ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
где
|
|
|
|
T+iCо |
|
|
|
|
||
|
fli ('■. О = |
2^Г |
J ^ (г' s) f (л s) ds■ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ioo |
|
|
|
|
|
|
|
F (r, |
s) = |
rB/C\ |
|
|
|||
|
|
В = M sh r ch M — r ch r sh M ; |
|
|
||||||
|
C =■■ rNB/d + (r2 + |
yM2) 2 (M ch r ch M — r ch r ch M) — |
||||||||
|
— 4г‘М (M sh г sh M — r ch г sh M) — 4r2Af (г2 + |
Л12); |
|
|||||||
|
N ('\ |
s) = |
{d2?g + |
ar2) d2s2p/(p.s + O)2; |
|
|
||||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
5*0 (I. |
Ч) — 4 k |
f [ |
?° |
|
e‘ {ix+vj)dy.dij. |
|
|
||
Другие обозначения .приведены в приложении 4. |
G = 0 |
(вязкий |
||||||||
Упростим функцию Яц(г, |
!<) при условии: d—£-оо, |
|||||||||
толстый слон). Слой можно |
считать толстым, кода его толщина на |
|||||||||
много больше линейных размеров характерного элемента рельефа. |
||||||||||
Из (П5-1) при d ——с»; G= 0 найдем: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g + “'"i/P |
|
(П5-2) |
|
Д,(Л 0 = Я ,(л «) = ■ г |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v2r,F (со) |
|
|
где |
F (<о) _= со4 -(- 2со2 — 4ш -{- 1 + 4; |
|
(П5-3) |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
со2 — 1 + |
s/vrj; |
|
g? + “г? |
|
|
|||
|
|
Д = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pW? |
|
|
Если известны корни со/, полинома F(co), то |
|
|
||||||||
|
g + arj/p _ g + |
“<~?/P А |
_______1_______ |
|
|
|||||
|
v2r?F (со) _ |
v2rj |
|
2 j |
[“ — “к] Г7' (“к)’ |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
ft=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F' («„) = *(«>* + « * -!)• |
|
|
||||||
Учитываем, что оригинал |
выражения |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
tOftg |
* |
[I — erf К ^ Т ) ] . |
(Г15-4) |
|
Определим, применив теорему смещения к формуле (П5-4), ори |
||||||||||
гинал дроби |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
—r[vf |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(“ft—О |
|
[1 + wfterf (wftr, l/ -v/)]. |
(П5-5) |
|||||
ш — |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11—509 |
153 |
С учетом (П5-5) из (П5-2) найдем:
|
|
|
О, (л 0 - |
8 + “П/Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
т г Ъ ^ - 0. |
|
(П5-6) |
||
где |
|
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
П(гг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 77 |
— о |
{шлехр[(щ |— l ) r j v / ] X |
|
||||
|
|
F' К ) к |
|
|
|
|
||
|
X |
[ 1 + |
“ h erf (r,(o;i К vf)] — erf (/-, Vvf) — toh}. |
(П5-7) |
||||
Решение (П5-6) |
связано с нахождением корней полинома /•'(со), |
|||||||
которые |
полностью |
определяются |
безразмерным |
свободным чле |
||||
ном Д. |
|
|
|
|
|
|
на деформи |
|
Оценим величину Д для типичных условии записи |
||||||||
руемых слоях: |
а = 2-10-4 н/см; р,=4 • 10-4 н • сек/см2; |
v = 40 |
сма/сек; |
|||||
Р=3-103 см~'\ |
pg=10- 2 н/см3. |
По этим данным Д = |
|
10-5. Кро |
||||
ме того, |
ar^ ^ p g, таким образом, |
гравитацией по |
сравнению с ка |
|||||
пиллярными силами в условиях рельефографин можно пренебречь. Исследование корней полинома К(ш) показывает, что при Д<0,5849 он имеет два действительных и два комплексно-сопряжен
ных корня, а при Д>0,5849 полином К(со) имеет две пары комплекс но-сопряженных корней.
Таким образом, интересующее нас решение имеет два действи тельных и два комплексно-сопряженных корня.
