ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
Ж.ДБЁДОННЕ
ГЕОМЕТРИЯ
КЛАССИЧЕСКИХ
ГРУПП
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 5
Jean Dieudonné
LA GEOMETRIE
DES GROUPES CLASSIQUES
Troisième Edition
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1971
Ж. Дьёдонне
ГЕОМЕТРИЯ
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
Перевод с французского Э. Б. Винберга
Издательство «МИР» Москва 1974
У Д К 519.4
ГОС. П У Б Л И Ч Н А Я і НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ
/ / / / -1 БИБЛИОТЕКА СССР
Монография одного из крупнейших французских математиков Жана Дьёдоине содержит систематическое изложение теории классических линейных групп над произвольным телом. Третье ее издание дополнено но вейшими результатами об автоморфизмах классических групп.
Несмотря на то что многие из результатов, изла гаемых в книге, могут быть теперь получены методами теории полупростых алгебраических групп, монография Дьёдоине сохраняет свое значение как безукоризнен ное изложение теорий классических групп классиче скими методами, преимущество которых состоит в про стоте и высокой степени конструктивности.
Изложение носит характер обзора: доказательства, как правило, лишь намечаются. Благодаря этому книга при небольшом объеме содержит очень много резуль татов.
Книга заинтересует математиков многих специаль ностей, в первую очередь специалистов по алгебре и топологии. Она будет полезна преподавателям, аспи рантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
|
20203— |
005 |
Д |
|
Перевод на русский язык, «Мир», 1974 |
041 (01)— 74 |
||
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Ж. Дьёдонне содержит наиболее полное из ложение теории классических линейных групп над про извольными телами. Она является как хорошим руко водством для изучения предмета, так и незаменимым справочным пособием. Ее автор — крупный француз ский математик, которому принадлежит много ориги нальных работ в этой области.
Название книги, быть может, не дает достаточно ясного представления о ее содержании. Основная ее цель — выяснение алгебраической структуры классиче ских групп; геометрия же, наряду с линейной алгеброй, служит средством для достижения этой цели. Полно стью геометрическим вопросам посвящена лишь третья глава, но и она носит скорее вспомогательный характер.
Ко времени выхода второго издания книги теория классических групп в основном закончила свое само стоятельное развитие и влилась в теорию полупростых алгебраических линейных групп, создание которой свя зано в первую очередь с именами К. Шевалле, А. Бореля и Ж. Титса. Однако классические методы не утра тили значения ввиду своей элементарности и высокой степени конструктивности, которую им придает аппарат линейной алгебры, не говоря уже о том, что классиче ские результаты служат образцом для обобщений. По этому книга Дьёдонне, зафиксировавшая состояние классической теории линейных групп в высшей фазе ее развития, еще долго сохранит свою ценность.
Э. Б. Винберг
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Вэтой книге излагаются примерно те же теории, что
ив первой трети труда Ван-дер-Вардена «Группы ли нейных преобразований», вышедшего раньше в этой се рии. В ней дается значительно более развернутое изло жение, которое отражает в первую очередь большое число работ на тему книги, появившихся в течение по следних двадцати лет и существенно изменивших точку зрения на рассматриваемые в ней вопросы. С другой
стороны, хотя в отведенных нам рамках не могло быть й речи о полных доказательствах, мы старались демон стрировать хотя бы основные идеи доказательств зна чительно чаще, чем это сделано у Ван-дер-Вардена.
Из всех групп линейных преобразований здесь рас сматриваются только те, которые называются «класси ческими». В связи с этим используется лишь «элемен тарная» часть теории групп, концентрирующаяся вокруг понятий подгруппы и гомоморфизма. Мы не затраги ваем тех частей теории, которые требуют более слож ных понятий. Так, мы не касаемся теории линейных представлений групп, а также топологии и дифферен циальной геометрии. Поэтому почти единственным сред ством доказательств остается линейная алгебра в той геометрической форме, которую она приняла в совре менную эпоху.
Эванстон, 1 октября 1954 г.
Жан Дьёдонне
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
После выхода в свет в 1955 г. первого издания этой книги было опубликовано довольно много работ о клас сических группах, внесших значительные улучшения как в методы, так и в результаты. В этом новом изда нии мы попытались по возможности учесть эти улучше ния и привести библиографию в соответствие с сегод няшним днем. Необходимо, однако, указать, что в тексте практически не отражен самый эффектный прогресс, до стигнутый в эти последние годы: после решающих работ К. Шевалле, посвященных построению простых групп из простых комплексных алгебр Ли [5] и классификации полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем [6], на первый план вышли методы, заимствованные в значительной степени из теории Ли и алгебраической геометрии и позволяющие трактовать большое число вопросов теории классических групп единым образом, без необходимости изучать группу каж дого типа отдельно. Многие математики вслед за К- Ше валле уже с успехом использовали эти общие методы в своей работе, и есть все основания ожидать, что будущее развитие этого направления покроет практически все со держание данной книги. Обзор результатов, достигнутых в этом направлении, должен быть в ближайшее время сделан Ж. Титсом.
