Файл: Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие.pdf

Пользуясь соотношениями (1.9) и (1.10), составим таблицу не­ скольких десятичных чисел, выраженных в троичной системе

(табл. 1-2).

Двоичная система счисления

Вдвоичной системе счисления для изображения числа требуются всего лишь две цифры 0 и 1. Основание системы q — 2 записывается как 10, так как оно является единицей второго разряда.

Вобщем виде число в двоичной системе записывается в виде

а— коэффициент, принимающий только два значения: 0 или 1.

Всокращенном виде число в двоичной системе записывается

как

Пользуясь соотношениями (1.11) и (1.12), составим таблицу десятичных чисел, выраженных в двоичной системе (табл. 1-3).

Двоично-десятичная система записи десятичных чисел

Если коэффициент а в десятичной системе счисления (1.4) и (1.5) записать в двоичной системе, то получим двоично-десятичную систему записи десятичных чисел.

Для кодирования десяти цифр от 0 до 9 требуется не менее че­ тырех двоичных разрядов. Самой распространенной является си­ стема, при которой каждая десятичная цифра изображается че­ тырьмя разрядами. Группа из четырех разрядов, предназначенных

9

для изображения одной десятичной цифры, называется тетрадой. Из возможных шестнадцати тетрад используются только первые десять (см. таблицу 1-3).

Например, десятичное число 5789 в двоично-десятичной системе имеет вид:

Двоично-восьмеричная система записи восьмеричных чисел

Аналогично двоично-десятичной системе, в двоично-восьмерич­ ной системе каждая восьмеричная цифра записывается в двоичной системе. Для кодирования восьми цифр от 0 до 7 требуется три дво­ ичных разряда.

Группа из трех двоичных разрядов, предназначаемых для изо­ бражения одной восьмеричной цифры, называется триадой. Из воз­ можных восьми триад используются все восемь:

2010

3011

4100

5101

6ПО

7111

Например, восьмеричное число 2357 в двоично-восьмеричной системе имеет вид

§ 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИХ В ЦВМ

Любая из цифр, применяемых для записи чисел в данной системе счисления, должна в ЦВМ изображаться в виде одного из несколь­ ких возможных состояний физического элемента.

Чем меньше основание системы, тем меньше требуется для вы­ ражения числа различных физических состояний. Так, для изобра­ жения десятичного числа требуется элемент с десятью устойчивыми состояниями, двоичного числа — с двумя. Проектирование эле­ мента с десятью устойчивыми состояниями технически сложная задача. В то же время элементов с двумя устойчивыми состояниями много (триггер, ферритовый сердечник с прямоугольной петлей

10

десятичных цифр также можно использовать двухпозиционные эле­ менты, но их количество для изображения одного разряда будет значительно больше.

Для оценки зависимости количества оборудования от выбран­ ной системы счисления будем считать, что для изображения каждого символа в разряде требуется один элемент схемы. При основании

q и числе разрядов п могут быть представлены N = qn различных чисел от 0 до qn~l.

Тогда количество элементов схемы при системе счисления с ос­

Для нахождения экстремального значения функции (1.15) при­ равниваем первую производную М ' нулю

^ - = 1п N. In q — 1 0, dq In2 q

откуда

\n q — 1 = 0,

q = e = 2,718.

Нетрудно показать, что функция 1.15 при q = е = 2,718 имеет

Как видно, наиболее' экономичной с точки зрения количества аппаратуры является троичная система, двоичная и четверичная системы равноценны, десятичная система требует в 1,45 раза больше оборудования, чем двоичная.

Однако, кроме экономичности, при выборе системы счисления необходимо учитывать еще ряд факторов:

а) сложность и быстродействие физических элементов, имею­ щих q устойчивых состояний,

б) простоту выполнения арифметических и логических опера­ ций.

11

Троичная система, несмотря на экономичность, из-за отсутствия надежных и простых элементов с тремя устойчивыми состояниями, а также из-за полного отсутствия троичных запоминающих устройств

вЦВМ почти не применяется.

Сучетом вышеперечисленных факторов наиболее целесообраз­ ной является двоичная система счисления, которая в настоящее время применяется в подавляющем большинстве универсальных и специализированных электронных вычислительных машин (ЭВМ).

Кроме основной двоичной системы в ЭВМ используются две вспо­ могательные системы: восьмеричная и двоично-десятичная. Восьме­ ричная система применяется для сокращенной записи двоичных чисел при программировании. Двоично-десятичная система исполь­ зуется как промежуточная при переводе чисел из десятичной си­ стемы в двоичную и наоборот. Непосредственно вычисления в дво­ ично-десятичной системе не ведутся.

§3. АРИФМЕТИКА ДВОИЧНЫХ И ВОСЬМЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ

Арифметические действия над числами в любой системе счис­ ления выполняются по правилам, применяемых в десятичной си­ стеме .

Для выполнения четырех основных действий необходимо знать таблицы сложения и умножения. Пользуясь таблицами сложения и умножения, выполняют вычитание и деление чисел.

Поразрядное сложение и умножение в любой системе счисления на практике предварительно выполняются в уме в привычной для нас десятичной системе. Затем, также в уме, из получившегося де­ сятичного результата выделяется, если возможно, число модулей основания q для переноса в следующий разряд. Окончательная поразрядная цифра в данной системе счисления будет равна раз­

выполнять в уме, окончательный результат записывается восьме­ ричным числом.

12