Файл: Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
Пример 2. Необходимо сложить четыре двоичных числа
, 1 1 1 1 2
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
ИИ» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L Ш И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 11П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111100.2 |
|
|
|
1) |
1 4 |
1 |
-г |
1 -г |
1 |
- |
2 X |
2 4 -0 = 0 4 |
2 единицы |
переноса |
|
|
|
4ю : |
|
|
|
» |
|||||
2) |
1 |
+ 1 -f |
1 + 1 4- 2 = 6 1 0 = 2 x 3 4- 0 = 0 4 - 3 » |
||||||||
3) |
1 |
-f 1 + |
1 4- 1 4- 3 = 7ю - |
2 x 3 - 4 1 = 1 + 3 » |
» |
||||||
4) |
1 |
+ 1 4- |
1 4- 1 4- 3 = 7ю - |
2 x 3 4 - 1 = 1 4 - 3 » |
» |
||||||
5) |
0 |
|
|
4- 3 - " |
310 |
- 2 х |
1 4 1 = 1 4- 1 |
» |
|||
6) |
0 |
|
|
4- 1 ^ : |
|
2 х 0 4- 1 = 1 4 - 0 |
» |
|
|||
Все указанные операции в десятичной системе выполняются в уме, окончательный результат записывается в двоичной системе.
Арифметика двоичных чисел
В двоичной системе счисления таблицы сложения, вычитания и умножения чрезвычайно просты. Каждая из них состоит всего из
четырех строчек (табл. |
1-4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1-4 |
||
Сложение |
Вычитание |
|
|
Умножение |
|||
0 4 - 0 = 0 |
0 — 0 = 0 |
|
0 X 0 = 0 |
||||
1 4 - 0 = 1 |
1 |
— 0 = 1 |
|
о |
1 X 0 = 0 |
||
0 4 - 1 = 1 |
1 |
- 1 = 1 |
- |
. |
0 X |
1 |
= 0 |
1 4 - 1 = ю |
1 0 — 1 = 1 |
|
|
1 X |
1 |
= 1 |
|
С помощью этих таблиц сложение, вычитание, умножение и де ление двоичных чисел выполняются по правилам арифметических операций над десятичными числами.
Пример 3. Сложить два двоичных числа
119 _п_
|
|
|
16 |
|
1110111,1011 |
15 |
и |
' |
1111,1011 |
|
16 |
|
10000111,0110 |
135 |
— |
|
|
10
13
Пример 4. Вычесть два двоичных числа
_ 10100001 |
_ 161 |
1100011 |
99 |
111110 |
6210 |
При вычитании чисел следует помнить, что занятая в ближай шем старшем разряде единица дает две единицы младшего разряда, а единица, занятая через несколько разрядов, дает две единицы младшего разряда и единицы во всех промежуточных разрядах.
Пример 5. Умножить два двоичных числа
|
|
101 |
111,101 |
X |
|
|
X |
|
|||
|
|
|
101,001 |
8 |
|
|
|
|
|
||
, |
|
101 111 101 |
244 — |
||
; |
m i n i |
m i |
6410 |
||
+ |
10111110 1 |
|
|||
|
11110100,000 101 |
|
|||
Пример 6. Разделить два двоичных числа |
|||||
101100,0 1 1 [1000,111 |
|
||||
Ю00111 |
|
|
— |
44Т : 8 Т = 5“ |
|
1000 111 |
|
|
|||
1000 111 |
|
|
|||
0000 |
000 |
|
|
||
Арифметика восьмеричных |
чисел |
|
|||
Таблицы сложения, |
вычитания и умножения восьмеричных чи |
||||
сел достаточно сложны, |
поэтому запоминать их нет необходимости. |
||||
Действия над числами в восьмеричной системе выполняются по правилам десятичной системы счисления по методике, изложенной выше в данном параграфе.
Пример 7. Сложить два восьмеричных числа
, 575,25 477,77
1 275,248 '
Пример 8. Вычесть два восьмеричных числа
_701007 2777
6760108'
14
При вычитании восьмеричных чисел необходимо помнить, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает восемь единиц младшего разряда, а единица, занятая через несколько разрядов, дает восемь единиц младшего разряда и семь единиц во всех проме жуточных разрядах:
• 7 77 7 8
_700001
_______ 17_
6777628'
Пример 9. Умножить два восьмеричных числа
v 17653
А172
, 37526
Г156655
17653
3613576,
Пример 10. Разделить два восьмеричных числа
1077 131
257
257
000
§ 4. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ
Перевод целых чисел
Пусть целое число N, заданное в ^-ичной системе, необходимо перевести в s-ичную систему.