Париж, 1 октября 1962 г,
Жан Дьёдонне
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Наиболее важный прогресс в теории классических групп после 1962 г. касается определения автоморфиз мов этих групп. Новые методы позволили решить ряд проблем из этой области, упоминавшихся в предыдущих изданиях как открытые. Мы сделали несколько указа ний по поводу этих методов и пополнили библиографию.
Ницца, 1 декабря 1970 г.
Жан Дьёдонне
Глава I
КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
§1. Линейные и полулинейные отображения
Впоследующем изложении мы предполагаем из вестными элементарные понятия и результаты линейной алгебры (см., например, монографию Бурбаки [1], обо значениями которой мы пользуемся). Под векторным
пространством всегда понимается (если не оговорено противное) конечномерное правое векторное простран ство Е над телом К (коммутативным или нет).
Пусть К, |
К' — два тела, а — изоморфизм |
тела К |
на К'. Пусть |
Е — векторное пространство над |
К п F — |
векторное пространство над К'- Полулинейное отобра
жение пространства |
Е в F относительно |
изоморфизма |
||
а — это такое отображение и, |
что |
|
||
и (х |
у) — и (х) |
и (у) |
при |
у е Е, |
|
и (хХ) = и (X) Х° |
при X е Е, |
|
|
Образ |
при отображении |
и подпространства из Е |
||
есть подпространство в F\ полный прообраз подпро странства из F есть подпространство в Е. Рангом ото
бражения |
и |
называется |
размерность пространства |
и(Е), равная |
коразмерности ядра ы-1(0) отображе |
||
ния и. |
К" — третье тело |
и т — изоморфизм тела К' |
|
Пусть |
|||
на К"- Пусть G — векторное |
пространство над К" и ѵ — |
||
полулинейное отображение пространства F в G относи тельно изоморфизма т. Тогда ш = ѵи есть полулинейное отображение пространства Е в G относительно изомор физма от тела К на К". Если и биективно, то «_1 есть полулинейное отображение пространства F на Е отно сительно изоморфизма сН.
В случае когда К' — К, линейное отображение про странства Е в F — это не что иное, как полулинейное
10 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
отображение, соответствующее тождественному авто морфизму тела К.
Пусть (А()1<Кл — базис пространства Е. Полу линейное отображение и пространства Е в простран
ство F полностью |
определяется |
заданием изоморфизма |
|||||
а |
и элементов |
2 , = |
и(а,) |
|
пространства F.- |
||
|
|
|
|
П |
|
П |
|
В |
самом деле, |
при х = 2 сі&і имеем и (х )= '^ г£ ° |
Если |
||||
|
|
|
|
І= 1 |
|
/ = і |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
(öy)]</<m — базис пространства |
F |
и zt — и (at) = 2 |
Ь^ц, |
||||
то |
отображение |
и |
определяется |
матрицей /4 = (a jj), |
|||
имеющей"/« строк и п столбцов. Матрица А называется
матрицей отображения и по отношению к базисам |
(а,) |
||||||
и (bj). Если и биективно |
(и, значит, |
т — п), |
то матри |
||||
цей отображения |
иг1 по |
отношению |
к базисам |
(bj) и |
|||
|
|
а—I |
ѵ — полулинейное |
||||
(а,)'служит матрица {А~ ) |
. Если |
||||||
отображение F в G относительно изоморфизма х и S — |
|||||||
матрица отображения ѵ по отношению к базису |
(bj) |
||||||
пространства F и базису |
(си) |
пространства |
G, |
то |
мат |
||
рицей отображения ѵи по отношению к базисам |
(а,) |
||||||
и (Сй) будет матрица ВАХ. |
|
|
Е |
|
|
||
Коллинеацией |
векторного |
пространства |
над |
те |
|||
лом ^называется всякое биективное полулинейное ото бражение пространства Е на себя. Коллинеации про странства Е образуют группу. Очевидно, что группы коллинеаций векторных пространств одной размерности над одним телом изоморфны. Обозначим через FLn (К) группу коллинеаций фиксированного раз и навсегда «-мерного векторного пространства Е над телом К (на пример, пространства Кп, рассматриваемого как правое векторное пространство над К).
Для всякого а е і ( , а ф 0, отображение ha\ х - * ха есть коллинеация относительно внутреннего автомор физма тела К. Говорят, что ha — гомотетия с коэффициентом а. Гомотетии образуют нормальный делитель Нп в группе ГЬп(К), и отображение a —+ha
есть |
антиизоморфизм |
мультипликативной группы К* |
тела |
К на группу Нп. |
Гомотетия может быть охаракте |
ризована как коллинеация, относительно которой инва,-
