Файл: Зелигер Н.Б. Основы передачи данных учеб. пособие.pdf

Ряд вероятностен (1.41) называется биномиальным распределени­ ем вероятностей.

Легко убедиться, что первый член разложения (141) равен ве­ роятности рі одиночной ошибки кодовой комбинации, т. е. вероят­ ности ошибки одной из п ее посылок, второй член — вероятности Р2 двойной ошибки и і-й член — вероятности рі ошибки кратности і.

В самом деле, в г-м члене разложения множитель рг‘0 представ­ ляет собой вероятность ошибочного приема і посылок комбинации, множитель С,‘ — число возможных положений і ошибочных посы­

лок в пределах данной комбинации из п посылок, а множитель (1—ро)п~1— вероятность правильного приема остальных (п—L) посылок. Таким образом,

появления пятерной ошибки р5=. 1 - ІО-23.

Полученные результаты показывают, что при роёСІ-10-5 вероятность оши­ бочного приема кодовой комбинации может быть принята равной вероятности появления одиночной ошибки, т. е. Р/, « р і « 5 - ІО-5.

На рис. 1.9 показан график биномиального распределения ве­ роятностей для п=Ъ и ро—.І • ІО-1.

Следует заметить, что в практических условиях ошибки, появ­ ляющиеся в передаваемой информации, в большинстве случаев яв­ ляются зависимыми (коррелированными), причем они возникают в рядом расположенных элементах кодовой последовательности в ви­ де отдельных групп или пачек. Результаты экспериментальных исследований показали, что время группирования ошибок в пачки составляет ничтожные доли всего времени передачи, но в течение этого времени сосредоточено наибольшее число ошибок. В интер­ валах же между пачками возникают редкие независимые ошибки. Например, при средней вероятности ошибки порядка 1-10-4— 1• 10~6 вероятность ошибки в пределах времени группирования воз­

24

растает до 2 -ІО-1 — 5• 10—1(45]. Поэтому оценка качества связи на> основе биномиального закона распределения ошибок является* приближенной.

Законы распределения р ошибок в каналах связи изучаются преимущест­ венно экспериментальным путем.

1.8. Модели ошибок

Если принять, что ошибки, возникающие при передаче дискрет­ ной информации, являются независимыми, т. е. правильность прие­ ма любой посылки кодовой последовательности не зависит от того,, как были приняты предыдущие посылки, то в этом случае вероят­ ностная модель ошибок может быть задана одним параметром — вероятностью ро ошибочного приема одной кодовой посылки. По параметру р0 можно, пользуясь биномиальным законом распреде­ ления ошибок (1.41), определить вероятность Ph ошибочного прие­ ма кодовой последовательности любой длины и найти распределе­ ние вероятностей ошибок различной кратности внутри этой после­ довательности.

Из большого количества математических моделей зависимых ошибок рассмотрим наиболее простую вероятностную модель, предложенную 3. Гилбертом (11]. При построении этой модели учитывается, что в большинстве случаев ошибки вызываются об­ щей причиной — всплеском помех ів канале связи, и поэтому они группируются в пачки. Далее принимается, что последовательное появление ошибок (поток ошибок) может быть описано простым марковским случайным процессом.

Согласно гипотезе Гилберта последовательность кодовых посы­ лок поступает в канал связи сериями двух категорий, из которых серии первой категории не содержат ошибок, а серии второй ка­ тегории допускают возможность возникновения в них независимых

25

•ошибок. Вероятность р0 возникновения одиночной ошибки во вто­ рой серии по Гилберту

При поступлении серии посылок первой категории условимся считать, что канал находится в состоянии I, а при поступлении серии посылок второй категории, что он находится в состоянии II. Предполагается, что вероятность наступления каждого из этих со­ стояний зависит от того, каким было состояние, непосредственно ■ему предшествующее. Последовательность наступления тех или иных состояний канала образует простую цепь Маркова. Посколь­ ку вероятности состояний не зависят от номера посылки, то цепь эта однородна.

