимальной остановки для случайной последовательности, служащая основанием некоторых мето­ дов оптимального управления.

Результаты теоретических исследований применены для ре­ шения отдельных задач, возникающих при проектировании и. обслуживании систем управления летательными аппаратами.

Приведены методы расчета надежности адаптивных авто­ пилотов, определения необходимого объема буферной памяти БЦВМ, оптимизации профилактического обслуживания САУ, управления посадкой групп самолетов, организации дозаправ­ ки самолетов в воздухе. Для иллюстрации методов расчета приведены соответствующие примеры.

Книга предназначена для^инженеров, занимающихся про­ ектированием систем автоматического управления летатель­ ными аппаратами.

Табл. 12. Ил. 40. Список лит. 71 назв.

^ 331-215

215-73

038(01)—73

© Издательство „Машиностроение“- 1973г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга посвящена изложению математичес­ кого подхода к решению ряда задач проектирования и организации обслуживания систем управления летатель­ ными аппаратами. Этот подход основан на теории массо­

вого обслуживания и теории полумарковских случайных процессов. .' „ -

Работы А. А. Маркова рб.••«испыта^р^е^язанных в цепь», легли в основу общей теорий случайных процес­ сов. Заслуживают также упоминания исследования «непрерывных вероятностей» французского математика Бателье, получившие прочную логическую основу лишь после ооздания теоретико-множественной системы по­ строения основ теории вероятностей. Общая теория марковских процессов и их классификация были даны

А.Н. Колмогоровым в 1930 г.

Теория массового обслуживания возникла в начале

XXв. на базе задач телефонии. Позже выяснилось, что

аналогичные или весьма близкие к ним задачи воз­ никают иа транспорте, при автоматизации технологи­ ческих процессов, в теории исследования операций и в других областях науки и техники.

В монографии А. Я. Хинчина [46] были обобщены дос­ тигнутые к середине текущего столетия результаты в те­ ории массового обслуживания (ТМО) и этой теории да­ на строгая научная основа. Заменив разного рода эврис­

тические рассуждения, применявшиеся предыдущими - -~> авторами, строгим методом в рамках теории случайных процессов, А. Я. Хинчнн классифицировал схемы массо­ вого обслуживания. Следующим важным результатом явился метод вложенных цепей Маркова, созданный Д. Кендаллом и изложенный теперь почти во всех кни­ гах по теории массового обслуживания (например, [14 и 19]). Данным методом решено большинство задач ТМО.

Для справок, кроме упомянутых выше работ, рекомен­ дуются книги [6, 9, 12, 34, 36, 71].

В настоящее время в теории массового обслуживания рассматриваются следующие основные системы и направ­ ления: системы с приоритетным обслуживанием и с раз­ делением времени; системы с ограничениями из длину очереди, на время пребывания требований® системе либо на время их ожидания; системы с групповым обслужива­

5

Г л а в а I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. ОПТИМАЛЬНАЯ ОСТАНОВКА ПРОЦЕССА НАБЛЮДЕНИЙ

1.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Рассмотрим основные понятия теории массового об­ служивания в простейших предпосылках, используемые в излагаемых ниже задачах проектирования систем уп­ равления ЛА.

Каналом обслуоюивашія называется вся совокупность технических средств, а также людей, обеспечивающих обслуживание одной заявки. Функционирование каждого канала характеризуется временем, которое затрачивается на обслуживание одной заявки. Это время является слу­ чайным.

В простейших системах, описываемых марковскими процессами с конечным или счетным множеством состоя­ ний, рассмотрением которых мы ограничимся в данном параграфе, время обслуживания распределено по экспо­ ненциальному закону с параметром ц. Это означает, что если в момент времени tK происходит обслуживание за­ явки, но она еще не обслужена до конца, то закон рас­ пределения оставшегося времени обслуживания не зави­ сит от того, сколько времени продолжалось обслужива­ ние до момента і\;. Иногда говорят о «потоке обслужива­ нии», действующих на заявку, хотя каждая заявка мо­ жет быть обслужена только один раз.

Будем считать, что:

'1) все каналы системы имеют одинаковую интенсив­ ность потока обслуживаньи р = (1Д0бс) ;

2)заявка может обслуживаться любым из п каналов,

т.е. любой из п каналов доступен для заявки. Символом Аше обозначено математическое ожидание

времени обслуживания.

7

Для правильного обслуживания необходимо знать то, что обслуживается, а также все черты чередования по­ ступающих заявок. Поэтому изучение системы массового обслуживания (СМО) начинается с анализа структуры входящего потока заявок. При этом заявки отличаются друг от друга только моментами поступления на обслу­ живание.

Интенсивность стационарного пуассоновского потока заявок X определяется средним интервалом времени £ между поступлением двух заявок:

СМО на обслуживание, закон образования очереди, по­ ведение заявки, попавшей в очередь, н т. п. {36].

Основная задача теории массового обслуживания — установление -с необходимой точностью зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, дисциплиной обслуживания и эф­ фективностью обслуживания.

Системы массового обслуживания можно разделить на разомкнутые и замкнутые. Отличительной чертой ра­ зомкнутой СМО является то, что источник потока заявок в систему не входит и его состояние не анализируется (рис. 1. 1). Примером многоканальной разомкнутой сис­ темы является аэропорт с несколькими взлетно-посадоч­ ными полосами (ВПП) и входящим потоком взлетов и посадок самолетов.

8

В замкнутой СМО число источников заявок ограниче­ но и интенсивность входящего потока зависит от состоя­ ния источников, обусловленного работой самой системы. Источник заявок является элементом СМО. Число клиен­ тов такой системы ограничено числом каналов обслужи­ вания. Пример — квазистационарная система автомати­ ческого регулирования. В период отработки рассогласо­ вания (обслуживания заявки) новые заявки не поступают.

В разомкнутой СМО каждое вновь поступившее тре­ бование, застав все каналы занятыми, становится на оче­ редь. Если требование поступает в СМО, когда есть сво­ бодный канал, то оно сразу принимается на обслужи­ вание.

Рассмотрим показатели эффективности СМО разомк­ нутого типа в установившемся режиме.

1. Приведенная плотность входящего потока:

н-

2. Вероятность того, что все обслуживающие каналы

свободны:

Г п—1

4. Вероятность того, что все каналы заняты обслужи­ ванием:

5. Среднее время ожидания требованием начала об­ служивания:

9