Малые значения Д позволяют вычислить корни полинома F(a>)
следующим |
способом. |
корни м/, равны: |
C0i= l, |
<о2=0,32, 0)3,4= |
|
Пусть |
Д=0, |
тогда |
|||
=0,65 ±1,7/. |
искать |
при |
Д<0,1 значение coi в |
виде |
coi = H-aiA, где |
Будем |
|||||
Qi — неизвестный пока коэффициент. Подставив значение o)i в поли ном F(со) и приравнивая его к нулю, получаем, пренебрегая членами
второго и более высоких порядков по Д, что Qi,= 0,25. |
Следовательно, |
||
|
о)| = 1—0,25 Д; |
|
|
|
(О] |
1 — 0,5Д. |
|
Подставив значения со, и со^ |
в (Г15-7), найдем: |
|
|
h ('. 0 = |
- 2 Г {(1 - |
0.25Д) ехр (-0 ,5 Д гр 0 |
X |
х [1 + erf(l |
— 0.25Д) г, |
vf] — erf (rt V~t) — 1 |
+ 0,25Д}. |
Вычисляя второй корень, получаем о)2=0,32±0,4 А.
Вычисление fih(r1, f) для fe=2, 3, 4 показывает, что влияние вто рого действительного корня и комплексно-сопряженных корней не существенно.
Нетрудно показать,_ислользуя приведенные выше данные, что выражение 1+erf (/ц V vt) в (П5-7) практически становится рав ным двум уже в наносекундном диапазоне, в то время как экспонен циальный член приближается к нулю лишь в миллисекундном. Учиты
вая это, формулу (П5-6) окончательно молено переписать |
в виде |
Я, (г,, t) ^ 1 — earitl2'x. |
(П5-8) |
154
Функция отклика упруговязкого слоя (йфО) бесконечной тол щины, найденная по методике, изложенной выше,
я, (Г,. |
|
|
“0 |
+ 4(7 |
\ |
(П5-9) |
0 |
- 1 — ехР ( |
2 a |
f J' |
|||
Для слоя конечной |
толщины d |
|
|
|
||
Я. (г, |
/) = |
1 — ехр (—»м 0 . |
|
(П5-10) |
||
|
|
|
ar,F (г) + 4G |
|
|
|
|
|
“ м - |
2ц. |
|
|
|
F (г) — (ch г sh г — r)/(cli2r + г2).
П Р И Л О Ж Е Н И Е 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение свободной |
поверхности |
деф орм ируем ого слоя |
|
|||||
при воздействии нормальной и касательной поверхностных |
|
|||||||
плотностей сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Точное |
пространственное |
решение |
задачи |
(3-1) — (3-7) |
для |
|||
случая Р ог (х, |
у, ( ) ф |
0 |
н F„(x, у, z, t ) |
~ |
(х, У ) |
— Р 0т (х, У , |
0 — |
|
—■О имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
00 |
|
|
|
|
К(х, |
у, |
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
0 —со |
|
|
|
|
|
где |
X |
|
(г , т) е ~ ' ^ x + ^ )d l d r ich, |
(П6-1) |
||||
|
|
a+ioo , |
о. |
|
|
|
||
|
W2(r, |
|
|
|
||||
|
0 -2 ^17 |
Г J'~^rds- |
|
|
||||
|
|
|
a—too |
|
|
|
|
|
Другие обозначения приведены в приложении 4. |
|
|
||||||
Упрощение R?{r, |
t) |
методом, изложенным в приложении 5, при |
||||||
водит к следующему приближенному результату: |
|
|
||||||
F(r)
Л» (г. О
4Gr, + ar\F (г)
(I — е |
—О) t |
(П6-2) |
Формулы для |
F и |
сом |
приведены |
в приложении 5. |
у) = |
||||
2. При |
Я0. (х, |
у, |
/) ф 0 |
и |
F0 (x, |
у, z. |
t ) — K0 (x, |
||
= Р ог (х, у, |
t) = |
0 уравнение |
поверхности |
имеет |
вид (П6-1) |
с за |
|||
меной /? 2 (г, |
t) на |
|
|
|
a+ioo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
||
|
|
|
|
1 |
С г,Д2 |
ds |
|
||
|
|
RAr■0 = 2 5 - |
JH |
|
|||||
и с заменой Р ог на Я0т. |
|
n—ioo |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначения |
всех |
величин приведены в приложении 4. |
|
||||||
11* |
155 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е 7
Решения задач (5-1)— (5-4) и (5-8)— (5-11)