Преобразовать число N в s-ичную систему, значит представить
его в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = aksk + |
|
|
+ . . . + a2s2+ a,s1 + |
a0s°= V a / , |
(1.16) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
где ak, a.k_ v |
. . . a 2>ai> ao — цифры s-ичной системы от 0 до |
s— 1. |
||||||
Заменим |
в правой |
части равенства (1.16) коэффициенты ак, |
||||||
ak-v ■• |
• a 2 > a i> |
|
ао и |
основание s их ^-ичными |
изображениями |
|||
bk, bk__v |
. . . b,, |
|
blt b0 и sq |
|
|
|
||
N ■■b.sk + b |
o k — |
■6ns° = |
У b.sl . |
(1.17) |
||||
|
k q |
1 |
k - \bq |
\ s] + bis;- |
0 q |
ZJ i q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i==0 |
|
15
Разделим обе части равенства (1.17) на sq
N |
k - \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b.s1 |
bk - $ ~ 2+ |
• • • |
+ b2Sl + bl + |
|||||||
k |
q |
|||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
(1.18) |
|
|
= 2 |
bt i ' |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
i --- i |
|
|
|
|
|
|
|
где —— правильная дробь. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
sq |
|
ясно, что при делении |
N |
на sq остаток ра- |
||||||
Из равенства (1.18) |
||||||||||
вен Ь0, а частное |
|
k |
b.sc~ l . |
|
|
|
|
|
||
N, = У |
|
|
|
|
|
|||||
и ’ |
1 |
i = 1 |
I q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|||
Разделим снова ЛД на sq, тогда |
|
|
|
|||||||
|
|
IVi |
=V |
|
&.S1' - 2 |
&1 |
|
|
(1.19) |
|
|
|
|
— |
1 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства (1.19) видно, что остаток равен |
blt а новое частное |
|||||||||
1=2 |
|
& раз, |
найдем |
все |
числа |
60, Ьх, . . . bk_ r |
||||
Выполняя процесс |
||||||||||
Последнее частное будет |
равно |
N k = |
bk. |
Последовательное деле- |
||||||
ние производят до тех пор, пока не получится частное, меньшее, чем sq. Это последнее частное даст старшую s-ичную цифру числа N.
Таким образом, для перевода целого числа N из позиционной системы с основанием q в позиционную систему с основанием s его надо последовательно делить на основание s, записанное в исходной системе q (sq). Деление производится до тех пор, пока не получится частное, меньшее, чем sq. Число в новой системе запишется в виде остатков деления Ь0, Ьх, . . . bk_ y Последнее частное N k = bk дает
старшую цифру s-ичного числа. Все арифметические действия вы полняются в исходной системе счисления q.
Перевод |
правильных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
N — правильная ^-ичная дробь. Предположим, |
что ее |
||||||||||
s-ичная запись найдена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N = a—Г |
—2° |
—З1, |
+ • • |
-а- > Г |
|
|
|
( 1.20) |
||||
|
с—1 |
с—2 |
|
с—3 |
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a_v а_2, . . . a_k s-ичные |
цифры |
от 0 до s— 1. |
Заменяя а_ |
|||||||||
а 2> • |
• • a_k |
и s их |
д-ичными |
изображениями |
b_1 , |
Ь_2 , |
. . . b |
|||||
и sq, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
у |
|
|
+ ь |
-к _ |
i b- s |
( 1. 21) |
||
U = b_xs - '+ b _ 2s-* + b лО |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 q |
|
- 3 q |
|
-ъ ч |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
16
Умножим обе части равенства (1.21) на sq
к
( 1.22)
Целая часть равенства (1.22) равна b_v а дробная часть
к
Умножая ЛЦ на sq, получим
к
= |
b- i so~ {i~ 2)- |
(1.23) |
|
||
Целая часть равенства (1.23) равна b_v а дробная |
часть |
|
k |
|
|
* 2 = 2 |
й- А Г (,-'2)- |
|
(= 3 |
|
|
Путем последовательного умножения числа N и дробных частей |
||
получающихся произведений на |
sq получим в виде |
целых частей |
этих произведений <7-ичные записи s-ичных цифр. |
из системы q |
|
Таким образом, для перевода правильной дроби |
||
в систему s ее надо последовательно умножать на основание s, вы раженное в ^-ичной системе (sq). Перемножаются только дробные
части N, |
ЛЦ, |
N 2, . . . N k. Правильная дробь в новой системе за |
пишется |
в виде целых частей получающихся произведений b_v |
|
b_2 » . . • |
Ь_к. |
Целая часть первого произведения дает старшую |
цифру дроби. Все арифметические действия выполняются в исход ной системе счисления q.
Последовательное умножение продолжаем до тех пор, пока по сле очередного умножения на sq дробная часть не окажется равной нулю (точное преобразование в s-ичную дробь), или пока не полу чим достаточное для заданной точности количество разрядов.
Перевод неправильных дробей
При переводе неправильных дробей отдельно переводят целую и дробную части по соответствующим правилам.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную
Пользуясь общим алгоритмом перевода, Ъписанным выше, пе реведем в двоичную систему несколько десятичных чисел".
2 Заказ № 2437 |
1 |
. . ! |
17 |
I ЧЛТАДЬ; '‘W |
ИЛ ; |