Исходной характеристикой канала, как простой однородной -марковской цепи двух состояний, является матрица перехода

где ри — вероятность того, что при поступлении в канал очеред­ ной посылки состояние его не изменится, если он был до этого в состоянии I, а ри и — то же, если он был в состоянии //; рі и и Pu I — соответственно вероятности перехода, при поступлении оче­ редной посылки, из состояния I в состояние II и из состояния II в состояние I.

Поскольку названные четыре величины связаны между собой

число независимых параметров, характеризующих при данной мо­ дели канал в отношении возникновения в нем ошибок, равно трем: P i I, Р и и и ро. Если же остановиться только на значении ро, /реко­ мендованном Гилбертом (іі.43), то останутся два параметра рі і

и р и II-

Полагая, что необходимые исходные данные о канале связи из­ вестны, определим вероятность р(т, п) того, что в последователь­ ности из п посылок будет принято т ошибочных посылок.

Пусть в последовательности из п посылок і посылок передава­ лись в состоянии II, а остальные (п—і) посылок — в состоянии I. Вероятность поступления такой последовательности обозначим

ри(і, п).

По определению, ошибки могут возникать только в состоянии II,; и в этом состоянии они возникают независимо одна от другой с единичной вероятностью ро. Значит все т ошибок могут возник­ нуть только среди і посылок, переданных в состоянии II. Очевидно, что для этого необходимо, чтобы і^ /п .

26

Вероятность возникновения т независимых ошибок среди і по­ сылок равна С'11р'0" (1—Ро)і~т■Вероятность же того, что т ошибок

могут возникнуть при различных значениях г, полная величина ис­ комой вероятности получится суммированием предыдущего выра­ жения для всех значений і в пределах

і=т

Для того чтобы можно было воспользоваться (1.47) или (1.48),. необходимо иметь в распоряжении величины вероятности рп(і, п) для всех значений і в интервале (1.46). Поэтому возникает еще одна задача — о нахождении функции рц(і, п). Решение идентич­ ной задачи приведено в [34]. В соответствии с этим решением пол­ ная искомая вероятность

Р „ (і, п) = РИ 2 С*~! О Д _, Р/Т/іР/7} Р п '~ к+] Р/~и +

k= 2

fc=2

(1.49>

Выражение (1.49) весьма громоздко и требует проведения трудо­ емкой вычислительной работы. Если число п в последовательности не слишком велико, то взамен (1.49) можно воспользоваться зна­ чительно более простым выражением для ри(і, п) [114].

Упрощающее предположение состоит здесь в том, что в после­ довательности из п посылок имеется только одна серия, содержа­ щая все і посылок второй категории. При этом возможны три случая:

іі. Серия второй категории находится между двумя сериями первой категории. Последовательность передачи посылок в этом

2Т

данной величине s равна PiP)~) Pi пР ІГііРи iPnr / ~ s~' или ,pip)j\i Рп,~,1~2 Pi i i Pii I независимо от величины s. Поэтому все по­ добные варианты последовательности при любом значении s бу­ дут равновероятны. Число лее этих вариантов равно числу возмож­ ных значений s, т. е. п—і—1. Таким образом,

2. Серия второй категории находится в начале общей последо-

іП—1_____

Как видно, выражение (1.54) намного проще выражения (1.49). Погрешность выражения (1.54) тем больше, чем больше число п посылок всей последовательности. Очевидно, что выражение (1.54) должно дать для рц(і, п) значение меньшее, чем (1.49), так как рассмотренные три случая не охватывают все возможные случаи передачи среди п посылок і посылок второй категории.

первом состоянии, а величина рц — вероятность передачи первой посылки во втором состоянии. Так как вероятности рі и рц зави­ сят от состояния посылки, которая предшествовала первой посыл­ ке рассматриваемой последовательности, то выражения (1.49) и (1.54) не являются полностью определенными. Но если передача

28