<
1. Решение задачи (5-1) — (5-4) имеет вид:
—“л f
8 (*. 0 |
= 4» |
2 |
bnX n (1 - |
|
) |
при |
|
|
I |
||
|
|
Л= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (П7-1) |
0(х, 0 = |
|
№ ( 1 |
|
—“л <0 |
—шл(<—<о) |
|
1 |
||||
|
■е |
) е |
|
при t — t0, |
| |
||||||
где |
п |
=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' con! cos conl (l — x) + |
/г, sin conl (/ — x) |
|
|||||||
|
|
|
|
cos conl/,-f-A , sin to,,,/, |
|
|
|||||
|
*n = |
|
|
|
|
|
при /2 < х < / ; |
wn l = c on/a,; |
|||
|
|
o)n2 cos con2x + |
ks sin co„2x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(0Я2Х cos шя2/ 2 + |
&2 sin COn2/ 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
при |
|
оз„2 = |
6>„/a2; |
||
|
B „ = |
|
В |
P.Ci |
(1 4-£1/i-Mi'ffi/“;;)sinconl/1— |
||||||
|
II*,11= |
|
|
“ niCOS CO,,,/, + |
|
||||||
|
|
|
— (k jl,a,/ (o „ ) cos(onI |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
sin CO,,,/, |
"bf2?2?X |
|
|
|||
|
(1 -)- 62/ 2 + k%az/u>^) sin соя2/о — {k\lzOt/^-n) cos соя2/ 2 |
||||||||||
X |
|
ton2/2 |
cos (оя2 |
fe2 sin “ яг?2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
B = ?/(Ml + W ) ; t = ( i + M .)/(i+M 0: |
|
|||||||||
|
II *»!!* = 2 a] |
|
ил1^1 4- *1 + |
M> |
|
|
|||||
|
(®n lcostonl/, 4 - A, sinconI/,)a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ШГ<2^2 4“ ^2 4" Шг |
|
|
||||
|
|
|
2ai |
(“ ns cos “ n2i 2 + |
*2s in “ Я2^г)= |
|
|||||
ю„— есть n-й положительный |
корень уравнения |
|
|
||||||||
|
М г [6i — a f'w tg |
(“ ; i/fli)] [“ / rt2 + |
k ztg (co/2/n 2)] = |
||||||||
|
= M |
i |
fcoa^tg (ш/г/в г) — M |
[со/я, 4 -6 ,tg |
((0/,/д ,)]. |
||||||
2. |
Решение задачи (5-8)— (5-11) |
имеет |
вид: |
|
М *« J. |
||||||
с. 0 = 9оН |
(х) 4- М + ?о + 2 |
[(?, - |
Ьп) е |
|
|||||||
8 (х, |
<?о | я |
" + Ь п] Х п \, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П7-2) |
156
где
Р ( х ) |
= |
■^2х ~/Х2 при 0 < х |
/г', |
|
|
|
|||||
[Л, (/ — х) 2 — (I — х)]Л , |
при 12< |
л < |
1\ |
||||||||
|
|
|
|||||||||
j4, = |
[1 -j- (А2/ 1/Л ,)/(\2/1А 1 -)- /2)]/2i,; |
col7J = a>n/a it |
|
||||||||
|
A„ — (h2l |
i / h |
i |
-p l2) 2/a; e>2n — шп/^2! |
|
||||||
|
b0 — 2 (у42/2Я] + |
A ll)ay)/(k2l2a\ -f- |
|
|
|||||||
ij>0 = |
[— |
|
|
(-^Pi |
1 )/3rtj'J/[^,/i/aI -|- ^2^а/йг]i |
||||||
&n = 2 (j42« 2 tg to2n/ 2 + |
i4,a, tg coln/,)/co711] ^ |
||2; |
|
||||||||
|
II A"n И2 = |
c2p ,/2/2cos2 co27l/ 2 + |
t Ip ,/I/2cos* |
|
|
||||||
A |
[(4 /A “ « — 2 rt2/co“ ) sin co2n/ 2 + (2/a cos <o2n/2)/co® |
] |
|||||||||
A[(^/wn«i — 2 я,/со“ ) sin co„P, — (211cos <oln/,)/co- ]
IIA . IP cos to
.4, [(/, sin <oln/,)/« i“ » + (! — cos |
)/«;, ] |
+II ■Л'п IP COS 0)]n/,1
| (cos to2„x)/cos co2n/ 2 при 0 <: x ^ /■>;
71 \ [cos &>,„(/— x)]/cos £»,„/, при l2s^x^l;
co„ — есть n-ii положительный корень уравнения
—Х,я2 tg (/,со)/я, -= M P g (/2со)/я2.
При временах, больших, |
.2 |
чем Зсо^, удобнее пользоваться форму |
|
лой |
|
0 ( х . О = <7„ |
= <7о [V + Ф' WJ. |
/г=1 |
|
которая соответствует так называемому регулярному режиму. |
|
Он характеризуется тем, |
что все слои ленты греются с одинако |
вой скоростью, равной qob0, а разность температур любых двух слоев ленты Xj и х3 остается величиной постоянной н равной:
</о[Ф'(а-1)-Ф'(л-2)].
